专题15.2 随机事件的概率（高效培优讲义）数学苏教版高一必修第二册

本讲义聚焦随机事件的概率核心知识点，衔接初中概率基础，系统构建从概率基本性质到古典概型（有限性、等可能性）、频率稳定性及随机模拟的知识支架，涵盖概率计算、有放回与无放回问题等应用。 资料突出数学抽象与建模素养，通过掷骰子试验归纳古典概型，发展逻辑推理。题型含即学即练与典例变式，课中助教师引导分析样本空间，课后供学生巩固运算与应用，提升数据意识与实践能力。

专题15.2 随机事件的概率 教学目标 1.结合初中所学概率知识，理解概率的两个基本性质；结合具体实例，理解古典概型的基本特点； 2.通过样本空间掌握计算古典概型中简单随机事件的概率的方法； 会求“不放回抽取”“有放回抽取”古典概型的概率；通过实例感受频率的稳定性；学会用频率估计概率． 3.通过掷骰子等试验，归纳古典概型试验的共同特点，进而构建古典概率模型，在此过程中发展学生的数学抽象和数学建模素养；通过对古典概型问题中样本空间和随机事件包含样本点的分析，发展逻辑推理素养；发展逻辑推理素养；在用古典概型的概率计算公式计算概率的过程中，发展数学运算素养． 4.通过实例感受频率的稳定性，理解频率与概率之间的关系，在此过程中发展学生的数学抽象素养；通过用频率估计概率，发展学生的数学运算素养． 教学重难点 1.重点 理解古典概型的特点，利用古典概型概率公式计算概率及古典概型概率公式的运用；频率稳定性的含义，用频率估计概率． 2.难点 判断一个试验是不是古典概型，准确写出试验的样本空间和事件包含的样本点；运用枚举法找出所有的样本点；偶然性与必然性的对立统一的辩证关系。 知识点01 古典概型 1．古典概型 (1)事件的概率 ①定义：对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. ②P(A)满足如下基本性质：0≤P(A)≤1. 对于必然事件Ω和不可能事件∅，显然P(Ω)=1，P(∅)=0. 这是概率满足的第二个基本性质. (2)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间Ω只含有有限个样本点； ②等可能性：每个样本点(基本事件)发生的可能性相等. (3)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所 有的试验都是古典概型. 2．古典概型的概率计算公式 对古典概型来说，如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为P(A)＝＝ 【即学即练】 1．现有5人（其中男性有2人，女性有3人）去某公司应聘，但该公司只录用2人．假设这5人被录用的机会相同，则被录用的2人性别不同的概率是（  ） A． B． C． D． 2．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为_________． 知识点02 频率的稳定性 1．频率与概率 (1)频率与概率的区别 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. (2)频率的特点 随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频率有以下特点. ①在某次随机试验中，事件A发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势. ②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可能性会减小. ③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映. (3)频率的稳定性(用频率估计概率) 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率P(A). 注：(1)在学习频率稳定性时，不能把概率作为当试验次数无限增大时频率的极限(在通常意义下)来理解．(2)随机事件发生的频率具有随机性，而概率是一个客观常数，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大． 【即学即练】 1．某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表： 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 68 125 176 369 命中的频率 0.68 0.625 0.587 0.615 根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么误差较小的可能性的估计是（  ） A．0.68 B．0.625 C．0.587 D．0.615 2．在某地区进行流行病学调查，随机调查了200位某种疾病患者的年龄，得到了如图的样本数据的频率分布直方图，根据图中信息估计该地区这种疾病患者的年龄位于的概率为 . 知识点03 随机模拟 1．随机数的产生 (1)随机数的定义 随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等. (2)产生随机数的方法 ①利用抽签法产生随机数 要产生1~n(n∈N*)之间的随机整数，把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，…，n放入 一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个球，这个球上的数就称为随机数. ②利用计算机或计算器产生伪随机数 计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似 随机数的性质.因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数. (3)用随机模拟法估计概率 ①随机模拟法产生的必要性 用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行，因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可以在短时间内多次重复. ②随机模拟法估计概率的思想 随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率. ③随机模拟法的优点 不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域中去. ④随机模拟法的步骤： 建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果. 【即学即练】 1．规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数： 据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为（  ） A． B． C． D． 2．已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8，现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，根据以下数据估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为（  ） 7527     0293     7140     9857 0347     4373     8636     6947 1417     4698     0371     6233 2616     8045     6011     3661 9597     7424     7610     4281 A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75 题型01 确定性事件与随机事件的概率 【典例1】某同学抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷10次，都是反面朝上，则第11次正面朝上的概率是___________ 【变式1】下列说法正确的个数是（  ） ①必然事件的概率等于； ②某事件的概率等于； ③某事件的概率是. A． B． C． D． 【变式2】通常情况下，孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51，生女孩的概率约是0.49．一个妇女已经生了两个孩子，现在她又怀孕了，这次生男孩的概率约是（　　） A．0.49 B．0.50 C．0.51 D．不能确定 【变式3】（多选）下列关于事件的概率的说法正确的是（  ） A．从全是黑球的袋中取出红球的概率是0 B．从全是黑球的袋中取出黑球的概率是1 C．太阳从西方升起的概率是0 D．明天是晴天的概率是1 【变式4】试解释下面情况中概率的意义： (1)某商场为促进销售，举办有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20； (2)一生产厂家称，我们厂生产的产品合格的概率是0.98. 题型02 计算古典概型问题的概率 【典例1】现有一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，在抛掷骰子的试验中： (1)若只抛掷红色的骰子，记下骰子落地时朝上的面的点数，写出该试验的样本空间；设“骰子朝上的点数大于3”，求事件的概率； (2)若同时抛掷两枚骰子，记下骰子朝上的面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次实验的结果.设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，分别求出事件，的概率. 求古典概型概率的步骤为： (1)判断是否为古典概型； (2)算出基本事件的总数n； (3)算出事件A中包含的基本事件个数m； (4)算出事件A的概率，即P(A)＝. 注：并不是所有的试验都是古典概型，下列三类试验都不是古典概型； ①基本事件个数有限，但非等可能． ②基本事件个数无限，但等可能． ③基本事件个数无限，也不等可能． 【变式1】一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（  ） A． B． C． D． 【变式2】春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如八月有立秋、处暑，九月有白露、秋分.现从立秋、处暑、白露、秋分这4个节气中任选2个节气，则这2个节气至少有一个在八月的概率为（  ） A． B． C． D． 【变式3】书架上有6本不同的教辅书，其中有2本是数学教辅书，从中任取2本，则没有取到数学教辅书的概率是______． 【变式4】俄乌战争中无人机颠覆了传统战争的思维定式.无人机也给人们的生产、生活带来了很多的便捷.在一次无人机展会上，有三家公司参与了展销活动，甲公司带来了3款无人机，乙公司带来了2款无人机，丙公司带来了1款无人机，一购货商准备从中任选2款. (1)用适当的符号表示所有的可能结果，写出样本空间； (2)记事件“恰有一款是甲公司的”，求事件A发生的概率； (3)记事件“没有丙公司的”，求事件B发生的概率. 题型03 利用古典概型的概率求参数 【典例1】一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为___________ 1、古典概型需满足两个条件： （1）样本点总数有限． （2）各个样本点出现的可能性相等． 2、利用古典概型公式计算概率的步骤： （1）确定样本空间的样本点的总数n． （2）确定所求事件A包含的样本点的个数m． （3）． 注：易错常忽略等可能，如投篮命中与否、不均匀骰子；列举基本事件时漏数、多数，或把不等可能事件当作等可能，都是高频易错点。 【变式1】在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】从n个正整数1，2，…，n任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则（  ） A．28 B．14 C．10 D．8 【变式3】中国古典戏曲四大名著是《牡丹亭》《西厢记》《桃花扇》和《长生殿》，它们是中国古典文化艺术的瑰宝.某戏曲学院图书馆藏有上述四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍(其他三部数量保持不变)若干本.若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6，则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍（  ） A．25本 B．30本 C．35本 D．40本 【变式4】在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为___________． 【变式5】一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 题型04 有放回与无放回问题的概率 【典例1】一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球. (1)写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率； (2)分别求第二次，第三次摸到红球的概率； (3)从求解的结果可以得出一个什么基本事实. 在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便． 注：复杂古典概型易混淆有序与无序、放回与不放回，计算总事件数和符合事件数时计数标准不统一。 【变式1】从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（  ） A． B． C． D． 【变式2】吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（  ） A． B． C． D． 【变式3】我们规定把同一副扑克牌中的红桃A，黑桃A，梅花A三张牌背面朝上放在桌子上，将扑克牌洗匀后从中随机抽取一张，记下扑克牌的花色后放回，洗匀后再随机抽取一张，则两次抽取的扑克牌为同一张的概率为__________________.    【变式4】袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． (1)若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； (2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 题型05 频率的计算 【典例1】从某一总体中抽取一个容量为200的样本，得到分组与频数如下：；；，则样本在内的频率是（  ） A．0.69 B．0.46 C．1 D．0.92 【变式1】现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如下表所示： 组号 1 2 3 4 5 频数 9 12 9 8 则第3组的频数和频率分别是（  ） A．12，0.06 B．12，0.24 C．18，0.09 D．18，0.36 【变式2】从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是（  ） A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47 【变式3】某地一种植物一年生长的高度如下表： 高度/cm [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60] 频数 20 30 80 40 30 则该植物一年生长在[30，40）内的频率是___________ 题型06 辨析频率与概率的关系 【典例1】（多选）下列说法正确的是（  ） A.频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； B.做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； C.含百分比的数是频率，但不是概率； D.频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； 1.概率是描述随机事件发生的可能性大小的量，概率大，只能说明这个随机事件发生的可能性大，而不是必然发生或必然不发生． 2.频率是试验实际次数比值，随试验变化；概率是频率的稳定值。易错把频率当概率、用少数几次结果判定概率，混淆必然事件、不可能事件与随机事件的概率取值范围。 【变式1】甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是（  ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517 B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483 C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5 D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517 【变式2】下列说法正确的是（  ） A．甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某商场一次抽奖活动的中奖率为10%，若前9人均未中奖，则第10个人一定中奖 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90% 【变式3】（多选）下列命题不正确的是（  ） A．随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率 B．有一批产品的次品率为0.05，则从中任意取出200件产品中必有10件是次品 C．抛100次硬币，结果51次出现正面，则出现正面的概率是0.51 D．掷骰子100次，得点数为6的结果有20次，则出现6点的频率为0.2 题型07 利用频率估计概率 【典例1】为推动文明城市创建，提升城市整体形象，2018年12月30日盐城市人民政府出台了《盐城市停车管理办法》，2019年3月1日起施行.这项工作有利于市民养成良好的停车习惯，帮助他们树立绿色出行的意识，受到了广大市民的一致好评.现从某单位随机抽取80名职工，统计了他们一周内路边停车的时间t（单位：小时），整理得到数据分组及频率分布直方图如下： 组号 分组 频数 1 6 2 8 3 22 4 28 5 12 6 4    (1)从该单位随机选取一名职工，试估计这名职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率； (2)求频率分布直方图中的值. （1）频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率． （2）解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率． 注：少量试验的频率不能当作概率；误认为频率等于概率；忽略必须大量重复试验这一前提；混淆频率随机性与概率固定不变的本质，随意用单次或少数几次频率下结论。 【变式1】一批瓶装纯净水，每瓶标注的净含量是，现从中随机抽取10瓶，测得各瓶的净含量为（单位：）： 542 548 549 551 549 550 551 555 550 557 若用频率分布估计总体分布，则该批纯净水每瓶净含量在之间的概率估计为（  ） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【变式2】某地气象部门统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 天数 5 7 24 35 19 则可以估计该地区今年6月份的某天最高气温小于的概率为（  ） A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2 【变式3】我市某高校共有学生30000人，其中女生18000人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：h）. (1)应收集多少个男生样本数据? (2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图，其中样本数据分布区间为：，，，，，，在该校学生中任选一人，试估计该生每周平均体育运动时间不超过7h的概率. 题型08 天气预报、抽奖、彩票的概率解释 【典例1】某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（  ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【变式1】气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为90%”，你认为下列解释正确的是（  ） A．本地区有90%的地方下雨 B．本地区有90%的时间下雨 C．明天出行不带雨具，一定被雨淋 D．明天出行不带雨具，有90%的可能被雨淋 【变式2】（多选）下列说法不正确的是（  ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖. B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率. C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈. D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水. 题型09 游戏的公平性问题 【典例1】已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共6个．若从中随机抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)将这6个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6．现在从盒中有放回的随机抽取两次，每次抽取一球．将第一、二次取出的小球的编号分别记为，． ①写出一个等可能的样本空间； ②设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于9则甲胜，否则乙胜．试从甲或乙获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平． 【变式1】小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（  ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 【变式2】（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明． （2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明． 【变式3】一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平. 题型10 随机模拟问题 【典例1】进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116  785  812  730  134  452  125  689  024  169 334  217  109  361  908  284  044  147  318  027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（  ） A． B． C． D． 随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑： (1)当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点； (2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数； (3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复． 【变式1】池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数： 9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7890 2692 8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935 据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（  ） A． B． C． D． 【变式2】甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2个，各个球的大小与质地相同．从两个盒子中各取1个球． (1)求取出的2个球颜色不同的概率； (2)设计一个随机试验，计算（1）中取出的2个球是不同颜色的经验概率． 【变式3】将一枚质地均匀的硬币连掷次,设事件“恰好两次正面朝上”, （1）直接计算事件的概率; （2）利用计算器或计算机模拟试验80次,计算事件发生的频率. 题型11 古典概型与统计的融合 【典例1】某校为了调查学生的课外阅读情况，从全校学生中随机抽取100名学生，将他们的周平均课外阅读时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图估计全校学生周平均课外阅读时间的平均数（每组数据取区间的中点值作代表）、众数与中位数， (2)用分层抽样的方法从，，三组中抽取6人，求从这6人中随机选出2人，这2人恰好在同一组的概率． 【变式1】某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 七年级 八年级 九年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为． (1)求x的值； (2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？ (3)已知，求九年级中女生比男生少的概率． 【变式2】某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． (1)求选取的市民年龄在内的人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【变式3】近几年，贵州榕江县“村超篮球联赛”火热开展，以篮球为纽带点燃乡村的体育热情，促进了全民健身和乡村振兴的发展，榕江县某篮球队对最近场比赛的得分进行了统计，将数据按，，，分为组，画出的频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中的值 (2)估计这场比赛得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (3)现从比赛得分在的比赛中按分层抽样抽取场比赛，再从这场比赛中随机抽取场，求这两场都不低于分的概率. 【变式4在一个文艺比赛中，5名专业人士和5名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分.下面是两组评委对同一名选手的打分： 组 42 47 48 46 52 组 52 36 70 38 39 (1)分别计算两组评委打分的极差和平均数； (2)分别计算两组评委打分的方差，并判断哪组更像是由专业人士组成的评委小组； (3)甲、乙是该场比赛的专业人士评委，要从五位专业人士的评委小组中任意选取2人对该选手点评，求恰好甲、乙同时被选中的概率. 【变式5】在领航2班的一次数学周考中，满分120分，根据班级成绩统计得到了成绩的频率分布直方图，如图所示.由于制作图表的人工作不仔细，将的人数与的人数，的人数与的人数登记反了. (1)求m的值; (2)设领航2班这次考试的更正前的平均分求更正后的平均分，并比较与的大小.（不需要计算，说明理由即可；每个区间的平均分以中点值代替）； (3)从更正后得分，的人中按分层抽样的方式从中选出一个容量为6的样本，再从这6人中选出2人参加竞赛考试，则这2人的成绩在同一区间内的概率为多少? 1．下列三个命题：①任何事件的概率均满足；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此出现正面的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中正确的有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．从1，2，3，4中随机抽取三个不同的数相加，得到的和记为，剩余的数乘以3，记为，则（  ） A． B． C． D．1 3．从数字1，2，3，4中，无放回地抽取2个数字组成一个两位数，其各位数字之和等于5的概率为（  ） A． B． C． D． 4．一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（  ） A．25 B．30 C．35 D．40 5．有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们“向上的点数之和不超过”的概率记为，“向上的点数之和大于”的概率记为，“向上的点数之和为偶数”的概率记为，则（  ） A． B． C． D． 7．（多选）关于概率与频率，下列说法正确的是（  ） A．频率是随机的，概率是确定的 B．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C．某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D．在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 8．（多选）下列说法不正确的是（  ） A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖 C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水 9.（多选）某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲､乙､丙､丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买. 顾客人数  商品 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × 根据表中数据,下列结论正确的是 A．顾客购买乙商品的概率最大 B．顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2 C．顾客在甲､乙､丙､丁中同时购买3种商品的概率约为0.3 D．顾客仅购买1种商品的概率不大于0.3 10．把一个体积为的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成27个体积为的小正方体，从中任取一块，则取到的小正方体只有两面涂有红漆的概率为______. 11．连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是________ 12．某高中在一次高一物理测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了名学生的物理成绩，成绩均在内，将成绩分为，共组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值并估计这名学生物理成绩的第百分位数（精确到）； (2)从成绩在和的学生中，用分层随机抽样方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名，求这名学生物理成绩在和内各人的概率. 13．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 七年级 八年级 九年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为0.19． (1)求x的值； (2)已知，，求九年级中女生比男生少的概率； (3)已知，在全校学生中随机抽取一名学生，则该学生是女生或是九年级学生的概率是多少？ 14．从高三年级所有女生中，随机抽取个，其体重（单位：公斤）的频率分布表如下： 分组（重量） 频数（个） 10 50 x 15 已知从个女生中随机抽取一个，抽到体重在的女生的概率为. (1)求出的值； (2)用分层抽样的方法从体重在和的女生中共抽取5个，再从这5个女生中任取2个，求体重在和的的女生中各有1个的概率. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.2 随机事件的概率 教学目标 1.结合初中所学概率知识，理解概率的两个基本性质；结合具体实例，理解古典概型的基本特点； 2.通过样本空间掌握计算古典概型中简单随机事件的概率的方法； 会求“不放回抽取”“有放回抽取”古典概型的概率；通过实例感受频率的稳定性；学会用频率估计概率． 3.通过掷骰子等试验，归纳古典概型试验的共同特点，进而构建古典概率模型，在此过程中发展学生的数学抽象和数学建模素养；通过对古典概型问题中样本空间和随机事件包含样本点的分析，发展逻辑推理素养；发展逻辑推理素养；在用古典概型的概率计算公式计算概率的过程中，发展数学运算素养． 4.通过实例感受频率的稳定性，理解频率与概率之间的关系，在此过程中发展学生的数学抽象素养；通过用频率估计概率，发展学生的数学运算素养． 教学重难点 1.重点 理解古典概型的特点，利用古典概型概率公式计算概率及古典概型概率公式的运用；频率稳定性的含义，用频率估计概率． 2.难点 判断一个试验是不是古典概型，准确写出试验的样本空间和事件包含的样本点；运用枚举法找出所有的样本点；偶然性与必然性的对立统一的辩证关系。 知识点01 古典概型 1．古典概型 (1)事件的概率 ①定义：对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. ②P(A)满足如下基本性质：0≤P(A)≤1. 对于必然事件Ω和不可能事件∅，显然P(Ω)=1，P(∅)=0. 这是概率满足的第二个基本性质. (2)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间Ω只含有有限个样本点； ②等可能性：每个样本点(基本事件)发生的可能性相等. (3)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所 有的试验都是古典概型. 2．古典概型的概率计算公式 对古典概型来说，如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为P(A)＝＝ 【即学即练】 1．现有5人（其中男性有2人，女性有3人）去某公司应聘，但该公司只录用2人．假设这5人被录用的机会相同，则被录用的2人性别不同的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由列举法可得录取总情况数及录用的2人性别不同的情况数，据此可得答案. 【解析】记男性应聘者分别为，女性应聘者分别为， 从这5人中随机抽取2人的情况有，，，，，，，，，，共10种， 其中2人性别不同的情况有，，，，，，共6种，故所求概率． 故选：C. 2．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为_________． 【答案】 【分析】由列举法可得样本空间，据此可得答案. 【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张， 样本空间包含，，，，，，，，，共10个， 抽到的3张卡片上的数字之和大于9的基本事件为，，，共4个， 所以抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率 故答案为： 知识点02 频率的稳定性 1．频率与概率 (1)频率与概率的区别 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. (2)频率的特点 随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频率有以下特点. ①在某次随机试验中，事件A发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势. ②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可能性会减小. ③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映. (3)频率的稳定性(用频率估计概率) 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率P(A). 注：(1)在学习频率稳定性时，不能把概率作为当试验次数无限增大时频率的极限(在通常意义下)来理解．(2)随机事件发生的频率具有随机性，而概率是一个客观常数，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大． 【即学即练】 1．某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表： 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 68 125 176 369 命中的频率 0.68 0.625 0.587 0.615 根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么误差较小的可能性的估计是（  ） A．0.68 B．0.625 C．0.587 D．0.615 【答案】D 【分析】由频率和概率的关系求解. 【解析】解：由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小． 故选：D． 2．在某地区进行流行病学调查，随机调查了200位某种疾病患者的年龄，得到了如图的样本数据的频率分布直方图，根据图中信息估计该地区这种疾病患者的年龄位于的概率为 . 【答案】0.14/ 【分析】根据频率分布直方图求出，据此可求解. 【解析】由题知： 故该地区这种疾病患者的年龄位于的概率为. 故答案为：0.14 知识点03 随机模拟 1．随机数的产生 (1)随机数的定义 随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等. (2)产生随机数的方法 ①利用抽签法产生随机数 要产生1~n(n∈N*)之间的随机整数，把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，…，n放入 一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个球，这个球上的数就称为随机数. ②利用计算机或计算器产生伪随机数 计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似 随机数的性质.因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数. (3)用随机模拟法估计概率 ①随机模拟法产生的必要性 用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行，因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可以在短时间内多次重复. ②随机模拟法估计概率的思想 随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率. ③随机模拟法的优点 不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域中去. ④随机模拟法的步骤： 建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果. 【即学即练】 1．规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数： 据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出组随机数中代表“次中至少两次投中环以上”的数组的组数，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【解析】由题意可知，随机模拟试验产生了如下组随机数中， 代表“次中至少两次投中环以上”的数组共组， 因此，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为. 故选：A. 2．已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8，现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，根据以下数据估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为（  ） 7527     0293     7140     9857 0347     4373     8636     6947 1417     4698     0371     6233 2616     8045     6011     3661 9597     7424     7610     4281 A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75 【答案】D 【分析】因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610,共5组, 所以射击4次,即可求得至少击中3次的概率. 【解析】 射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610,共5组, 射击4次,至少击中3次的概率为. 故选：D 题型01 确定性事件与随机事件的概率 【典例1】某同学抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷10次，都是反面朝上，则第11次正面朝上的概率是___________ 【答案】 【分析】根据抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面朝上的概率都是，即可求得所求概率． 【解析】因为抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面朝上的概率都是， 如果连续抛掷10次，那么第11次出现正面朝上的概率仍是． 故答案为： 【变式1】下列说法正确的个数是（  ） ①必然事件的概率等于； ②某事件的概率等于； ③某事件的概率是. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用事件概率的取值范围，即可判断出命题①②③的真假，即可求解. 【解析】因为必然事件的概率等于，不可能事件的概率是，随机事件的概率取值范围为， 所以命题①③正确，命题②错误， 故选：C. 【变式2】通常情况下，孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51，生女孩的概率约是0.49．一个妇女已经生了两个孩子，现在她又怀孕了，这次生男孩的概率约是（　　） A．0.49 B．0.50 C．0.51 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51，即可求解． 【解析】孕妇生孩子时生男孩的概率约是0.51， 前面事件发生的概率不会影响后续事件的发生， 故这次生男孩的概率约是0.51． 故选：C． 【变式3】（多选）下列关于事件的概率的说法正确的是（  ） A．从全是黑球的袋中取出红球的概率是0 B．从全是黑球的袋中取出黑球的概率是1 C．太阳从西方升起的概率是0 D．明天是晴天的概率是1 【答案】ABC 【分析】根据确定性事件和随机事件的定义判断. 【解析】选项A，C是不可能事件，它们的概率都是0，正确． 选项B是必然事件，概率是1，正确． 选项D不是必然事件，概率不是1，D错误． 故选：ABC. 【变式4】试解释下面情况中概率的意义： (1)某商场为促进销售，举办有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20； (2)一生产厂家称，我们厂生产的产品合格的概率是0.98. 【答案】(1)购买其商品的顾客中奖的可能性是; (2)该厂生产的产品合格的可能性是 【分析】利用概率的意义即可得解. 【解析】（1）根据题意，可知购买其商品的顾客中奖的概率为0.20的意义为 购买其商品的顾客中奖的可能性是. （2）根据题意，可知生产的产品合格的概率是0.98的意义为 该厂生产的产品合格的可能性是 题型02 计算古典概型问题的概率 【典例1】现有一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，在抛掷骰子的试验中： (1)若只抛掷红色的骰子，记下骰子落地时朝上的面的点数，写出该试验的样本空间；设“骰子朝上的点数大于3”，求事件的概率； (2)若同时抛掷两枚骰子，记下骰子朝上的面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次实验的结果.设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，分别求出事件，的概率. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）根据样本空间的定义、古典概型概率计算公式即可求解； （2）依次算出,，根据古典概型概率计算公式即可求解. 【解析】（1）样本空间为，设“骰子朝上的点数大于3”，则， 所以事件的概率为； （2）由题意，设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”， 则， ， 所以， 所以. 求古典概型概率的步骤为： (1)判断是否为古典概型； (2)算出基本事件的总数n； (3)算出事件A中包含的基本事件个数m； (4)算出事件A的概率，即P(A)＝. 注：并不是所有的试验都是古典概型，下列三类试验都不是古典概型； ①基本事件个数有限，但非等可能． ②基本事件个数无限，但等可能． ③基本事件个数无限，也不等可能． 【变式1】一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】容器左右两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球， 前4次取球，每次可取左或取右两种选择，最后1次取只有1种选择， 因此不同取法种数为种；按照两个红球被连续取出的情况如下， （1）若在第1，2次取出两个红球，再取另3个球，共有4种方法; （2）若在第2，3次取出红球，则第1次取白球，共有2种方法; （3）若在第3，4次取出红球，则第1，2次取白球，共有1种方法; （4）若在第4，5次取出红球，则第1，2，3次取白球，共有2种方法; 两个红球被连续取出的方法共有种； 所求概率为. 【变式2】春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如八月有立秋、处暑，九月有白露、秋分.现从立秋、处暑、白露、秋分这4个节气中任选2个节气，则这2个节气至少有一个在八月的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设立秋、处暑、白露、秋分四个节气分别为，列举出所有情况，和至少有一个在八月的情况，从而求出概率. 【解析】设立秋、处暑、白露、秋分四个节气分别为， 4个节气中任选2个节气，有以下情况，， 共6种情况， 其中这2个节气至少有一个在八月的情况有， 共5种情况，所以这2个节气至少有一个在八月的概率为. 故选：C. 【变式3】书架上有6本不同的教辅书，其中有2本是数学教辅书，从中任取2本，则没有取到数学教辅书的概率是______． 【答案】 【解析】记6本不同的教辅书为，其中代表2本数学教辅书， 则从中任取2本的情况为：， 共15种， 其中没有取到数学教辅书的情况为：共6种， 所以没有取到数学教辅书的概率为：. 故答案为： 【变式4】俄乌战争中无人机颠覆了传统战争的思维定式.无人机也给人们的生产、生活带来了很多的便捷.在一次无人机展会上，有三家公司参与了展销活动，甲公司带来了3款无人机，乙公司带来了2款无人机，丙公司带来了1款无人机，一购货商准备从中任选2款. (1)用适当的符号表示所有的可能结果，写出样本空间； (2)记事件“恰有一款是甲公司的”，求事件A发生的概率； (3)记事件“没有丙公司的”，求事件B发生的概率. 【答案】(1)样本空间 (2); (3) 【分析】（1）设甲公司的3款无人机为，，，乙公司的2款无人机为，，丙公司的1款无人机为c，利用枚举法可得样本空间； （2）列出符合题意的样本点，进而利用古典概型概率公式可求解； （3）列出符合题意的样本点，进而利用古典概型概率公式可求解. 【解析】（1）设甲公司的3款无人机为，，，乙公司的2款无人机为，，丙公司的1款无人机为c， 则样本空间； （2）由已知可得， 则； （3）由已知可得， 则. 题型03 利用古典概型的概率求参数 【典例1】一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为___________ 【答案】4 【分析】利用古典概型概率计算公式列出方程，能求出的值． 【解析】一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有6个红球，个绿球， 从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是， 则， 解得（负值舍去）. 故答案为：4． 1、古典概型需满足两个条件： （1）样本点总数有限． （2）各个样本点出现的可能性相等． 2、利用古典概型公式计算概率的步骤： （1）确定样本空间的样本点的总数n． （2）确定所求事件A包含的样本点的个数m． （3）． 注：易错常忽略等可能，如投篮命中与否、不均匀骰子；列举基本事件时漏数、多数，或把不等可能事件当作等可能，都是高频易错点。 【变式1】在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，据此可得答案. 【解析】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，则. 故选：B 【变式2】从n个正整数1，2，…，n任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则（  ） A．28 B．14 C．10 D．8 【答案】D 【分析】根据古典概型求概率公式列出方程，求出的值. 【解析】设为取出的两个数对，x是第一个数，y是第二个数，且， 则， 设事件A：取出的两个不同的数的和为5， 则，则， ， ∴. 故选：D. 【变式3】中国古典戏曲四大名著是《牡丹亭》《西厢记》《桃花扇》和《长生殿》，它们是中国古典文化艺术的瑰宝.某戏曲学院图书馆藏有上述四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍(其他三部数量保持不变)若干本.若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6，则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍（  ） A．25本 B．30本 C．35本 D．40本 【答案】C 【分析】设需购买《牡丹亭》戏曲书籍x本，由古典概率的计算公式可得答案. 【解析】设需购买《牡丹亭》戏曲书籍x本，则购买后 该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著共，从中任取1本有种取法. 《牡丹亭》戏曲书籍共，从中任取1本有种取法. 从该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率为， 根据题意可得，解得， 即该戏曲学院图书馆需至少购买《社丹亭》戏曲书籍35本. 故选：C. 【变式4】在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为___________． 【答案】10 【分析】由古典概型概率公式得方程，求解即可. 【解析】根据题意， 从袋中随机摸出一个红球的概率是， 所以. 故答案为：10 【变式5】一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 【答案】(1)； (2)3. 【分析】（1）写出所有样本点，根据古典概型的计算公式即可得到答案； （2）根据古典概型公式得到方程，解出即可. 【解析】（1）由题可知袋中共有5个球，记作， 从中依次不放回取出2个球，样本点有 ， ， ， 共20个样本点， 记＂第次取到红球＂为事件，则＂第次取到绿球＂为事件， 不妨设为红球，为绿球．两次都取到红球，则． 先取到绿球再取到红球，则， 于是， 即第二次取到红球的概率为. （2）两次都取到红球为事件. 所以两次取出红球的概率为， 即，解得． 题型04 有放回与无放回问题的概率 【典例1】一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球. (1)写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率； (2)分别求第二次，第三次摸到红球的概率； (3)从求解的结果可以得出一个什么基本事实. 【答案】(1)样本空间见解析；；(2)第二次，第三次摸到红球的概率均为；(3)抽签中签概率与抽签顺序无关 【分析】（1）依据古典概型写出基本事件空间，再写出“第一次摸到红球”中包含的基本事件，从而求出概率； （2）由古典概型求得概率； （3）依据概率相同得到结论. 【解析】（1）将三个红球记为，一个黄球记为， 从中不放回地依次随机摸出个球，该实验的基本事件空间为： 共有个基本事件， 设“第一次摸到红球”为事件，则 共有个基本事件， 所以，即第一次摸到红球的概率为. （2）设“第二次摸到红球”为事件，则 共有个基本事件， 所以，即第二次摸到红球的概率为. 设“第三次摸到红球”为事件，则 共有个基本事件， 所以，即第三次摸到红球的概率为. （3）因为，即第一、二、三次抽到红球的概率相同， 所以，抽签中签的概率与抽签顺序无关. 在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便． 注：复杂古典概型易混淆有序与无序、放回与不放回，计算总事件数和符合事件数时计数标准不统一。 【变式1】从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【解析】从两名男生（记为和）、两名女生（记为1和2）中任意抽取两人， 记事件“抽到的两人是一男生一女生”， 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共16个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共12个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 故选：D. 【变式2】吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】“口香糖吃完时还剩2支香烟”即第四次取到的是口香糖且前三次有两次口香糖一次香烟，根据古典概型计算出其概率即可. 【解析】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为，口香糖为，进行四次取物， 基本事件总数为：种 事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况： 烟、糖、糖、糖：种 糖、烟、糖、糖： 种 糖、糖、烟、糖：种 包含的基本事件个数为：54， 所以，其概率为 故选：D 【变式3】我们规定把同一副扑克牌中的红桃A，黑桃A，梅花A三张牌背面朝上放在桌子上，将扑克牌洗匀后从中随机抽取一张，记下扑克牌的花色后放回，洗匀后再随机抽取一张，则两次抽取的扑克牌为同一张的概率为__________________.    【答案】 【分析】将红桃A，黑桃A，梅花A分别记为A、B、C，画出树状图，利用概率公式即可求出两次抽取的扑克牌为同一张的概率． 【解析】设红桃A，黑桃A，梅花A分别为A，B，C， 两次抽取的扑克牌出现的结果如图所示：    由树状图可知共有9种情况，其中两次抽到同一张的情况有3种， 所以两次抽取的扑克牌为同一张的概率为． 故答案为： 【变式4】袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． (1)若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； (2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）根据不放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可； （2）根据有放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可； 【解析】（1）不放回连续取两次的样本空间，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，， 记“两数之和为3的倍数”为事件，则事件，，，，， ，， （2）设5个球记为，，，，，则有放回地取出两个的样本空间 ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， 记“两球颜色恰好不同的概率”为事件，则，，， ，，，，，，，， ， 题型05 频率的计算 【典例1】从某一总体中抽取一个容量为200的样本，得到分组与频数如下：；；，则样本在内的频率是（  ） A．0.69 B．0.46 C．1 D．0.92 【答案】B 【分析】根据题意结合频率公式计算可得. 【解析】由题可知，样本在内的频率应为. 故选：B. 【变式1】现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如下表所示： 组号 1 2 3 4 5 频数 9 12 9 8 则第3组的频数和频率分别是（  ） A．12，0.06 B．12，0.24 C．18，0.09 D．18，0.36 【答案】B 【分析】根据表格中数据，先计算出频数，再计算频率. 【解析】第3组的频数，频率为. 故选：B. 【变式2】从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9 则取到号码为奇数的频率是（  ） A．0.53 B．0.51 C．0.49 D．0.47 【答案】B 【分析】运用频率定义计算即可. 【解析】由题意知，取到号码为奇数的频率为. 故选：B. 【变式3】某地一种植物一年生长的高度如下表： 高度/cm [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60] 频数 20 30 80 40 30 则该植物一年生长在[30，40）内的频率是___________ 【答案】 【分析】根据表格中的数据，结合频率的计算公式，即可求解. 【解析】根据表格中的数据，可得该植物一年生长在内的频率. 故答案为：. 题型06 辨析频率与概率的关系 【典例1】（多选）下列说法正确的是（  ） A.频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； B.做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； C.含百分比的数是频率，但不是概率； D.频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； 【答案】AD 【分析】根据频率与概率的概念逐个判断即可. 【解析】根据频率与概率的定义，可知A正确； 概率不是频率，而②中所给的是事件A发生的频率，因此B错误； 概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此C错误； 根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确． 故选：AD. 1.概率是描述随机事件发生的可能性大小的量，概率大，只能说明这个随机事件发生的可能性大，而不是必然发生或必然不发生． 2.频率是试验实际次数比值，随试验变化；概率是频率的稳定值。易错把频率当概率、用少数几次结果判定概率，混淆必然事件、不可能事件与随机事件的概率取值范围。 【变式1】甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是（  ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517 B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483 C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5 D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517 【答案】B 【分析】根据概率与频率的关系判断. 【解析】甲同学的实验中，正面朝上的频率为0.517，反面朝上的频率为0.483，故B正确； 抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的概率均为0.5，为定值，故AC错误； 甲同学的实验中，正面朝上的频率就是0.517，而不是接近0.517，故D错误. 故选：B. 【变式2】下列说法正确的是（  ） A．甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某商场一次抽奖活动的中奖率为10%，若前9人均未中奖，则第10个人一定中奖 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90% 【答案】D 【分析】利用频率与概率的概念分析选项即可. 【解析】对于A，此概率只表示事件发生的可能性大小，具有随机性，不能代表比赛5场必胜3场，所以A错误； 对于B，此中奖率只表示中奖的可能性，也具有随机性，不能代表10人必中奖1人，所以B错误； 对于C，随机试验的频率可以估计概率，并不等于概率，所以C错误； 对于D，预报播报明天降水概率为90%，是指降水的可能性约为90%，正确. 故选：D. 【变式3】（多选）下列命题不正确的是（  ） A．随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率 B．有一批产品的次品率为0.05，则从中任意取出200件产品中必有10件是次品 C．抛100次硬币，结果51次出现正面，则出现正面的概率是0.51 D．掷骰子100次，得点数为6的结果有20次，则出现6点的频率为0.2 【答案】ABC 【分析】根据频率与概率的区别，概率的定义和性质进行判断． 【解析】对于A，根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，A错误； 对于B，实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动， 并不是一个确定的值，一批产品次品率为0.05， 则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，B错误； 对于C，100次并不是无穷多次， 只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为，故C错误； 对于D，频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值， 抛掷骰子100次，得点数是6的结果有20次，则出现1点的频率是，D正确. 故选：ABC. 题型07 利用频率估计概率 【典例1】为推动文明城市创建，提升城市整体形象，2018年12月30日盐城市人民政府出台了《盐城市停车管理办法》，2019年3月1日起施行.这项工作有利于市民养成良好的停车习惯，帮助他们树立绿色出行的意识，受到了广大市民的一致好评.现从某单位随机抽取80名职工，统计了他们一周内路边停车的时间t（单位：小时），整理得到数据分组及频率分布直方图如下： 组号 分组 频数 1 6 2 8 3 22 4 28 5 12 6 4    (1)从该单位随机选取一名职工，试估计这名职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率； (2)求频率分布直方图中的值. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）先求出样本中一周内路边停车的时间少于8小时的频率，再利用频率估计所选职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率即可； （2）估计频率分布直方图的性质求. 【解析】（1）由已知，所选的名职工中有名职工一周内路边停车的时间少于8小时， 所以样本中一周内路边停车的时间少于8小时的频率为， 记 “从该单位随机选取一名职工，这名职工该周路边停车的时间少于8小时”为事件A， 则， 所以从该单位随机选取一名职工，所选职工一周内路边停车的时间少于8小时的概率为； （2）由频率分布直方图的性质可得， 所以，. （1）频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率． （2）解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率． 注：少量试验的频率不能当作概率；误认为频率等于概率；忽略必须大量重复试验这一前提；混淆频率随机性与概率固定不变的本质，随意用单次或少数几次频率下结论。 【变式1】一批瓶装纯净水，每瓶标注的净含量是，现从中随机抽取10瓶，测得各瓶的净含量为（单位：）： 542 548 549 551 549 550 551 555 550 557 若用频率分布估计总体分布，则该批纯净水每瓶净含量在之间的概率估计为（  ） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】D 【分析】抽取10瓶水中净含量在之间的瓶数，借助于频率与频数的关系计算频率，用频率估计概率，即可求解. 【解析】从数据可知，在随机抽取的10瓶水中，净含量在之间的瓶数为7，频率为， 由频率分布估计总体分布，可知该批纯净水中，净含量在之间的概率为. 故选：D 【变式2】某地气象部门统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 天数 5 7 24 35 19 则可以估计该地区今年6月份的某天最高气温小于的概率为（  ） A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2 【答案】C 【分析】由频率估计概率，得出所求概率. 【解析】因为前三年6月份各天最高气温小于的频率为， 因此估计今年6月份的某天最高气温小于的概率为0.4. 故选：C. 【变式3】我市某高校共有学生30000人，其中女生18000人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：h）. (1)应收集多少个男生样本数据? (2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图，其中样本数据分布区间为：，，，，，，在该校学生中任选一人，试估计该生每周平均体育运动时间不超过7h的概率. 【答案】(1)120； (2) 【分析】（1）根据分层抽样比公式进行求解即可； （2）根据频率分布直方图，利用样本频率估计概率得解. 【解析】（1）根据分层抽样的方法， 所以男生样本数据个数为； （2）学生每周平均体育运动时间不超过7个小时的概率为：， 所以该校学生每周平均体育运动时间不超过7个小时的概率. 题型08 天气预报、抽奖、彩票的概率解释 【典例1】某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（  ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【答案】D 【分析】中奖的概率为，只能说有中奖的可能性，但不能确定一定中奖还是不中奖，分析判断即可. 【解析】中奖的概率为，与抽的次数无关，只是有中奖的可能性， 故选：D． 【变式1】气象站在发布天气预报时说“明天本地区降雨的概率为90%”，你认为下列解释正确的是（  ） A．本地区有90%的地方下雨 B．本地区有90%的时间下雨 C．明天出行不带雨具，一定被雨淋 D．明天出行不带雨具，有90%的可能被雨淋 【答案】D 【分析】根据概率的实际意义即可判断. 【解析】明天本地区降雨的概率为90%意味着有90%的可能会下雨，结合选项可知只有D正确， 故选：D. 【变式2】（多选）下列说法不正确的是（  ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖. B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率. C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈. D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水. 【答案】ACD 【分析】由概率、频率的概念逐个判断即可. 【解析】对于A，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为， 不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A错误； 对于B，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B正确； 对于C，某医院治疗一种疾病的治愈率为，是指一位病人被治愈的概率为， 不是说每10名患者就一定有一人被治愈，故C错误. 对于D，“明天本市降水概率为”指下雨的可能性为0.7，故D错. 故选：ACD 题型09 游戏的公平性问题 【典例1】已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共6个．若从中随机抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)将这6个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6．现在从盒中有放回的随机抽取两次，每次抽取一球．将第一、二次取出的小球的编号分别记为，． ①写出一个等可能的样本空间； ②设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于9则甲胜，否则乙胜．试从甲或乙获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平． 【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为：2,1,3. (2)①答案见解析；②不公平 【分析】（1）根据古典概型的计算公式求盒中红球、黄球、蓝球的个数. （2）①根据题意，列出样本空间即可； ②结合古典概型，分别求出甲乙获胜的概率，即可作出判断. 【解析】（1）设盒中红球个，黄球个，则篮球（）个， 由题意：. 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为：2,1,3. （2）①因为是有放回的随机抽取两次，每次抽取一球，所以样本空间为：，其中包含个样本点，并且每个样本点发生的可能性相同. ②因为红球的编号为1,2，黄球的编号为3，篮球的编号为4,5,6. 根据规则，甲获胜的样本点有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19个样本点，所以甲获胜的概率为， 从而乙获胜的概率为：. 因为，所以这个游戏不公平. 【变式1】小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（  ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 【答案】B 【分析】分别计算各选项中小明、小华获胜的概率，若二人获胜的概率相等，则公平，否则不公平，由此得到选项． 【解析】对于A，抛掷一枚骰子，一共6种情况，向上的点数为奇数的概率为，向上的点数为偶数的概率为，所以游戏公平； 对于B，同时抛掷两枚硬币，一共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 恰有一枚正面向上的概率为，两枚都正面向上的概率为，所以游戏不公平； 对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红的概率为，扑克牌是黑色的概率为，所以游戏公平； 对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，共四种情况， 两人写的数字相同的概率为，两人写的数字不同的概率为，所以游戏公平． 故选：B． 【变式2】（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明． （2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明． 【答案】（1）这个游戏公平的；答案见解析； （2）这个游戏不公平；答案见解析． 【分析】（1）根据题意，利用列举法结合古典概型的概率公式得到，即可得解； （2）利用列举法结合古典概型的概率公式求解，即可得出结果. 【解析】（1）抛掷两枚质地均匀的硬币，所有情况有：{（正正），（正反），（反正），（反反）}． 记事件A，B分别为“甲胜”，“乙胜”，则， 这个游戏公平的． （2）拋掷三枚质地均匀的硬币，所以有情况有：{（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）}． 记事件A，B分别为“甲胜”，“乙胜”， 则，．这个游戏不公平． 【变式3】一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平. 【答案】见解析. 【分析】把卡片六个面的颜色记为，，，，，，其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色，用树形图得到样本空间，计算出概率即可判断. 【解析】解：把卡片六个面的颜色记为，，，，，， 其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色. 游戏所有的结果可以用如图表示. 不难看出，此时，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为. 因此，这个游戏不公平. 题型10 随机模拟问题 【典例1】进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116  785  812  730  134  452  125  689  024  169 334  217  109  361  908  284  044  147  318  027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】查出20个随机数中表示今后3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数的个数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【解析】由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有： 116  812  730  217  109  361  284  147  318  027共10个， 故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是， 故选：B 随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑： (1)当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点； (2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数； (3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复． 【变式1】池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数： 9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7890 2692 8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935 据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出表中数据四天中恰有三天下雨的情况即可得出概率. 【解析】由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3281，8425，2436，0753，共8组， 所以估计四天中恰有三天下雨的概率为. 故选：B. 【变式2】甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2个，各个球的大小与质地相同．从两个盒子中各取1个球． (1)求取出的2个球颜色不同的概率； (2)设计一个随机试验，计算（1）中取出的2个球是不同颜色的经验概率． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）设“取出的两球是相同颜色”，“取出的两球是不同颜色”，进而分析可得取出的两球是相同颜色，则两球的颜色均为黑色或白色，由等可能事件的概率可得事件A的概率，由对立事件的概率性质可得答案; （2）根据模拟实验原则:必须保证实验在相同条件下进行，设计随机模拟即可. 【解析】（1）设“取出的两球是相同颜色”，“取出的两球是不同颜色”. 则事件A的概率为： 由于事件A与事件B是对立事件， 所以事件B的概率为 （2）随机模拟的步骤： 第1步：利用抓阄法或计算机（计算器）产生和两组取整数值的随机数，每组各有N个随机数． 用“1”表示取到红球，用“2”表示取到黑球，用“3”表示取到白球，用“4”表示取到黄球 第2步：统计两组对应的N对随机数中，每对中的两个数字不同的对数n 第3步：计算的值,则就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值 【变式3】将一枚质地均匀的硬币连掷次,设事件“恰好两次正面朝上”, （1）直接计算事件的概率; （2）利用计算器或计算机模拟试验80次,计算事件发生的频率. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】(1)依据题意列出所有等可能的出现结果,然后根据概率公式求出该事件的概率,即可求得答案. (2)利用计算器或计算机生成随机数表,即可求得事件发生的频率. 【解析】(1)随机掷一枚质地均匀的普通硬币两次,出现的情况如下, (正,正,正,正),(正,正,正,反),(正,正,反,正),(正,反,正,正), (反,正,正,正),(反,反,正,正),(反,正,反,正),(反,正,正,反), (正,反,反,正),(正,反,正,反),(正,正,反,反),(正,反,反,反), (反,正,反,反),(反,反,正,反),(反,反,反,正),(反,反,反,反). 共有种等可能的结果 其中恰好两次正面朝上情况共有:种 则事件的概率为: (2)利用计算机生成随机数表,如下: 8894 1305 9455 9299 1890 7619 2076 7048 7022 8041 2892 7711 9075 3766 4052 5979 1374 9553 4833 3330 7594 6371 1849 9742 1351 8025 3978 8410 5836 3081 4112 5590 8555 3376 1550 1239 9441 6182 6348 7098 3841 7536 8273 3350 6865 9801 1870 4863 2680 9120 7359 6230 5705 6075 4309 3813 9029 7765 7137 7122 6117 1963 4802 7182 3442 7848 6566 8963 1073 2339 6003 8962 5823 1921 9173 5964 9676 1216 1879 6356 数表中共有80组数据,每组数据有4个随机数, 规定:数据是奇数代表硬币的反面,数据的偶数代表硬币的正面 由数表可得恰好两次正面朝上的组数有:26 事件发生的频率: 题型11 古典概型与统计的融合 【典例1】某校为了调查学生的课外阅读情况，从全校学生中随机抽取100名学生，将他们的周平均课外阅读时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图估计全校学生周平均课外阅读时间的平均数（每组数据取区间的中点值作代表）、众数与中位数， (2)用分层抽样的方法从，，三组中抽取6人，求从这6人中随机选出2人，这2人恰好在同一组的概率． 【答案】(1)平均数为，众数为，中位数为; (2) 【分析】（1）首先根据频率分布直方图的所有矩形面积和为1，求出的值，利用频率分布直方图估计平均数，众数与中位数的算法可得答案； （2）计算、、三组的人数，根据分层抽样的比例求出每组抽取的人数；最后利用古典概型可得概率值. 【解析】（1）因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为， 所以，解得． 估计全校学生周平均课外阅读时间的平均数为： 小时． 估计全校学生周平均课外阅读时间的众数为小时． 设全校学生周平均课外阅读时间的中位数为小时，则， 解得． （2）由频率分布直方图可知，，三组数的频率的比为， 所以利用分层抽样的方法抽取人，这三组被抽取的人数分别为，，， 从这人中随机选出人，则样本空间共有个样本点， 设事件“选出的人在同一组”，则共有个样本点，所以， 即从这人中随机选出人，这人恰好在同一组的概率为． 【变式1】某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 七年级 八年级 九年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为． (1)求x的值； (2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？ (3)已知，求九年级中女生比男生少的概率． 【答案】(1); (2); (3) 【分析】（1）根据抽到八年级女生的概率列式求解即可. （2）先求出九年级人数，然后根据分层抽样定义求出所抽取人数即可. （3）结合列举法，利用古典概型概率公式求解即可. 【解析】（1）由题意，． （2）九年级人数为， 现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，应在九年级抽取的人数为（名）． （3）设九年级女生比男生少为事件，九年级女生数，男生数记为， 由（2）知，，． 满足题意的所有样本点是 ，共11个， 其中事件包含的样本点是共5个， ． 【变式2】某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． (1)求选取的市民年龄在内的人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【答案】(1)，; (2)平均数为，第80百分位数为.; (3) 【分析】（1）先求出年龄在内的频率，再求出频数；根据直方图面积为1求解a的值； （2）根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左侧面积为0.8的线所对应的值； （3）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【解析】（1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. 由图可得：，解得； （2）平均数为 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. （3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，， 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，， ，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，， ，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 【变式3】近几年，贵州榕江县“村超篮球联赛”火热开展，以篮球为纽带点燃乡村的体育热情，促进了全民健身和乡村振兴的发展，榕江县某篮球队对最近场比赛的得分进行了统计，将数据按，，，分为组，画出的频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中的值 (2)估计这场比赛得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (3)现从比赛得分在的比赛中按分层抽样抽取场比赛，再从这场比赛中随机抽取场，求这两场都不低于分的概率. 【答案】(1); (2); (3) 【分析】（1）根据频率和为，列方程，可解得； （2）根据频率分布直方图的平均数计算公式直接可计算； （3）根据分层抽样的定义确定得分分别在，内的人数，再用古典概型的概率公式计算. 【解析】（1）由已知得，解得； （2）由已知可估计平均数为 ； （3）由频率分布直方图可知得分在，内的频率分别为，， 即分别在两区间内的场数之比为， 根据分层抽样可知，抽取的场比赛中得分在内的有场，设为，，得分在内的有场，设为，，， 则从场中随机抽取场的情况有，，，，，，，，，，共有种情况； 其中满足两场都不低于分的情况有，，，共种情况， 则所求概率为. 【变式4】在一个文艺比赛中，5名专业人士和5名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分.下面是两组评委对同一名选手的打分： 组 42 47 48 46 52 组 52 36 70 38 39 (1)分别计算两组评委打分的极差和平均数； (2)分别计算两组评委打分的方差，并判断哪组更像是由专业人士组成的评委小组； (3)甲、乙是该场比赛的专业人士评委，要从五位专业人士的评委小组中任意选取2人对该选手点评，求恰好甲、乙同时被选中的概率. 【答案】(1)答案见解析; (2)答案见解析; (3) 【分析】（1）根据极差和平均数的定义计算即可； （2）根据方差的定义计算即可，进而判断哪组更像是由专业人士组成的评委小组； （3）列举出所有的基本情况，根据古典概型的概率公式求解即可. 【解析】（1）由表格数据知：组评委打分的极差为， 平均数为， 组评委打分的极差为， 平均数为， （2）组评委打分的方差为， 组评委打分的方差为， 则，又，小组打分波动较小， 故小组更像是由专业人士组成的评委小组. （3）记五位专业人士分别为，甲，乙， 从五位专业人士的评委小组中任意选取2人， 基本情况为，，（，甲），（，乙），，（，甲），（，乙）， （，甲），（，乙），（甲，乙），共10种情况， 其中甲、乙同时被选中的情况有1种情况， 所以恰好甲、乙同时被选中的概率为. 【变式5】在领航2班的一次数学周考中，满分120分，根据班级成绩统计得到了成绩的频率分布直方图，如图所示.由于制作图表的人工作不仔细，将的人数与的人数，的人数与的人数登记反了. (1)求m的值; (2)设领航2班这次考试的更正前的平均分求更正后的平均分，并比较与的大小.（不需要计算，说明理由即可；每个区间的平均分以中点值代替）； (3)从更正后得分，的人中按分层抽样的方式从中选出一个容量为6的样本，再从这6人中选出2人参加竞赛考试，则这2人的成绩在同一区间内的概率为多少? 【答案】(1)；; (2)；; (3). 【分析】（1）根据频率和为1列方程求参数； （2）由频率直方图及题设，求平均值，比较大小即可； （3）应用分层抽样确定不同区间抽取的人数，应用列举法求古典概型的概率. 【解析】（1）由图知，可得； （2）由图，， ， 所以； （3）由题意，，的人数比为，故6人中4人来自，2人来自， 令中4人为，中2人为， 所以，6人任意抽取2人有，共15种， 其中2人来自同一区间有，共7种， 所以这2人的成绩在同一区间内的概率为. 1．下列三个命题：①任何事件的概率均满足；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此出现正面的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中正确的有（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】利用频率估算概率，命题与定理，由题意对给出的各个选项进行逐一判定并分析即可. 【解析】任何事件的概率均满足为假命题， 因为必然事件的概率，故①错误； 做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此出现正面的概率是为假命题， 因为是出现正面的频率，故②错误； 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率为假命题， 因为大量重复试验，随机事件频率的稳定值才可以作为概率的估计值，故③错误. 因此正确的说法是0个， 故选：A. 2．从1，2，3，4中随机抽取三个不同的数相加，得到的和记为，剩余的数乘以3，记为，则（  ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先列出所有等可能的抽取情况，分别计算每种情况下和，再统计满足的情况数，最后用古典概型公式计算概率. 【解析】从中随机抽取三个不同的数，共有种等可能的情况： ①抽取，则，剩余数为，，此时； ②抽取，则，剩余数为，，此时； ③抽取，则，剩余数为，，此时； ④抽取，则，剩余数为，，此时； 在总共种等可能的情况中，满足的情况有种， 因此 故选：B. 3．从数字1，2，3，4中，无放回地抽取2个数字组成一个两位数，其各位数字之和等于5的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得出所有的两位数的个数，再列举出其各位数字之和为5的两位数，根据古典概率公式可得选项. 【解析】两位数共有个， 其各位数字之和为5的两位数有：14，41，23，32共4个数， 所以各位数字之和等于5的概率为， 故选：A. 4．一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（  ） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】A 【分析】设黑球的个数为n，根据古典概型概率公式列式求解即可. 【解析】设黑球的个数为n，由古典概型的概率公式可得，解得. 故选：A. 5．有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题设分析出：要使资金增加必须2次刮出中奖，转化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于，再列不等式求n取值. 【解析】由于总资金100元，每次在对一张卡片刮码前下注已有资金的一半. 刮第1张卡前，下注50元： 若未中奖，还剩50元；刮第2张卡前，下注25元，不管是否中奖，资金必减少； 若中奖，还剩150元，刮第2张卡前，下注75元，未中奖资金减少；中奖资金增加； 所以，要使资金增加，则必须2次刮出中奖，否则资金减少； 所以，5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于即可， 由5张卡片中任取2张的方法数有10种，n张“中奖”卡中取到2张的方法数有种， 所以且，故或5，即n至少为4. 故选：C 6．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们“向上的点数之和不超过”的概率记为，“向上的点数之和大于”的概率记为，“向上的点数之和为偶数”的概率记为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用列举法结合古典概型的公式求出，即可求解 【解析】把随机掷两枚骰子的所有可能结果列表如下： 共有36种等可能的结果， 其中“向上的点数之和不超过5”的有10种情况， “向上的点数之和大于5”的有26种情况， “向上的点数之和为偶数”的有18种情况， 所以“向上的点数之和不超过5”的概率， “向上的点数之和大于5”的概率， “向上的点数之和为偶数”的概率． 因为， 所以， 故选：C． 7．（多选）关于概率与频率，下列说法正确的是（  ） A．频率是随机的，概率是确定的 B．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C．某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D．在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 【答案】ABD 【分析】根据频率与概率的关系，概率的定义对选项进行分析即可. 【解析】对于A：频率是指在次重复试验中，某事件发生的次数与总试验次数的比值，即.由于每次试验结果不确定，频率随试验结果波动，具有随机性. 概率是事件在理论上发生的可能性大小，是一个确定的常数.故A正确. 对于B：大量重复试验下，事件发生的频率趋于稳定，并趋近于其理论概率.故B正确. 对于C：概率为0的事件不一定不会发生；在离散型概率中，概率为0才意味着不可能发生.故C错误. 对于D：随着试验次数增大，频率的相对误差趋于减小，波动幅度减小，趋于稳定值.故D正确. 故选：ABD 8．（多选）下列说法不正确的是（  ） A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖 C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水 【答案】BCD 【分析】根据频率与概率的定义以及两者之间的关系，即可结合选项逐一求解. 【解析】对于A, 随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，概率是频率的稳定值，故A正确， 对于B, 某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票不一定中奖，故B错误， 对于C, 连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则在100此抛硬币的实验中掷一枚硬币出现反面的频率为，而掷一枚硬币出现反面的概率为，故C错误， 对于D，某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的明天会降水的可能性为70%.故D错误， 故选：BCD 9.（多选）某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲､乙､丙､丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买. 顾客人数  商品 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × 根据表中数据,下列结论正确的是 A．顾客购买乙商品的概率最大 B．顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2 C．顾客在甲､乙､丙､丁中同时购买3种商品的概率约为0.3 D．顾客仅购买1种商品的概率不大于0.3 【答案】BCD 【分析】根据概率的概念,结合所给数据,逐项判断,即可求得答案. 【解析】对于A,由于购买甲商品的顾客有685位,购买乙商品的顾客有515位,故A错误; 对于B, 从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有200位顾客同时购买了乙和丙, 顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为,故B正确; 对于C, 从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有100位顾客同时的买了甲､丙､丁,另有200位顾客同时购买了甲､乙､丙,其他顾客最多购买了2种商品, 顾客在甲､乙､丙､丁中同时购买3种商品的概率可以估计为,故C正确; 对于D, 从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有183位顾客仅购买1种商品, 顾客仅购买1种商品的概率可以估计为,故D正确. 故选:BCD. 10．把一个体积为的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成27个体积为的小正方体，从中任取一块，则取到的小正方体只有两面涂有红漆的概率为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等可能事件的概率公式计算即得. 【解析】依题意，27个体积为的小正方体中，只有两面涂有红漆的小正方体共12个， 所以取到的小正方体只有两面涂有红漆的概率. 故答案为： 11．连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是________ 【答案】 【分析】先求出一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次可能出现的情况和至少出现一次1点的情况，再由古典概率求解即可. 【解析】一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，可能出现的情况为：， ，， ，， 共种， 其中至少出现一次1点的情况有：，共种， 故至少出现一次1点的概率是. 故答案为： 12．某高中在一次高一物理测试后，为了解本次测试的成绩情况，在整个年级中随机抽取了名学生的物理成绩，成绩均在内，将成绩分为，共组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值并估计这名学生物理成绩的第百分位数（精确到）； (2)从成绩在和的学生中，用分层随机抽样方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名，求这名学生物理成绩在和内各人的概率. 【答案】(1)，分位数为分； (2). 【分析】（1）根据频率之和为求出，再由第百分位数的求法计算即可； （2）由分层抽样确定每层抽取人数，列出基本事件和符合题意的事件，根据古典概型求解. 【解析】（1）由题意知，解得，    设第百分位数为， 因为位于之间的频率为，位于之间的频率为， 所以， 令，解得，即第百分位数为. （2）由，得这人中物理成绩在的人数为，分别记为，在的人数为人，分别记为， 在这人中抽取人，共，个基本事件， 这名学生物理成绩在和内各人，共，个基本事件， 故这名学生物理成绩在和内各人的概率为. 13．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 七年级 八年级 九年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为0.19． (1)求x的值； (2)已知，，求九年级中女生比男生少的概率； (3)已知，在全校学生中随机抽取一名学生，则该学生是女生或是九年级学生的概率是多少？ 【答案】(1)380; (2); (3)． 【分析】（1）运用等可能事件概率公式可解； （2）设九年级女生比男生少为事件，九年级女生数、男生数记为,列举样本空间样本点和满足题意的样本点，然后运用古典概型计算； （3）运用并事件概率公式计算即可. 【解析】（1），． （2）设九年级女生比男生少为事件，九年级女生数、男生数记为， 由（1）知，，，． 满足题意得所有样本点是，共11个， 事件A包含的样本点是，共5个． 因此． （3）设“抽到女生”，“抽到九年级学生”，由（2）知， 又，， 全校女生共有（名）， 则有，，． 该学生是女生或九年级学生的概率为． 14．从高三年级所有女生中，随机抽取个，其体重（单位：公斤）的频率分布表如下： 分组（重量） 频数（个） 10 50 x 15 已知从个女生中随机抽取一个，抽到体重在的女生的概率为. (1)求出的值； (2)用分层抽样的方法从体重在和的女生中共抽取5个，再从这5个女生中任取2个，求体重在和的的女生中各有1个的概率. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意列方程组求解即可； （2）确定两组里抽取的人数，利用列举法求解古典概型的概率，即可得答案. 【解析】（1）依题意可得，， 解得； （2）若采用分层抽样的方法从体重在和的女生中共抽取5个， 则体重在的个数为，记为， 在的个数为，记为， 从抽出的5个女生中，任取2个共有： 共10种情况. 其中符合体重在和的女生中各有1个的情况共有： 种. 设事件表示“从这5个女生中任取2个，体重在和的女生中各有1个”， 则. 从这5个女生中任取2个，体重在和的女生中各有1个的概率为. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $