2026年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考二模数学试题

**基本信息** 青竹湖湘一外国语学校二模数学试卷，覆盖初中数学核心知识，通过文化情境（《九章算术》折竹问题）、实际应用（绿化费用优化）及创新定义（飞翔/僖乐函数），考查数学抽象、推理与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|图形对称、科学记数法、统计众数中位数|基础概念与几何直观结合| |填空题|6/18|概率、扇形弧长、古代数学问题|文化传承与策略思维（如取球问题）| |解答题|8/72|方程应用、圆的证明、二次函数新定义|分层设计（如25题三问梯度），跨情境应用（如22题费用优化）|

青竹湖湘一外国语学校二模数学问卷 时量: 120分钟 总分: 120 分 姓名 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1.下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是( 2.2026年长沙市市级重点项目总投资约 13330 亿元，数据13330亿用科学记数法表示正确的是( ) A. B. C.1.333×10¹¹ D. 3.小明在一条东西向的跑道上进行往返跑，如果向东跑20米记为“+20米”，那么向西跑20米记为( ) A.+20米 B.-20米 C.+40米 D.-40米 4.下列计算正确的是( ). A. B. C. D. 5.某小组的一次数学检测成绩统计如下(单位:分): 76, 90, 64, 100, 84, 64, 73.则这组数据的众数和中位数分别是( ). A.64, 76 B.64, 100 C.76, 64 D.64, 84 6.在平面直角坐标系中，将线段AB水平向左平移4个单位后得到线段A'B'，则点A(-2，3)的对应点A'的坐标为( ). A.(6,1) B.(3,7) C.(-6,3) D.(2,-1) 7.反比例函数 经过点(2，1)，则下列说法错误的是( ) A. k=2 B.当x>0时，y随x的增大而增大 C.函数图象分布在第一、三象限 D.当x>0时，y随x的增大而减小 8.如图,直线a∥b,将一块含30°角(∠BAC =30°)的直角三角尺按图中方式放置,其中A和C两点分别落在直线a和b上.若∠1=20°，则∠2的度数为( ). A.20° B.30° C.40° D.50° 9.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A =25°,则∠D =( ). A.50° B.25° C.65° D.40 ° 10.如图,P是面积为S的▱ABCD内任意一点,△PAD的面积为S₁,△PBC的面积为S₂,则( ). A. B. C. 的大小与P点位置有关 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11.一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为 . 12.因式分解： 13.若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 14.若扇形的圆心角为45°，半径为8，则该扇形的弧长为 15.《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子(1丈=10尺)，现被大风折断成两截AB、BC，尖端C落在地面上，竹尖与竹根A的距离为三尺.问折断处到地面的距离AB为 尺. 16.如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a~h的小球.甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下： ①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球； ②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走； ③最后一个将球取完的人获胜. 若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则 ‘(填“甲”或“乙”)一定获胜； 三、解答题: (第 17-19题各6分, 20-21题各8分,第22-23题各9分,第24-25题各 10分,共 72分.) 17.计算: 18.先化简，再求值： 其中 19.如图,在平面直角坐标系中, A(0,1), B(-3,2), C(-1,4). (1)在图中画出△ABC关于y轴对称的△AB₁C₁. (2)在x轴上作出一点P，使PA+PB最小，并直接写出点P的坐标.(保留作图痕迹，不要求写作法) 20.为传承中华优秀传统文化，丰富校园艺术生活，某校了了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行调查(每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器)，现将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图. (1)这次共抽取 名学生进行调查，扇形统计图中的x= ， (2)在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是 度； (3)若该校有3000名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有多少名? 21.如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,AB=DB, BE平分∠ABC,交AC边于点E,连接DE. (1)求证: △ ABE≌ △ DBE; (2)若∠A =100°, ∠C =50°,求∠AEB的度数. 22.“绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树.经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850 元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900 元. (1)求柏树和杉树的单价各是多少元； (2)本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共80棵，且柏树的棵数不少于杉树的2倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵?最少费用为多少元? 23.如图,点E在▱ABCD的对角线DB的延长线上,AE =AD,AF⊥BD于点F,EG∥BC交AF的延长线于点G,连接DG. (1)求证:四边形AEGD是菱形; (2)若 求菱形AEGD的面积. 24.我们约定：若抛物线 与直线y=a有交点，我们称函数 为“飞翔函数”，其交点为“飞翔点”：若抛物线 与直线y=-a有交点，我们称函数 为“僖乐函数”，该交点为“僖乐点”： (1)若函数 既是“飞翔函数”，也是“僖乐函数”，求c的取值范围； (2)已知函数 的一个 “僖乐点”为P,直线y= mx+n(m≠0)与抛物线 的两个交点分别为P(x₁,y1),Q(x₂,y₂),且满足 直线PQ是否经过一个定点，若经过定点，请求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由： (3)关于x的函数y=x²-(3k+sk+t+2)x+(sk+2)(3k+t)+1(s、t为正整数, k为实数)图像上存在两个“飞翔点”A(x₁,y1),B(x₂,y₂); ①求A、B的坐标(用s、k、t的式子表示) ; ②如果对于一切实数k， 恒成立，求s、t的值. 25. AB为⊙O的直径，点C为圆周上一点(不与点A、点B重合)； (1) 如 图 1, ∠ACB的平分线交⊙O于点D,直径AB=10, 弦 BC=6, 求 CD的长; (2) 如 图 2, 弦 CD⊥AB 于 点 E, 交⊙O于点D,连结BD,令△ACE的面积为S₁,△BCE的面积为S₂,△BDE的面积为S₃,且求tan∠CDB的值; (3) 如图3,CE⊥AB于点 E,∠CAB的平分线交 CE、CB分别于点M、点N,设 求y与x之间的函数关系式(不考虑x的取值范围). 学科网（北京）股份有限公司 $