专题15.1 随机事件和样本空间（高效培优讲义）数学苏教版高一必修第二册

本高中数学讲义聚焦随机事件和样本空间核心知识点，系统梳理从初中确定性现象、随机现象等知识过渡到高中样本点、有限样本空间的概念，构建用集合语言刻画随机事件及其关系的学习支架，涵盖随机事件的并、交运算等内容。 该资料通过“即学即练”和“典例+变式”题型设计，结合袋中取球、抛掷硬币等实例，引导学生从具体到抽象发展数学抽象素养，在用集合语言分析事件关系中提升逻辑推理能力。课中助力教师高效授课，课后便于学生巩固练习，弥补知识薄弱点。

专题15.1 随机事件和样本空间 教学目标 1.复习初中相关知识：确定性现象、随机现象、必然事件、不可能事件等． 2.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系． 3.了解随机事件之间的关系，能进行随机事件的并(和)、交(积)运算． 4.通过具体实例抽象出样本点、样本空间等概念，以及将“随机事件”从初中自然语言的概念过渡到样本空间下集合语言的概念，在逐步数学化的过程中发展学生的数学抽象素养；在用集合的语言刻画随机事件之间关系的过程中，发展学生的逻辑推理素养． 教学重难点 1.重点 用集合的语言刻画随机事件及其关系． 2.难点 用集合的语言刻画随机事件及其关系. 知识点01 随机现象和样本空间 1．确定性现象和随机现象 在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象.在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象.在自然界和人类社会的生产与生活中，存在着大量的确定性现象和随机现象. 2．有限样本空间 (1)随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. (2)有限样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间. 一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果， 则称样本空间Ω={}为有限样本空间. 【即学即练】 1．高一(1)班计划从A，B，C，D，E这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为（  ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】 根据题意结合列举法运算求解. 【解析】从A，B，C，D，E五人中选两人， 不同的选法有：， 所以样本空间中样本点的个数为10． 故选：B. 2．将2个1和1个0随机排成一排，则这个试验的样本空间 . 【答案】 【分析】根据样本空间的定义进行求解即可. 【解析】将2个1和1个0随机排成一排，这个试验的样本空间， 故答案为： 知识点02 事件 1.随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，···表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. 2.必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. 3.不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 【即学即练】 1．下列事件中，随机事件的个数是（  ） ①2020年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④向量的模不小于0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据随机事件及必然事件，不可能事件概念判断即可. 【解析】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件． 故选：B． 2．（多选）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中正确的命题是（  ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】ACD 【分析】根据非空集合满足的子集关系，依次分析各选项即可判断. 【解析】因为非空集合满足, 所以，对于A，根据子集的定义，任意必然有，这是必然事件，A选项正确； 对于B，当时，仍有可能，例，，取满足但，故B选项错误； 对于C，任取，则或都有可能，是随机事件，故C选项正确； 对于D，任取，则一定成立，是必然事件，故D选项正确. 故选：ACD 题型01 随机现象 【典例1】下列现象是必然现象的是（  ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 【答案】C 【分析】根据现象的分类逐项分析判断. 【解析】对于选项A：某路口每星期发生交通事故1次，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故A错误； 对于选项B：理想状态下冰水混合物的温度应是，这个事件为不可能现象，故B错误； 对于选项C：三角形的内角和为，这个事件为必然现象，故C正确； 对于选项D：一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故D错误； 故选：C. 【变式1】下列现象是随机现象的是（  ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 【答案】A 【分析】利用随机现象、必然事件、不可能事件的意义逐项判断即得. 【解析】对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，A是； 对于B，在标准大气压下水加热到，沸腾是必然事件，B不是； 对于C，异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，C不是； 对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起”是不可能事件，D不是. 故选：A. 【变式2】下面四个选项中，是随机现象的是（  ） A．守株待兔 B．水中捞月 C．流水不腐 D．户枢不蠹 【答案】A 【分析】判断出四个现象是随机现象还是确定性现象，从而选出正确答案. 【解析】A为随机现象，B为不可能现象，CD为必然现象. 故选：A. 