2026年高考数学仿真模拟卷01（全国二卷通用）

**基本信息** 2026年高考数学仿真模拟卷（全国二卷）以核心素养为导向，解答题融合心理学记忆模型、五面体几何证明等真实情境，体现数学思维与现实应用的结合，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|复数、集合、立体几何等|基础概念辨析，考查抽象能力| |多项选择|3/18|统计、圆与直线、平行六面体|多选项设计，培养批判性思维| |填空|3/15|二项式定理、解三角形、函数不等式|简洁设问，检测运算能力| |解答题|5/77|解三角形、椭圆方程、立体几何、概率统计、函数导数|情境化设计（如心理学记忆概率），综合考查推理与模型意识|

2026年高考数学仿真模拟卷01（全国二卷通用） (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.若复数z满足 -=1+i,则z=() A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i 2已知复数：12，则时州（) A.5 B.√5 C.3 D.5 3. 己知集合A= 2x-5s0,B={k-s2斗，则AUB=（） x+3≤ A.[-3,3] B.(-3,3] c.- D.( 4.己知直线1，m,平面α，B,下列命题中正确的是() A.若l/1a,nc,则l/1m B.若l⊥a,⊥，则l1/m C.若111,111B,则a/1B D.若l⊥a,1⊥，则m/1o 5.已知a,6为单位向量，向量a在向量方向上的投影向量为-五，则a-3（) A.2W2 B.2w3 C.8 D.12 6.记等比数列{a,}的前u项和为S,若2S+8=3S,则%=（) A. B. C.2 D.4 +π)2 7.已知sina+ +44，则sin2a=() A.3 3 4 B.4 C. D.4 -化0，四)=了-，若=8（恰有4个学点，则实数太 8.己知函数f(x)= 的取值范围是() A.(2,+0) B.（-0,-2) C.(0,2) D.(-2,0) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法中正确的是() A.某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生 样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全 体学生周末在家学习时长的平均值x和方差2的值分别是x=9,s2=3 B.若y关于x的线性回归方程为)=0.5x-0.3,则样本点(2,0.6)的残差为-0.1 C.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23 D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到Y=7.750.依据=0.01的独立性检验 (x1=6.635),可判断X与Y不独立 10.记圆0：x2+y2=4,圆C:x2+y2-2y+a=0,点A(0,2),已知圆0和圆C相内切，且圆O的 半径大于圆C的半径，M,N是圆O上两点，直线MN与圆C相切，设AM,AN与圆C的另一个交 点分别为P,2,则() A.a=-3 B.MN=2PO C.|Pg=V3当且仅当∠MAN=60° D.∠MAN≤909 11.如图，平行六面体ABCD-ABC1D的底面ABCD是边长为1的菱形，且 ∠C1CB=∠CCD=∠BCD=3,CAL平面CBD,则() B D A.直线BD与直线CC所成角为 B.平面CBD∥平面AB,D 3 C.AC= D.平行六面体ABCD-ABCD的体积为5 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知(1+x)+(a+x)4+(1+x)的展开式中x2的系数为37，则实数a= 13.在三角形ABC中，角A、B、C所对应的边分别为ab、c,已知a=2,b=4,sm4-} 则sinB= 14.已知函数f()-=二+2x,g6)=2m-nx,若关于x的不等式f)≤g()有解，则m的取值 范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,三角形的面积S=5。 C abcos (1)求C: (2)若14sinB=V3b,a-b=2,求a. 16.15分尼知椭国8若若1a>6>0的四个国皮前的四边形酒积为2G,离心*。： 3 (1)求出椭圆的标准方程； (2)过椭圆E的上焦点耳(0，C)作直线I与椭圆E交于A,B两点，是否存在直线1使得AE=2F,B？ 若存在，求出直线1的方程：若不存在，请说明理由. 17.(15分)如图，在五面体ABCDEF中，底面四边形ABCD是梯形，AD/BCIEF, AD=2BC=2EF=4AB=4,ED⊥AB,FB⊥CD,∠BAD=60°，N为AD的中点. B (I)求证：AB⊥平面CDE: (2)若CE=2√5，求平面ABF与平面CWF夹角的余弦值. 18.(17分)心理学研究表明，人类学习新知识后，记忆留存会随时间先快后慢逐渐下降.同学甲 为了解自己的记忆能力，他先练习背诵一首古诗，然后分别在练习结束后20分钟、1小时、1天 个时间节点进行测试，假设他在这三个时间节点完成背诵的概率依次为。，。，，且每 是否完成互不影响 (1)若已知甲在3次测试中恰好完成背诵2次，求他在1小时这个时间节点没有完成背通的概率： (2)设X表示甲在3次测试中完成背诵的次数，求X的分布列及数学期望E(X). 19.(17分)已知函数f(x)=(m+lnx)-x,m∈R (1)若曲线y=f(x)在点(2，f(2)与(4，f(4)处的切线互相平行，求m的值 (2)若f(x)有两个极值点1，x2,其中6>x. (i)求m的取值范围： (i)当点取得最小值时，求m的值 2026年高考数学仿真模拟卷01（全国二卷通用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，两边取模可得，所以，故. 2．已知复数，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】将复数分母实数化写成的形式，利用计算结果． 【详解】因为；故． 3．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，解得，故， ，解得，故， ． 4．已知直线，，平面，，下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】考查空间中线面，面面的位置关系判定，重难点为线面平行，线面垂直，面面垂直的判定定理与性质定理的应用，以及空间直线位置关系的分类讨论. 【详解】选项A：若， ，则直线与平面内的直线可能平行，也可能异面.因此，选项A错误. 选项B：若 ， ，根据“垂直于同一个平面的两条直线平行”这一性质定理，可知.因此，选项B正确. 选项C：若，，则平面与可能平行，也可能相交.例如，若直线平行于两个相交平面的交线，则同时平行于这两个平面，但这两个平面是相交的.因此，选项C错误. 选项D：若 ， ，则直线可能平行于平面，也可能在平面内，因此，选项D错误.综上所述，只有选项B是正确的. 5．已知，为单位向量，向量在向量方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】B 【详解】因为向量在向量方向上的投影向量为，所以，得到.． 6．记等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】由条件得，整理得. 可得的公比，则. 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先应用两角和正弦公式得出，再结合同角三角函数关系及二倍角正弦公式求解. 【详解】由，得，则， 所以，即得， 由，得． 8．已知函数，，若恰有4个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得到为奇函数，的零点关于原点对称，因此只需研究时的零点个数为2，即可对应得到时的零点个数；当时，得到的具体解析式，令分离出参数；构造关于的新函数，利用导数研究函数的单调性、极值、值域，结合方程解的个数要求，得到时方程有2个解对应的的范围，结合奇函数的性质得到总零点为4个时的范围. 【详解】，的定义域为. ，为奇函数，图象关于原点对称. ，恰有4个零点， 可得时，恰有2个零点；时，恰有2个零点，且这4个零点关于原点对称. ， 当时，，得. 时，， 当且时，令，得，即. 时，恰有2个零点，等价于且时，有2个解； 即与在且时有两个交点. 令（且），则； ； ，； 当且时，，即在和上单调递减； 当时，；时，；，；时，；如图所示： 由图可知，当时，与有两个交点； 恰有4个零点时，实数k的取值范围是． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（    ） A．某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是， B．若关于的线性回归方程为，则样本点的残差为-0.1 C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验（），可判断与不独立 【答案】ABD 【分析】根据分层均值与方差计算、残差、百分位数计算公式和独立性检验相关概念，逐个判断即可. 【详解】选项A：全班平均为加权平均 ； ，A正确； 选项B：残差为实际值减预测值，时 ， 残差为 ，B正确； 选项C：将10个数据从小到大排序为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30， 为整数，第70百分位数为第7项和第8项的平均值 ，不是23，C错误；选项D：，可判断与不独立，D正确. 10．记圆，圆，点，已知圆和圆相内切，且圆的半径大于圆的半径，是圆上两点，直线与圆相切，设与圆的另一个交点分别为，则（    ） A． B．​ C．当且仅当 D． 【答案】BCD 【分析】对A直接由两圆相内切得，所以A错误；对B由圆的弦长公式及三角形的中位线定理可得；对D由圆心角与圆周角的关系可得；对C由正弦定理并结合BD选项解析可得. 【详解】对于A，圆，圆心，半径， 整理圆， 圆心，半径. 两圆相内切且半径大于半径，圆心距，得， 因此，解得，故选项A 错误； 对于B，由A选项分析知时，圆方程为，点在圆上， 若直线的斜率存在，设直线的方程为， 则圆到直线的距离，所以， 则圆到直线的距离，， 所以，即为的中点， 同理得为的中点，得，所以. 若直线的斜率不存在，则，点仍为的中点， 同理得为的中点，得，所以. 综上所述，，所以B正确； 对于D，根据圆周角与圆心角的关系，且（当直线过圆心时，），所以，故D正确； 对于C，当时，由B选项解析知， 在中，由正弦定理得，得或， 由D选项解析可知，所以. 当时，在中由正弦定理|， 得，故，故C正确. 11．如图，平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，平面，则（     ）    A．直线与直线所成角为 B．平面平面 C． D．平行六面体的体积为 【答案】BCD 【分析】根据题意，可得平面，则，可判断A；根据面面平行的判断定理判断B；根据，则解得，进而求得，判断C；过点作于点，则平面，故为平行六面体的高，求体积判断D. 【详解】连接，∵底面是边长为1的菱形，， 平面平面，， 平面，平面， 平面，，A错误； ，四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面，同理可知平面， 又平面， 平面平面B正确； 平面平面， ， 则， 即， 又， 设的长度为，故，解得，负值舍去， 又， 故   ， C正确； ， 又， 故，故， 过点作于点，则， 平面平面，， 平面为相交直线， 平面，故为平行六面体的高， 菱形的面积为， 则平行六面体的体积为D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的展开式中的系数为，则实数______. 【答案】 【分析】根据二项展开式即可求解. 【详解】因为的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，的展开式中的系数为， 所以的展开式中的系数为， 所以，即，解得. 13．在三角形ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知，，，则________． 【答案】 【分析】由正弦定理可得，代入已知数值可求. 【详解】根据正弦定理知，，又，，，所以. 14．已知函数，若关于x的不等式有解，则m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】转化问题为有解，令，，设，利用导数求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】由，得，显然， 所以在有解， 令，则，令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，则，即的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知三角形ABC的内角，，的对边分别为，，，三角形的面积． (1)求； (2)若，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形面积与题干已知建立等量关系，直接求解即可； （2）先由正弦定理得，代入求出；再由余弦定理结合，即可求出. 【详解】（1）解：由三角形的面积，又， 所以，则，所以， 因为，则，所以，解得，因此，即； （2）由正弦定理知，由（1）知，，所以， 因为，所以，又，所以， 由余弦定理得，则， 又因为，则，所以， 化简整理得，即，解得或（舍），因此. 16．（15分）已知椭圆的四个顶点围成的四边形面积为，离心率. (1)求出椭圆的标准方程； (2)过椭圆的上焦点作直线与椭圆交于，两点，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据离心率以及四边形面积解方程可求得，，得出椭圆方程； （2）显然直线斜率不存在时不合题意，设出直线方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量关系，可求得直线方程. 【详解】（1）由，得，由椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为， 可得，即，再由，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）知，设点，， 当直线的斜率不存在时，，此时交点为和,不满足，舍去； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，消去得到， 其中，且； ，，即； 因此，解得；解得，即， 直线的方程为. 17．（15分）如图，在五面体中，底面四边形是梯形，，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】第（1）题，利用底面梯形的边长、角度关系，结合线面垂直的判定定理，证明垂直于平面内的两条相交直线，得出平面. 第（2）题，建立空间直角坐标系，用空间向量法求两个平面的法向量，再计算两个平面夹角的余弦值. 【详解】（1）因为为的中点，，所以且 ， 所以四边形为平行四边形，所以． 在中，，，， 由余弦定理得 ， 又因，则得，即，所以． 又，， 平面，平面，所以平面． （2）由（1）知平面，平面，所以，即． 因为且 ，所以四边形为平行四边形， 所以，，得，因为，所以． 因为， 平面，平面，所以平面． 由（1）知，，所以，，两两互相垂直. 以为原点， 所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，.易知平面的一个法向量为． 如图(2)所示，因为平面，，,, ，所以, . 设平面的法向量为，则，故可取． 设平面与平面的夹角为，则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 18．（17分）心理学研究表明，人类学习新知识后，记忆留存会随时间先快后慢逐渐下降.同学甲为了解自己的记忆能力，他先练习背诵一首古诗，然后分别在练习结束后20分钟、1小时、1天这三个时间节点进行测试，假设他在这三个时间节点完成背诵的概率依次为，，，且每次是否完成互不影响. (1)若已知甲在3次测试中恰好完成背诵2次，求他在1小时这个时间节点没有完成背诵的概率； (2)设表示甲在3次测试中完成背诵的次数，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 数学期望 【分析】（1）根据互斥事件概率加法公式及独立事件概率乘法公式求得甲在3次测试中恰好完成背诵2次的概率，再根据条件概率公式求得在此条件下，他在1小时这个时间节点没有完成背诵的概率； （2）易知的可能情况为，分别求得各种情况发生的概率，即可得的分布列，并求得其数学期望. 【详解】（1）记甲在第次完成背诵为事件. 甲在3次测试中恰好完成背诵2次为事件. 则；，所以. （2）易知的可能情况为， ， ， ， . 所以的分布列为 所以的数学期望为. 19．（17分）已知函数，. (1)若曲线在点与处的切线互相平行，求的值. (2)若有两个极值点，其中. （i）求的取值范围； （ii）当取得最小值时，求的值. 【答案】(1)0； (2)（i）；（ii）1 【分析】（1）根据导数的几何意义计算求解； （2）（i）通过导数分析辅助函数的单调性与极值，利用其最大值恒正、两端趋向负无穷的趋势，即可确定的取值范围； （ii）设，通过极值点条件联立消参，构造函数与分析单调性，找到取到最大时对应的，进而求得的值. 【详解】（1）因为， 由题意知：，代入得，解得 所以的值为0. （2）（i）由题意知有两个不同的正数解, 令，即在上有两个不同的变号零点， 因为， 当时，，在上单调递增，不可能有两个零点； 当时，令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，最大值为， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在取到最小值为，所以恒成立， 所以，而当时，，时，， 故当时，在上总有两个不同的零点，即有两个极值点. 因此的取值范围是. （ii）由（i）知，，且， 所以①，② 两式相减得：，所以，由①得， 所以，所以，令，则， 令，所以， 令，所以，所以单调递减，又，所以，则，所以单调递减，所以当取到最小值时，取到最大值. 令，则， 令，则，所以单调递减， 又因为， 所以存在，使，即， 所以当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以当时，取到最大值为， 所以当取到最小值时，即取到最小值时，取到最大值，也就是取到最大值，此时. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学仿真模拟卷01（全国二卷通用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（    ） A． B． C．3 D．5 3．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 4．已知直线，，平面，，下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．已知，为单位向量，向量在向量方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C．8 D．12 6．记等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若恰有4个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（    ） A．某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是， B．若关于的线性回归方程为，则样本点的残差为-0.1 C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验（），可判断与不独立 10．记圆，圆，点，已知圆和圆相内切，且圆的半径大于圆的半径，是圆上两点，直线与圆相切，设与圆的另一个交点分别为，则（    ） A． B．​ C．当且仅当 D． 11．如图，平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，平面，则（     ）    A．直线与直线所成角为 B．平面平面 C． D．平行六面体的体积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的展开式中的系数为，则实数______. 13．在三角形ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知，，，则________． 14．已知函数，若关于x的不等式有解，则m的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知三角形ABC的内角，，的对边分别为，，，三角形的面积． (1)求； (2)若，，求． 16．（15分）已知椭圆的四个顶点围成的四边形面积为，离心率. (1)求出椭圆的标准方程； (2)过椭圆的上焦点作直线与椭圆交于，两点，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 17．（15分）如图，在五面体中，底面四边形是梯形，，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分）心理学研究表明，人类学习新知识后，记忆留存会随时间先快后慢逐渐下降.同学甲为了解自己的记忆能力，他先练习背诵一首古诗，然后分别在练习结束后20分钟、1小时、1天这三个时间节点进行测试，假设他在这三个时间节点完成背诵的概率依次为，，，且每次是否完成互不影响. (1)若已知甲在3次测试中恰好完成背诵2次，求他在1小时这个时间节点没有完成背诵的概率； (2)设表示甲在3次测试中完成背诵的次数，求的分布列及数学期望. 19．（17分）已知函数，. (1)若曲线在点与处的切线互相平行，求的值. (2)若有两个极值点，其中. （i）求的取值范围； （ii）当取得最小值时，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考数学仿真模拟卷01（全国二卷通用） (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.若复数z满足=1+i,则=（) A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i 【答案】B 【详1致H=a,同边取校可得-目中4反.所以子1-i,极：1+1 2.已知复数2=1-2 ,则=() A.3 B.5 C.3 D.5 【答案】B 【分析】将复数分母实数化写成：=a+bi的形式，利用=V匠+b计算结果. 【详解1因为2-上212星-1+2-31：救日=-2旷+（可-5。 ixi -1 3.已知集合A 2s0,B={-≤2头，则4UB=（） x+3 A.[-3,3] B.(-3,3] C 【答案】B 【详解】由题知 3s0s 2x-5 200,03经放4-3到 x+3≠0 x-1≤2，解得-1≤x≤3，故B=[「-1,3]， AUB=(-3,3] 4.己知直线1，m,平面a,B,下列命题中正确的是() A.若l/1a,mco,则l1/m B.若l⊥a,m⊥a,则l1/m C.若l11a,111B,则a/1B D.若I⊥oa,1⊥m,则m/1a 【答案】B 【分析】考查空间中线面，面面的位置关系判定，重难点为线面平行，线面垂直，面面垂直的判 定定理与性质定理的应用，以及空间直线位置关系的分类讨论 【详解】选项A:若l11a,mc,则直线l与平面内的直线m可能平行，也可能异面.因此， 选项A错误。 选项B:若1⊥a,mLa,根据“垂直于同一个平面的两条直线平行”这一性质定理，可知lm 因此，选项B正确 选项C:若l11a,1B,则平面与B可能平行，也可能相交.例如，若直线l平行于两个相交平 面的交线，则1同时平行于这两个平面，但这两个平面是相交的因此，选项C错误 选项D:若l⊥a,I⊥，则直线m可能平行于平面a,也可能在平面a内(mc),因此，选 项D错误综上所述，只有选项B是正确的 5.己知a,方为单位向量，向量a在向量方向上的投影向量为-1b,则a-3=() A.2W2 B.23 C.8 D.12 【答案】B 年解1因为益a在的批影狗量为书，所以多为分a刊水海 a-b=3-36=Va-3=后+962-6a6= 9- 6×3 =23. 6.记等比数列{a}的前项和为S,若2S+S=3S,则g-() a A.号 B. C.2 D.4 【答案】A 【详解】由条件得2(4+4+a)+4=3(a+42),整理得24=42 可得的公此各导-灯月 4 7.已知sima+= +4F4 ,则sin2a=(） C. D.4 【答案】A 1 【分析】先应用两角和正弦公式得出sna+c0s:=2,再结合同角三角函数关系及二倍角正弦公 式求解 π√2 1 【详解】由sina+ 4 1 所以sina+cos-a+2 sinacosa= 4,即得sin'a+cos2a+sin2a= 3 由sin2a+cos2u=1,得sin2a=- 4 8.已知函数f(x)= e(x-2),x>0 k(+1),x<0’ g(x)=f(x)-f(-x),若y=8(x)恰有4个零点，则实数k 的取值范围是() A.(2,+0) B.(-0,-2) C.(0,2) D.(-2,0) 【答案】B 【分析】由g(x)=f(x)-f(-x),得到g(x)为奇函数，y=g(x)的零点关于原点对称，因此只需 研究x>0时g(x)的零点个数为2，即可对应得到x<0时g(x)的零点个数：当x>0时，得到g(x) 的具体解析式，令g()=0分离出参数k=K-2)e:构造关于x的新函数，利用导数研究函数的 1-x 单调性、极值、值域，结合方程解的个数要求，得到x>0时方程有2个解对应的k的范围，结合 奇函数的性质得到总零点为4个时k的范围. 【详解】g(x)=∫(x)-f(-x),∴.g(x)的定义域为(-∞，0)U(0,+o) ∴g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x),g(x)为奇函数，g(x)图象关于原点对称 :x≠0，y=8(x)恰有4个零点， ∴.可得x>0时，y=8(x)恰有2个零点：x<0时，y=8(x)恰有2个零点，且这4个零点关于原 点对称 e(x-2),x>0 :f(x)= k(x+1),x<0’ .当x>0时，-x<0,得g(x)=f(x)-f(-x)=(x-2)e-k(-x+1) .x=1时，g(1)=-e≠0， 当x>0且x≠1时，令g(9)=0,得(x-2)e-k(-x+1)=0,即k=《-2)e 1-x x>0时，y=g)恰有2个零点，等价于x>0且x≠1时，k-任-2到C有2个解： 1-x 即y-任-2列e与y=k在x>0且x≠1时有两个交点 1-x 令n)-2)e(x>0且x≠1D,则h(2)=0: 1-x n()=-101-e+(x-2)-(x2-3x+3)e (1-x) (1-x)2 .当x>0且x≠1时，(x)<0,即h(x)在(0,1)和(1，+o)上单调递减： 当x→0t时，h(x)→-2：x→1时，h(x)→-o:x→1t,h(x)→+o;x→+m时，h(x)→-o 如图所示： y=h(x) y=k 由图可知，当k<-2时，y--2)e与y=k有两个交点： 1-x ∴.y=g(x)恰有4个零点时，实数k的取值范围是(-∞，-2)， 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法中正确的是() A.某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生 样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全 体学生周末在家学习时长的平均值x和方差s2的值分别是x=9,52=3 B.若y关于x的线性回归方程为=0.5x-0.3,则样本点(2,0.6)的残差为-0.1 C.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23 D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到X2=7.750.依据=0.01的独立性检验 （x1=6.635),可判断X与Y不独立 【答案】ABD 【分析】根据分层均值与方差计算、残差、百分位数计算公式和独立性检验相关概念，逐个判断 即可 【详解】选项A:全班平均为加权平均x=30x×8+20x105_450 9； 30+20 50 2=3 2-（®-9门805+005-门=3,4正确 选项B:残差为实际值减预测值，x=2时=0.5×2-0.3=0.7， 残差为0.6-0.7=-0.1，B正确： 选项C:将10个数据从小到大排序为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30， i=10×70%=7为整数，第70百分位数为第7项和第8项的平均值23+24-23,5，不是23，C 2 错误；选项D:x2=7.750>6.635=x1,可判断X与Y不独立，D正确 10.记圆0：x2+y2=4,圆C:x2+y2-2y+a=0,点A(0,2),已知圆0和圆C相内切，且圆O的 半径大于圆C的半径，M,N是圆O上两点，直线N与圆C相切，设AM,AN与圆C的另一个交 点分别为P,0,则() A.a=-3 B.MN=2PO C.|Pg=V3当且仅当∠MAW=60 D.∠MAN≤90° 【答案】BCD 【分析】对A直接由两圆相内切得α=0，所以A错误；对B由圆的弦长公式及三角形的中位线 定理可得；对D由圆心角与圆周角的关系可得；对C由正弦定理并结合BD选项解析可得 【详解】对于A,圆0：x2+y2=4,圆心O(0,0),半径R=2, 整理圆C:x2+(y-1)=1-a, 圆心C(0,1),半径r=√1-a 两圆相内切且O半径大于C半径，圆心距|OC=1=R-r,得r=1, 因此√1-a=l,解得a=0,故选项A错误： 对于B,由A选项分析知a=0时，圆C方程为x2+y2-2y=0,点A(0,2)在圆C上， 若直线AM的斜率存在，设直线AM的方程为y=x+2, 则圆O到直线AM的距离d= +京，所以AM=24-=2A-,4-4 2 4-1+1+2 则圆C(0,1)到直线AM的距离d,= 1 2k +农，例24=2+灰+ 所以AM=2AP到，即P为AM的中点， 同理得e为AN的中点，得MW=2Pg,所以MN=2P可 若直线AM的斜率不存在，则M(0,-2),P(0,0),P点仍为AM的中点， 同理得2为AN的中点，得W=2P2,所以M=2PO 综上所述，=2P9,所以B正确： 对于D,根据圆周角与圆心角的关系，且∠MON≤180心（当直线MN过圆心O时，∠MON=180°）， 所以∠MAW=】∠MON≤90°，故D正确： 2 对于C,当PO=V3时，由B选项解析知MW=2Pg=25, 在AAW中，由正弦定理得sin∠MN=_25_5,得∠MN=60°或∠MN=120, 2R42 由D选项解析可知∠MAN≤90°，所以∠MAN=60」 当∠MAN=60°时，在△AMN中由正弦定理| 2R =sin∠MAw= MN 2 得=4×5=2V3,故Pg==5,故C正确 11.如图，平行六面体ABCD-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，且 ∠CcB-∠CCD=∠BCD5C41平面CBD,则《) B D A,直线BD与直线CC所成角为 3 B.平面CBD∥平面ABD C.AC= D.平行六面体ABCD-ABGA的体积为2 2 【答案】BCD 【分析】根据题意，可得BDI平面ACCA,则BD⊥CC,可判断A:根据面面平行的判断定理 判断B:根据CA⊥CD,则CACD=0解得CC=1,进而求得AC,判断C:过点C作CE⊥AC 于点E,则CE⊥平面ABCD,故CE为平行六面体ABCD-ABGD的高，求体积判断D. 【详解】连接AC,,底面ABCD是边长为1的菱形，.AC⊥BD, CA⊥平面CBD,BDC平面CBD,.CA⊥BD, :CA∩AC=C,CAACc平面ACC1A,·.BDL平面ACCA, CCC平面ACCA,BD⊥CC,A错误： BB=DD,BBDD,四边形BB,DD为平行四边形， BDIB,D,又BDc平面CBD,BDC平面CBD, .BD∥平面CBD,同理可知AB∥DC1,AB,∥平面CBD, 又BD∩AB=B,BD,AB,C平面ABD, .平面C1BD∥平面ABD,B正确： ·CA⊥平面C1BD,CDC平面CBD, .CA L CD,CA CA+CC=CD+CB+CC,C D=CD-CC, CACD=(CD+CB+CC)CD-CC )=0. BCD-CD.CC +CB.CD-CB.CC+CC..CD-CC 0 CD+CB.CD-CB.CC-CC=0, 又∠CCB=∠CCD=∠BCD=C,CB=CD=1, 3 +22-=0,解得m=1,负值舍去， 11 设C℃的长度为m,故12+ AC AC+CC =-CD-CB+CC 故AC=（-CD-CB+CC)}'=CD+CB2+Cc+xD.CB-xD B cG-208.cC-=P+++2x片-2X-2×g=, 2 2 2 ∴4C,=AC=V2,C正确： CACC-(CD+CB)CC-CD.CC+CB.CG-1. 22 1 又网=VcD+CB=D2+2xD.CB+CB2=1+2x,+1=5, 2 故CcC- CA.c℃1 c可3，故sinCA℃= 71 √6 过点C作CELAC于点E,则Ca=CCsinC4.cC-6 :BD1平面ACC1A1,C1EC平面ACC1A,.BD⊥CE, :AC,BDC平面ABCD,AC,BD为相交直线， .CE⊥平面ABCD,故CE为平行六面体ABCD-ABCD的高， 菱形ABCD的面积为CD.CBsin∠BCD=5 测平行六面体4BCD-4BCD的体积为CB=V3x6-Y2,D正确 2x3=2 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知(1+x)+(a+x)4+(1+x)的展开式中x2的系数为37，则实数a= 【答案】±2 【分析】根据二项展开式即可求解。 【详解】因为(1+x)的展开式中x2的系数为C号=3，(a+x)4的展开式中x的系数为Ca2=6a, (1+x)°的展开式中x2的系数为C=10, 所以(1+x)+(a+x)+(（1+x)的展开式中x2的系数为3+6a2+10=6d2+13, 所以6a2+13=37,即a2=4,解得a=±2 13.在三角形ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,已知a=2,b=4,simA=3 则sinB= 【容1号 【分析】由正弦定理可得 b sinA sinB 代入已知数值可求sinB 【详解】根据正弦定理知， 1B又a-=2,b-4,mA-写所以mB-6sn4 .1 3-2 23 1 14.己知函数f(x)= +2x2,g(w)=2m-lhx,若关于x的不等式f(x)≤g(x)有解，则m的取值 范围是 【答案】 【分析】转化问题为2≥e2x-r-(-2x-lnr)有解，令t=-2x-lnx,teR,设h(t)=e-t,利用 导数求出h(c)n,即可求出参数的取值范围。 【详解】由≤g),得之+2x≤x(2m-hx),显然x>0, 所2m产石+2x+r=e4-(2x-m时)在(0t有解 令t=-2x-lnx,则teR,令h(t)=e-t,则h(t)=e-l, 当t<0时，1(t)<0,当t>0时，h(t)>0, 所以h(t)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+o)上单调递增， 所以h(g)mn=h(0)=1,即e2x--(-2x-lnx)≥1， 所以2m≥1，则m≥号即m的取值范国为行+0 1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知三角形ABC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,三角形的面积S=5 C (1)求C: (2)若14sinB=√3b,a-b=2,求a. 【路架1四兮 (2)5 【分析1(1)由三角形面积=，ab sinc与题干已知S=5b0sC建立等量关系，直接求解即可： 2 2 (2)先由正弦定理得nB=,代入14snB=b求出c:再由余弦定理结合a-b=2,即可 2c 求出a 【详解】1)解：由三角形的面积s0snC,又S-5。 C abcos, 2 2 所以s-enc-bcor写，则mc=5m分，所以2sao =3cos 2 2 2 2 2, 国为ce(0,则写所以e气0，解得m-,因此9时c- 2 22 23 3 BC由)知C-子，m8百，所以mB= (2)由正弦定理知b-c 2c 2 因为14smB=5b,所以14x3.5b,又b>0,所以c=7, 2c 由余弦定理得c2=a2+b2-2 ab cosC,则49=a2+b2+ab, 又因为a-b=2,则b=a-2,所以49=2+(a-2)+a(a-2), 化简整理得a2-2a-15=0,即(a-5)(a+3)=0,解得a=5或a=-3(舍)，因此a=5, 16.15分尼加能图五品+号1a>0>0)的个顶点国废的四说形缅积为2N6,底心率e: 3 (1)求出椭圆的标准方程： (2)过椭圆E的上焦点乃(0，C)作直线1与椭圆E交于A,B两点，是否存在直线1使得AF=2FB？ 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由， 【路】0片号1 ②)存在，y=± x+1 【分析】(1)根据离心率以及四边形面积解方程可求得α=√，b=√2，得出椭圆方程： (2)显然直线斜率不存在时不合题意，设出直线方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量 关系AF,=2FB,可求得直线方程 【详解】(1)由e=S=5 ,得a2=3c2,由椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为2√6， 可得2x2ax2b=26,即ab=V6,再由d-b=c2,解得a=V5,b=2, 所以椭圆的方程为上+ 321. (2)由(1)知E(0,1),设点A(5,),B(,2), 当直线1的斜率不存在时，1：x=0,此时交点为(0，V3)和(0，-√3)，不满足AF=2FB,舍去： 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=x+1, [y=k+1 联立少+￡-1消去y得到2+3列x+4-4=0, 32 -4k 其中△=16k2+16(2k2+3)>0,且{ 1+为=2k+3 -4 4=2k+3 :AF=2EB,.0-=2(x2-0),即x1=-2x2: -4k 4k X1+X2=-X2= 2k2+3 4，解得 2:解得=1 2k2+3 因此 即k=± x3=-2￥= 2 k2+3 = 2k2+3 直线1的方程为y=± x+1 2 17.(15分)如图，在五面体ABCDEF中，底面四边形ABCD是梯形，AD/BC∥EF AD=2BC=2EF=4AB=4,ED⊥AB,FB⊥CD,∠BAD=60°，N为AD的中点. (I)求证：AB⊥平面CDE; (2)若CE=2√3，求平面ABF与平面CNF夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (②2 【分析】第(I)题，利用底面梯形的边长、角度关系，结合线面垂直的判定定理，证明AB垂直 于平面CDE内的两条相交直线，得出AB⊥平面CDE 第(2)题，建立空间直角坐标系，用空间向量法求两个平面的法向量，再计算两个平面夹角的余 弦值 【详解】(1)因为N为AD的中点，AD=2BC,所以ANIIBC且AN=BC, 所以四边形ABCN为平行四边形，所以AB/CN. 在ADCN中，CN=AB=1,DN-AD=2,∠DC=∠DAB=60, 由余弦定理得CD2=CN+DN-2CN.DN.cos60=1?+2-2×1x2×-3, 2 又因CN2+CD=DN2,则得∠DCN=90°，即CN⊥CD,所以AB⊥CD 又ED⊥AB,EDI CD=D,CDC平面CDE,EDC平面CDE,所以AB⊥平面CDE (2)由(I)知AB⊥平面CDE,CEc平面CDE,所以ABCE,即CN⊥CE. 因为BC∥EF且BC=EF,所以四边形BCEF为平行四边形， 所以CElFB,B=CE=2√5，得CN⊥FB,因为B⊥CD,所以CE⊥CD. 因为CNOCD=C,CDC平面ABCD,CNC平面ABCD,所以FB⊥平面ABCD. 由(1)知，NC⊥CD,所以CD,CN,CE两两互相垂直. 以C为原点，CD,CN,CE所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(0,0,0),N(0,1,0).易知平面ABF的一个法向量为i=(L,0,0) 如图(2)所示，因为FB1平面ABCD,FB=2W3,xp=x2=-2c0s30°=-V3,yp=2sim30°=1， F(-V5,125),所以CN=(01,0),F=(-V3,0,25) n.CN=y=0 设平面CNF的法向量为i=(x,y,z),则 ,故可取m=(2,0,1). m.NF=-√3x+25z=0 设平面A8F与平面CwP的夹角为日，则cos0=m:m=2=25 m55· 即平面ABF与平面CWF夹角的余弦值为25 60 130 D D 图2 18.(17分)心理学研究表明，人类学习新知识后，记忆留存会随时间先快后慢逐渐下降同学甲 为了解自己的记忆能力，他先练习背诵一首古诗，然后分别在练习结束后20分钟、1小时、1天 这三个时间节点进行测试、假设他在这三个时间节点完欣背语的横率恢次为了号}且每次 是否完成互不影响. (1)若已知甲在3次测试中恰好完成背诵2次，求他在1小时这个时间节点没有完成背诵的概率： (2)设X表示甲在3次测试中完成背诵的次数，求X的分布列及数学期望E(X). 【答案】四8 5 (2) X 0 1 2 3 40 4 1-3 20 243 81 243 数学期望E(K)=4 【分析】(1)根据互斥事件概率加法公式及独立事件概率乘法公式求得甲在3次测试中恰好完成背 诵2次的概率，再根据条件概率公式求得在此条件下，他在1小时这个时间节点没有完成背诵的 概率： (2)易知X的可能情况为0,1,2,3，分别求得各种情况发生的概率，即可得X的分布列，并求得 其数学期望E(X) 【详解】(1)记甲在第(i∈红，2,3})次完成背诵为事件A, 甲在3次测试中恰好完成背诵2次为事件B 则=P4国+Pa4P44子号1升子分}}台分 25 Pa-441}片霜所以Pa) P(A,B） 24325 P(B) 1 81 (2)易知X的可能情况为0,1,2,3， r=o----架 0x功-0刮号引到器数 px小器 所以X的分布列为 0 1 2 3 40 34 20 243 81 3 243 所以X的数学期望为E(x)=0×0+1x4+2×+3x20-3244 243 81 3 2432433 19.(17分)己知函数f(x)=(m+nx)-x,m∈R (1)若曲线y=∫(x)在点(2，f(2)与(4，∫(4)处的切线互相平行，求m的值. (2)若f(x)有两个极值点x,x2,其中6> (i)求m的取值范围： 《)当取得最小值时，求加的值 【答案】(1)0： (2)(i)(0,+oo):(ii)1 【分析】(1)根据导数的几何意义计算求解： (2)(i)通过导数分析辅助函数g(x)=2m+2nx-x的单调性与极值，利用其最大值恒正、两 端趋向负无穷的趋势，即可确定m的取值范围； ()设t=三>1，通过极值点条件联立消参，构造函数℉)与H()分析单调性，找到H)取到 最大时对应的，，进而求得m的值 【详解】(1)因为f"(x)=20m+1nx)1-m=2+2血x 由题意知：f(2)=f(4),代入得2+2血 -m=2m+24 ,解得m=0 2 4 所以m的值为0. (2)①D由题意知f(y)=2+2nx-m=2+21-m心=0(c>0)有两个不同的正数解， 令g(x)=2m+2lnx-x,即g(x)在(0，+∞)上有两个不同的变号零点， 因为g'09=2m=2-m 当≤0时，g(x)>0,g(x)在(0，+o)上单调递增，不可能有两个零点： 2 当m>0时，令g(x)=0,得x=二 u 当x∈(0，名)时，g)>0,()单调递增， 2 当x(已+时，g)<0,8)单调递减。 m 所以s()在x=2处取得最大值，最大值为g(白)=2m+2n2-2, 172 令h0=2t+2h2-2>0),则n0=2-2-2近-D 当te(0,)时，h()<0,h()单调递减， 当teL,+∞)时，h'(t)>0,h(t)单调递增， 所以h()在t=1取到最小值为h)=2n2>0,所以h①)>0恒成立， 所以g(己)=2+2h2-2>0,而当x→0时，g)→-n,x→+切时，g)→-n, 1. 故当m>0时，g(x)在(0，+0)上总有两个不同的零点，即f(x)有两个极值点 因此m的取值范围是(0，+∞) (ii)由(i)知，g(5)=0,g(6)=0,且0<x<2<5, 所以(s-2)=2hx①，n(x2-2)=2lhx3② 2m5 式相减得：ms-)=2n，所以=专，由@得ms 5-2 - 所以 2n5 2In m3生2血，所以。三-2，令1-支>1，则 2Int 2xInx `5-1-2 t-1x-2 x-5-2 令r02nte>),所以r0= 2-0-2:20-1n0 t-1 (t-1) 令a0)-1}n,所以0-片}1兰<0，所以o0单调递减：又0=0，所以0<0，则 F')<0,所以F()单调递减，所以当t取到最小值时，F()取到最大值 令H(o=x1n2x0,2)则(w=22nr七2习 (x-2) 令u()=-2nx+x-2,则()=-2+1==2<0，所以4（的单调递减， 又因为4（②）=-2h2<0,4白=2+2=>0， e e 所以存在6∈日2》，使)-0，即2血6=-2 所以当x∈(0，x)时，u(x)>0,H'(x)>0,H(x)单调递增， 当x∈(，2)时，()<0，H'(x)<0,H(x)单调递减， 所以当x=x时，H(x)取到最大值为H(x), 所以当1取到最小值时，即点取到最小值时，F0取到最大值，也就是H()取到最大值H(化)， 此时m= 2ln=1」 6-2