题型02 样本空间的求法 【典例1】袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的小球，按下列要求分别进行试验．分别写出下面试验的样本空间，并指出样本点的总数． (1)从中任取一个球； (2)从中任取两个球； (3)先后各取一个球． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析 【分析】（1）运用列举法，结合样本空间定义进行求解即可； （2）运用列举法，结合样本空间定义进行求解即可； （3）运用列表法，结合样本空间定义进行求解即可； 【解析】（1）红，白，黄，黑，样本点的总数为4． （2）一次取两个球，若记（红，白）代表一次取出红球、白球各一个， 则样本空间（红，白），（红，黄），（红，黑），（白，黄），（白，黑），（黄，黑），样本点的总数为6． （3）先后取两个球，如记（红，白）代表第一次取出一个红球，第二次取出一个白球． 列表如下： 第一次第二次 红 白 黄 黑 红 （白，红） （黄，红） （黑，红） 白 （红，白） （黄，白） （黑，白） 黄 （红，黄） （白，黄） （黑，黄） 黑 （红，黑） （白，黑） （黄，黑） 则样本空间为（红，白），（白，红），（红，黄），（黄，红），（红，黑），（黑，红），（黄，黑），（黑，黄），（黄，白），（白，黄），（白，黑），（黑，白），样本点的总数为12． 写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法： (1)列举法：适用于样本点个数不多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏． (2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法．列表法的优点是准确、全面、不易遗漏． (3)树状图法：适用于较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举． 【变式1】将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为，，则方程有实数根的样本点个数为（  ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用列举法求出样本点个数. 【解析】一枚骰子先后抛掷两次，样本点一共有36个，由方程有实数根，得， 样本点中满足此条件的有， ，共19个. 故选：B． 【变式2】抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，该试验的样本空间中样本点的个数为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用基本事件的定义，列举即可． 【解析】先后抛掷两枚质地均匀的硬币，有先后顺序， 则此试验的样本空间为（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）． 故选：C. 【变式3】从中任取两个字母，则该试验的样本点数为 ． 【答案】6 【分析】根据要求一一列举即可. 【解析】该试验的结果中，含a的有；不含a，含b的有； 不含a，b，含c的有；， 即该试验的样本点数为6. 故答案为：6 【变式4】已知某校高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数分别为180，120，120．现采用样本按比例分配的分层随机抽样方法，从中抽取7名同学去敬老院参加献爱心活动． (1)应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从该7名同学中随机抽取2名同学承担敬老院卫生打扫工作．设7名同学中来自高一的3人分别为A，B，C，记事件“抽取的两名同学中至少有一名来自高一年级”，试用所给字母写出事件M包含的样本点； 【答案】(1)分别抽取3人，2人，2人； (2)答案见解析 【分析】（1）利用分层抽样的定义结合已知条件求解即可， （2）根据题意利用列举法求解 【解析】（1）由题意知，高一、高二、高三，三个年级的学生志愿者人数之比为， 又采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法，从中抽取7名同学． 故应从高一、高二、高三，三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． （2），，，，，，，，，，，，，，，共含有15个样本点． 题型03 事件类型的分类 【典例1】（多选）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断正确的是（  ） A．事件“都是红色卡片”是随机事件 B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件 C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件 D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件 【答案】ABD 【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断. 【解析】袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片， 在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确； 在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确； 在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误； 在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确． 故选：ABD． 1.对事件分类的两个关键点： (1)条件：事件的分类是与一定的条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生． (2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况． 2,判断一个事件是哪类事件的方法： (1)看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的； (2)看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．　　 【变式1】在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（  ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 【答案】C 【分析】根据白球只有2个不可能摸出3个即可进行解答. 【解析】A.摸出的是3个白球是不可能事件，不符合题意； B.摸出的是3个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意； C.摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，符合题意； D.摸出的是2个白球、1个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意. 故选：C. 【变式2】（多选）对满足的非空集合，则下列说法正确的是（  ） A.“若任取，则”是必然事件； B.“若，则”是不可能事件； C.“若任取，则”是随机事件； D.“若，则”是必然事件． 【答案】CD 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件、子集的定义逐一判断即可. 【解析】解：因为满足的非空集合， 对于A,B，当集合是集合的真子集时，显然存在一个元素在集合中，不在集合中，因此“若，则”是随机事件，故A,B错误； 对于C，任取，当集合是集合的真子集时，有可能成立，也可能不成立，故C正确； 对于D，“若，则”是一定成立，是必然事件，故D正确. 故选：CD. 题型04 事件与样本空间 【典例1】同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用表示结果，其中x表示红色骰子向上一面的点数，y表示蓝色骰子向上一面的点数. (1)写出该试验的样本空间； (2)指出所表示的事件； (3)写出“点数之和不超过5”这一事件的集合表示. 【答案】(1)答案见解析； (2)掷红、蓝两颗骰子，掷出的点数相同 (3) 【分析】（1）用列举法把基本事件一一列举即可. （2）明确基本事件的表示方法即可. （3）列举法列出满足条件的基本事件. 【解析】（1）该试验的样本空间Ω={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)} （2）所表示的事件为“掷红、蓝两颗骰子，掷出的点数相同”. （3）事件“点数之和不超过5”就是集合. 随机事件与样本空间问题的解题策略： (1)用样本点表示随机事件，首先弄清试验的样本空间，不重不漏列出所有的样本点．然后找出满足随机事件要求的样本点，从而用这些样本点组成的集合表示随机事件． (2)随机事件可以用文字表示，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的本质，且更便于今后计算事件发生的概率． 【变式1】一个家庭生两个小孩，所有的样本点有（　　） A．（男，女），（男，男），（女，女） B．（男，女），（女，男） C．（男，男），（男，女），（女，男），（女，女） D．（男，男），（女，女） 【答案】C 【分析】把所有的情况一一列出即可求解. 【解析】把第一个孩子的性别写在前面，第二个孩子的性别写在后面， 则所有的样本点是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）， 故选：C. 【变式2】下列试验中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间． (1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次； (2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析 【分析】（1）根据试验的定义及抛掷硬币的可能结果说明即可； （2）一一列举可能的结果即可； 【解析】（1）一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”， 试验的样本空间为：． （2）一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素”， 试验的样本空间为：. 题型05 事件与事件的表示 【典例1】同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用表示结果，其中x表示红色骰子向上一面的点数，y表示蓝色骰子向上一面的点数. (1)写出该试验的样本空间； (2)指出所表示的事件； (3)写出“点数之和不超过5”这一事件的集合表示. 【答案】(1)答案见解析； (2)掷红、蓝两颗骰子，掷出的点数相同； (3) 【分析】（1）用列举法把基本事件一一列举即可. （2）明确基本事件的表示方法即可. （3）列举法列出满足条件的基本事件. 【解析】（1）该试验的样本空间Ω={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)} （2）所表示的事件为“掷红、蓝两颗骰子，掷出的点数相同”. （3）事件“点数之和不超过5”就是集合. 1．随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间：(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏． 2．试验中当试验的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错． 【变式1】在不透明的布袋中，装有大小、形状完全相同的3个黑球、1个红球，从中摸一个球，摸出1个黑球这一事件是 （  ） A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件 【答案】B 【分析】根据必然事件、随机事件、确定事件以及不可能事件定义，直接判断即可. 【解析】根据题意，从布袋中摸出一个球，有可能是黑球，也有可能是红球， 故摸出1个黑球是随机事件. 故选：B. 【变式2】抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件“点数大于4”，事件“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可分别求出事件所包含的点数，即可得出结果. 【解析】根据题意可得，； 显然易知. 所以事件“点数为6”可以表示为. 故选：D 【变式3】同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有(　　) A． B． C． D．与之间没有关系 【答案】C 【分析】根据题意，结合列举法求得事件和事件，进而得到两事件的关系，得到答案. 【解析】由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}， 其中事件{（正，正）}，事件{（正，正），（正，反），（反，正）}， 所以. 故选：C. 【变式4】（多选）下列事件中，是必然事件的是（  ） A．明天北京市不下雨 B．在标准大气压下，水在4℃时结冰 C．早晨太阳从东方升起 D．，则的值不小于0 【答案】CD 【分析】运用必然事件的概念判断即可. 【解析】A为随机事件，B为不可能事件，C，D为必然事件． 故选:CD 【变式5】一个口袋内装有除颜色外完全相同的个球，其中个白球，个黑球，从中一次摸出个球． (1)一共有多少个样本点？ (2)写出“个球都是白球”这一事件的集合表示 【答案】(1)个； (2)分别记白球为、、号，黑球为、号，则答案为. 【分析】（1）分别记白球为、、号，黑球为、号，利用列举法列举出这个试验的样本点，即可得出结果； （2）利用列举法可得结果. 【解析】（1）分别记白球为、、号，黑球为、号， 则这个试验的样本点为、、、、、、、、 、，共个. （2）记表示“个球都是白球”这一事件，则． 1．下列现象:①连续两次抛掷同一骰子，两次都出现2点；②走到十字路口，遇到红灯；③异性电荷相互吸引；④抛一石块，下落.其中是随机现象的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据随机现象的概念逐项判断即可得解. 【解析】由随机现象的概念可知①②是随机现象，③④是确定性现象. 故选：B. 2．下列事件是确定事件的是（  ） A．2022年世界杯足球赛期间不下雨 B．没有水，种子发芽 C．对任意，有 D．抛掷一枚硬币，正面向上 【答案】B 【解析】根据确定事件的定义判断即可‘’ 【解析】解：不可能事件和必然事件统称确定事件，对于A，2022年世界杯足球赛期间不下雨时随机事件； 对于B，没有水，种子发芽为不可能事件，即为确定事件； 对于C，对任意，有，为随机事件； 对于D，抛掷一枚硬币，正面向上，为随机事件； 故选：B 3．试验：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合样本空间的概念即可求解． 【解析】由题意可知，考查的是个位数字与十位数字的和的情况， 因此样本空间中的样本点为和的结果，个位数字取值从0到9，十位数字取值从1到9， 所以该试验的样本空间为. 故选：B． 4．下列事件是随机事件的是（　　） ①当x>10时，；              ②当x∈R，x2+x＝0有解 ③当a∈R关于x的方程x2+a＝0在实数集内有解；  ④当sinα>sinβ时，α>β A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】C 【解析】根据随机事件的定义，结合对数的单调性、一元二次方程根的判别式、正弦函数的性质进行判断即可. 【解析】① ：，因为当x>10时，一定有成立，是必然事件，故本选项不符合题意； ② ：x2+x＝0 或，因此当x∈R，x2+x＝0一定有解，因此是必然事件，故本选项不符合题意； ③ ：只有当时，方程在实数集内有解，因此是随机事件，故本选项符合题意； ④ ：当时，显然sinα>sinβ成立，但是α>β不成立，因此是随机事件，故本选项符合题意. 故选：C 5．12个同类产品中，有10个正品，任意抽取3个产品概率是1的事件是（  ） A．3个都是正品 B．至少有一个是次品 C．3个都是次品 D．至少有一个是正品 【答案】D 【分析】根据随机事件、不可能事件与必然事件的概念，对选项逐一分析判断是否为必然事件即可. 【解析】因为所求事件的概率是1，所以该事件为必然事件， 对于A，因为可能发生任取出来的3个产品含有次品的情况，所以事件“3个都是正品”是随机事件，故A错误； 对于B，因为可能发生任取出来的3个产品都是正品的情况，所以事件“至少有一个是次品”是随机事件，故B错误； 对于C，因为次品的个数只有2个，所以事件“3个都是次品”是不可能事件，故C错误； 对于D，因为次品的个数只有2个，所以任取出来的3个产品必然至少有一个是正品，即事件“至少有一个是正品”是必然事件，故D正确. 故选：D. 6．下列说法正确的是（  ） A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女 B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖 C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大 D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1 【答案】D 【解析】由概率的意义可判断AB错误，由随机抽样的概念得到D正确. 【解析】一对夫妇生两小孩可能是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到的奖票的概率都是0.1，所以C不正确；D正确． 故选：D. 7．（多选）在10名学生中，男生有名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有一名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则可以是（  ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】CD 【分析】根据②为不可能事件，可知男生人数少于5人，结合③为随机事件可知男生人数不少于3人，即可得出结果. 【解析】依题意知②为不可能事件，所以10名同学中，男生人数少于5人， ③为随机事件，所以男生人数不少于3人， 男生有名，故或． 故选：CD 8．（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据事件之间的关系与运算分别判断选项即可. 【解析】用表示试验的射击情况，其中表示第1次射击的情况，表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中， 则样本空间. 由题意得，，，， 则，，且.即ABC都正确； 又，. .故D不正确. 故选：ABC. 9.（多选）在名学生中，男生有人．现从这名学生中任选人去参加某项活动，有下列事件：①至少有一个女生；②个男生，个女生；③个男生，个女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则的值可能为（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由不可能事件、必然事件和随机事件的概念可确定的范围，进而得到结果. 【解析】若②为不可能事件，则男生人数少于，则同时可保证①为必然事件； 若③为随机事件，则男生人数不少于；或. 故选：BC. 10．分别抛郑3枚质地均匀的硬币，则等可能事件的样本空间中样本点的个数是 ． 【答案】8 【分析】根据每枚硬币的情况数，即可求出分别抛郑3枚硬币的所有情况数． 【解析】每枚硬币都有2种情况，即正面和反面， 则分别抛掷3枚硬币，（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）， 所有， 故答案为：8． 11．先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，观察落地后硬币向上的面的情况，某同学记录了以下事件： A事件：只有一枚硬币正面向上． B事件：两枚硬币均正面向上 C事件：至少一枚硬币正面向上 则在三个事件中含有三个样本点的事件为____________． 【答案】C 【分析】先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，列出基本事件即可. 【解析】先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，其样本空间（正，正），（正，反），（反，正），（反，反） 事件有两个样本点，（正，反）（反，正）， 事件只有1个样本点，（正，正）； 事件有3个样本点（正，正），（正，反），（反，正）． 故答案为：C. 12．从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对，其中x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字. （1）写出样本空间； （2）写出“第1次取出的数字是2”这一事件的集合表示. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）用有序数对表示事件，即可写出样本空间； （2）根据题意可知，0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，第一次取出2，则第二次取出的只能是0或1． 【解析】（1）用有序数对表示事件，所以． （2）根据题意可知，0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，第一次取出2，则第二次取出的只能是0或1，所以“第1次取出的数字是2”这一事件为：． 13．箱子中有三颗球，编号 1，2，3．分别依下列规定取球并观察编号，试写出下列三个试验的样本空间： (1)一次取一球，取后放回，连取两次． (2)一次取一球，取后不放回，连取两次． (3)一次取两球． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析； (3)答案见解析. 【分析】根据样本点的概念，结合题意列举试验的样本空间即得． 【解析】（1）由题可知共有个样本点， 样本空间为； （2）由题可知共有个样本点， 样本空间为； （3）由题可知共有个样本点， 样本空间为{1与2，1与3，2与3}. 14．班里有20个男生，18个女生，其中一名女生叫小雪，从中任意抽取人参加志愿活动． (1)女生被抽到是必然事件，求的取值范围； (2)女生小雪被抽到是随机事件，求的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）必然事件是指在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件. 已知班级里有20个男生，18个女生，总人数为人. 要使女生被抽到是必然事件，意味着抽取的人数要足够多，使得在抽取个人时，不可能只抽到男生. 因为男生有20人，所以当时，就不可能只抽到男生，必然会抽到女生. 所以可知的范围是. （2）随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件. 要使女生小雪被抽到是随机事件，则抽取的人数要满足： 抽取的人数至少为1人，因为如果，则不存在抽取的情况; 抽取的人数最多为37人，因为如果，那么所有人都会被抽到， 此时小雪被抽到就是必然事件，而不是随机事件. 所以的取值范围是. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.1 随机事件和样本空间 教学目标 1.复习初中相关知识：确定性现象、随机现象、必然事件、不可能事件等． 2.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系． 3.了解随机事件之间的关系，能进行随机事件的并(和)、交(积)运算． 4.通过具体实例抽象出样本点、样本空间等概念，以及将“随机事件”从初中自然语言的概念过渡到样本空间下集合语言的概念，在逐步数学化的过程中发展学生的数学抽象素养；在用集合的语言刻画随机事件之间关系的过程中，发展学生的逻辑推理素养． 教学重难点 1.重点 用集合的语言刻画随机事件及其关系． 2.难点 用集合的语言刻画随机事件及其关系. 知识点01 随机现象和样本空间 1．确定性现象和随机现象 在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象.在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象.在自然界和人类社会的生产与生活中，存在着大量的确定性现象和随机现象. 2．有限样本空间 (1)随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. (2)有限样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间. 一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果， 则称样本空间Ω={}为有限样本空间. 【即学即练】 1．高一(1)班计划从A，B，C，D，E这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为（  ） A．5 B．10 C．15 D．20 2．将2个1和1个0随机排成一排，则这个试验的样本空间 . 知识点02 事件 1.随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，···表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. 2.必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. 3.不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 【即学即练】 1．下列事件中，随机事件的个数是（  ） ①2020年8月18日，北京市不下雨； ②在标准大气压下，水在4℃时结冰； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④向量的模不小于0． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中正确的命题是（  ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 题型01 随机现象 【典例1】下列现象是必然现象的是（  ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 【变式1】下列现象是随机现象的是（  ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 【变式2】下面四个选项中，是随机现象的是（  ） A．守株待兔 B．水中捞月 C．流水不腐 D．户枢不蠹 题型02 样本空间的求法 【典例1】袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的小球，按下列要求分别进行试验．分别写出下面试验的样本空间，并指出样本点的总数． (1)从中任取一个球； (2)从中任取两个球； (3)先后各取一个球． 写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法： (1)列举法：适用于样本点个数不多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏． (2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法．列表法的优点是准确、全面、不易遗漏． (3)树状图法：适用于较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举． 【变式1】将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为，，则方程有实数根的样本点个数为（  ） A．18 B．19 C．20 D．21 【变式2】抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，该试验的样本空间中样本点的个数为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式3】从中任取两个字母，则该试验的样本点数为 ． 【变式4】已知某校高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数分别为180，120，120．现采用样本按比例分配的分层随机抽样方法，从中抽取7名同学去敬老院参加献爱心活动． (1)应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从该7名同学中随机抽取2名同学承担敬老院卫生打扫工作．设7名同学中来自高一的3人分别为A，B，C，记事件“抽取的两名同学中至少有一名来自高一年级”，试用所给字母写出事件M包含的样本点； 题型03 事件类型的分类 【典例1】（多选）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断正确的是（  ） A．事件“都是红色卡片”是随机事件 B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件 C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件 D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件 1.对事件分类的两个关键点： (1)条件：事件的分类是与一定的条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生． (2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况． 2,判断一个事件是哪类事件的方法： (1)看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的； (2)看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．　　 【变式1】在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（  ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 【变式2】（多选）对满足的非空集合，则下列说法正确的是（  ） A.“若任取，则”是必然事件； B.“若，则”是不可能事件； C.“若任取，则”是随机事件； D.“若，则”是必然事件． 题型04 事件与样本空间 【典例1】同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用表示结果，其中x表示红色骰子向上一面的点数，y表示蓝色骰子向上一面的点数. (1)写出该试验的样本空间； (2)指出所表示的事件； (3)写出“点数之和不超过5”这一事件的集合表示. 随机事件与样本空间问题的解题策略： (1)用样本点表示随机事件，首先弄清试验的样本空间，不重不漏列出所有的样本点．然后找出满足随机事件要求的样本点，从而用这些样本点组成的集合表示随机事件． (2)随机事件可以用文字表示，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的本质，且更便于今后计算事件发生的概率． 【变式1】一个家庭生两个小孩，所有的样本点有（　　） A．（男，女），（男，男），（女，女） B．（男，女），（女，男） C．（男，男），（男，女），（女，男），（女，女） D．（男，男），（女，女） 【变式2】下列试验中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间． (1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次； (2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素． 题型05 事件与事件的表示 【典例1】同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用表示结果，其中x表示红色骰子向上一面的点数，y表示蓝色骰子向上一面的点数. (1)写出该试验的样本空间； (2)指出所表示的事件； (3)写出“点数之和不超过5”这一事件的集合表示. 1．随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间：(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏． 2．试验中当试验的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错． 【变式1】在不透明的布袋中，装有大小、形状完全相同的3个黑球、1个红球，从中摸一个球，摸出1个黑球这一事件是 （  ） A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件 【变式2】抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件“点数大于4”，事件“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为（  ） A． B． C． D． 【变式3】同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有(　　) A． B． C． D．与之间没有关系 【变式4】（多选）下列事件中，是必然事件的是（  ） A．明天北京市不下雨 B．在标准大气压下，水在4℃时结冰 C．早晨太阳从东方升起 D．，则的值不小于0 【变式5】一个口袋内装有除颜色外完全相同的个球，其中个白球，个黑球，从中一次摸出个球． (1)一共有多少个样本点？ (2)写出“个球都是白球”这一事件的集合表示 1．下列现象:①连续两次抛掷同一骰子，两次都出现2点；②走到十字路口，遇到红灯；③异性电荷相互吸引；④抛一石块，下落.其中是随机现象的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列事件是确定事件的是（  ） A．2022年世界杯足球赛期间不下雨 B．没有水，种子发芽 C．对任意，有 D．抛掷一枚硬币，正面向上 3．试验：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为（  ） A． B． C． D． 4．下列事件是随机事件的是（　　） ①当x>10时，；              ②当x∈R，x2+x＝0有解 ③当a∈R关于x的方程x2+a＝0在实数集内有解；  ④当sinα>sinβ时，α>β A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 5．12个同类产品中，有10个正品，任意抽取3个产品概率是1的事件是（  ） A．3个都是正品 B．至少有一个是次品 C．3个都是次品 D．至少有一个是正品 6．下列说法正确的是（  ） A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女 B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖 C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大 D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1 7．（多选）在10名学生中，男生有名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有一名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则可以是（  ） A．5 B．6 C．3 D．4 8．（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系正确的是（  ） A． B． C． D． 9.（多选）在名学生中，男生有人．现从这名学生中任选人去参加某项活动，有下列事件：①至少有一个女生；②个男生，个女生；③个男生，个女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则的值可能为（  ） A． B． C． D． 10．分别抛郑3枚质地均匀的硬币，则等可能事件的样本空间中样本点的个数是 ． 11．先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，观察落地后硬币向上的面的情况，某同学记录了以下事件： A事件：只有一枚硬币正面向上． B事件：两枚硬币均正面向上 C事件：至少一枚硬币正面向上 则在三个事件中含有三个样本点的事件为____________． 12．从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对，其中x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字. （1）写出样本空间； （2）写出“第1次取出的数字是2”这一事件的集合表示. 13．箱子中有三颗球，编号 1，2，3．分别依下列规定取球并观察编号，试写出下列三个试验的样本空间： (1)一次取一球，取后放回，连取两次． (2)一次取一球，取后不放回，连取两次． (3)一次取两球． 14．班里有20个男生，18个女生，其中一名女生叫小雪，从中任意抽取人参加志愿活动． (1)女生被抽到是必然事件，求的取值范围； (2)女生小雪被抽到是随机事件，求的取值范围． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $