专题03 平面向量全章17大题型（期末复习专项训练）高一数学下学期沪教版

**基本信息** 全面覆盖平面向量核心知识点，以题型为载体构建从概念到综合应用的递进式训练体系，培养抽象能力、推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题型/11题|考查零向量、单位向量、平行向量、基底的定义与性质|从向量基本要素出发，构建概念生成逻辑链| |线性运算|4题型/15题|聚焦加减、数乘运算及模的最值，结合几何图形应用|从代数运算到几何意义，实现运算与图形的转化| |数量积|5题型/18题|围绕数量积定义、投影、夹角、垂直关系展开|从代数性质到几何应用，深化向量的度量功能| |坐标表示|4题型/13题|涵盖加减、数乘、数量积的坐标运算及共线表示|实现向量运算的代数化，建立几何与代数的桥梁| |综合应用|1题型/3题|多知识点结合，解决复杂情境问题|综合运用向量知识，培养模型意识与综合推理能力|

专题03 平面向量 题型一．平面向量中的零向量与单位向量 题型二．平面向量的平行向量 题型三．平面向量的加减混合运算 题型四．两个平面向量的和或差的模的最值（难点） 题型五．平面向量的数乘与线性运算 题型六．平面向量数量积的性质及其运算（重点） 题型七．平面向量的投影向量 题型八．平面向量的数量投影 题型九．平面向量的基底 题型十．用平面向量的基底表示平面向量（难点） 题型十一．平面向量加减法的坐标运算 题型十二．平面向量数乘和线性运算的坐标运算（重点） 题型十三．平面向量数量积的坐标运算 题型十四．平面向量共线（平行）的坐标表示 题型十五．数量积表示两个平面向量的夹角 题型十六．数量积判断两个平面向量的垂直关系（重点） 题型十七．平面向量的综合题（难点） 题型一．平面向量中的零向量与单位向量（共4小题） 1．（25-26高一下•上海闵行•期中）与向量平行的单位向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据与平行的单位向量为，即可求解． 【详解】解：， 与平行的单位向量为， 即或． 故选：． 2．（25-26高一下•上海宝山•期中）下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据共线向量定理设出单位向量，再根据模长为1求解即可． 【详解】解：设与向量共线的一个单位向量为， 则有，解得， 故选项符合题意． 故选：． 3．（24-25高一下•上海浦东新•期中）已知为单位向量，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据单位向量和零向量的定义，对各选项进行分析． 【详解】解：对于，，故错误； 对于，与任意向量平行，故正确； 对于，，故错误； 对于，，故错误． 故选：． 4．（25-26高一下•上海浦东新•期中）向量的单位向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据向量的单位向量是，求解即可． 【详解】解：向量的单位向量是，． 故选：． 题型二．平面向量的平行向量（共4小题） 5．（25-26高一下•上海浦东新区•月考）下列说法中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】 【分析】选项，根据相等向量的定义判断即可；选项，举例说明选项不成立；选项，举例说明选项错误；选项，根据平面向量数量积和共线的定义，判断即可． 【详解】解：对于，由相等向量的定义知，时，不一定成立，选项错误； 对于，若，则，，不能得出，选项错误； 对于，时，，不一定得出，选项错误； 对于，因为，所以，或，即与共线，选项正确． 故选：． 6．（24-25高一下•上海•月考）设平面向量与不共线，，，则“与共线”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【分析】根据向量平行的充要条件进行分析． 【详解】解：平面向量与不共线，所以与均不为零向量， 根据向量共线定理，“与共线” 存在， 使得， 则“与共线”是“”的充要条件． 故选：． 7．（25-26高一下•上海•期中）已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（　　） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【分析】若，则存在实数，使得：，结合向量的运算即可证明必要性，若，则存在非零实数，使得，利用向量的线性运算即可证明充分性，从而判断选项． 【详解】解：若，当时，； 当时，存在实数，使得：， 整理得：， 若向量与均为非零向量， 所以，若，则，即； 若，则，与为非零向量矛盾， 因此，，必要性成立； 若，则存在非零实数，使得， 此时：， 因为是非零向量，所以与是共线的，即：，所以充分性成立， 综上可得：“”是“”的充要条件． 故选：． 8．（24-25高一下•上海金山•期中）设，是两个不共线的向量，已知，，． （1）求证：，，三点共线； （2）若，且，求实数的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【分析】（1）先根据向量的线性运算，求得，再判断与的关系，即可证明． （2）根据向量平行的结论，求参数的值． 【详解】解：（1）证明：，，， 由题意可得． 因为，所以． 又与有公共点，所以，，三点共线． （2）由（1），知，若， 且，可设， 所以，即． 又，是两个不共线的向量，所以，解得． 题型三．平面向量的加减混合运算（共3小题） 9．（24-25高一下•上海浦东新•期中）（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算求解即可． 【详解】解：． 故选：． 10．（25-26高一下•上海徐汇区•月考）在平行四边形中，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】可画出图形，结合图形及相反向量的概念，向量加法、减法的几何意义，以及向量加法的平行四边形法则即可判断每个结论的正误． 【详解】解：如图，，，，，； 错误． 故选：． 11．（24-25高一下•浦东新期末）化简：　 　． 【分析】根据向量的加减的几何意义计算即可． 【详解】解：简：， 故答案为： 题型四．两个平面向量的和或差的模的最值（共4小题） 12．（2020•上海）已知，，，，，是平面内两两互不相等的向量，满足，且，（其中，2，，2，，，则的最大值是　 　． 【分析】设，，结合向量的模等于1和2画出图形，由圆的交点个数即可求得的最大值． 【详解】解：如图，设，， 由，且，， 分别以，为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个． 故满足条件的的最大值为6． 故答案为：6． 13．（25-26高一下•上海青浦•期中）已知，，，且，是钝角，若的最小值为，则的最小值是　 　． 【分析】根据的最小值为，作出向量，根据图形，可知当时，的最小值为，可以求出，根据，并把，代入，并利用二次函数求最值，即可求得结果． 【详解】解：的最小值为， 根据图形知，当时，的最小值为， ，， ，且， ． 的最小值是； 故答案为． 14．（24-25高一下•上海宝山•期中）已知向量，，则的最大值为 　 　． 【答案】3． 【分析】先求，再结合正弦函数的值域，即可得到所求最大值． 【详解】解：，， ， ， 当，即时，有最小值为， 此时有最大值为3． 故答案为：3． 15．已知，若存在，，使得与夹角为，且，则的最小值为 　 　． 【答案】． 【分析】由已知，可设， ，可知，，，，共线，然后在△中，利用余弦定理结合基本不等式，求得△ 的面积取到最大值，进而得到到直线的距离最远大值，从而根据等号成立的条件得到，使用勾股定理即可求得． 【详解】解：由已知，，令，， 故有，，，共线， 因为， 所以， 又与夹角为，即的夹角为， 在△中，由余弦定理可知：，当且仅当时等号成立， 此时取得最大值为1， 此时△的面积取到最大值，则到的距离最远， 即当且仅当，关于轴对称时，最小， 此时，， 此时，点到直线的距离为， 则． 故答案为：． 题型五．平面向量的数乘与线性运算（共4小题） 16．（25-26高一下•上海徐汇•期中）在△中，已知是的中点，设，，则可以用、表示为 _________． 【答案】． 【分析】结合向量的线性运算法则，即可求解． 【详解】解：， 因为是的中点， 则． 故答案为：． 17．（24-25高一下•上海长宁•期中）在△中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 _________． 【答案】13． 【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，， 则，化简后利用基本不等式可得答案． 【详解】解：因为，所以， 因为，所以， 因为，，三点共线， 所以，，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值是13． 故答案为：13． 18．（24-25高一下•上海宝山•期中）在△中，过中线的中点作一条直线分别交、于、两点，若，，则的最小值为　 　 ． 【答案】． 【分析】根据条件可得出：，然后根据，，三点共线得出，然后根据基本不等式和1的代换即可得解． 【详解】解：如图，为中线的中点，且，则， 所以，且，，三点共线， 所以，且，， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为：． 故答案为：． 19．（24-25高一下•上海松江区•月考）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，在“赵爽弦图”中，若，，，用向量、表示 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据题意，，不妨设，，，求出在上的投影数量和在上的投影数量，得到，根据，可得． 【详解】解：因为，所以，不妨设，，， 则，， 则在上的投影数量为，在上的投影数量为， 所以，故． 故答案为：． 题型六．平面向量数量积的性质及其运算（共4小题） 20．（25-26高一下•上海普陀区•月考）设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【分析】，为非零向量，存在负数，使得，则向量，共线且方向相反，可得．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足，而不成立．即可判断出结论． 【详解】解：，为非零向量，存在负数，使得，则向量，共线且方向相反，可得． 反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足，而不成立． ，为非零向量，则“存在负数，使得”是”的充分不必要条件． 故选：． 21．（24-25高一下•上海嘉定期末）已知三个不共线的向量，，满足 ，则为△的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则作出几何图形，根据菱形性质可得在△的角平分线上，从而可得出为内心． 【详解】解：在上取点，在延长线上取点，使得，， 则，以，为邻边作平行四边形，则， ，平行四边形是菱形，， 过作的平行线交于点， ，即，， 在直线上， ，， 由菱形的性质可知，， 为的角平分线，故在的角平分线上， 同理可得：在的平分线上，在的角平分线上， 是△的内心． 故选：． 22．（25-26高一下•上海浦东新•期中）已知平面向量、满足，若关于的方程有实数解，则面积的最大值为 　 　． 【答案】． 【分析】设的夹角为，把两边平方，可得关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0求得的范围，进一步得到的最大值，则答案可求． 【详解】解：设的夹角为， 由，， 得， ， 由题意可得：，解得或． 当时，， 此时面积的最大值为． 故答案为：． 23．（24-25高一下•上海浦东新期末）如图，动点在以为直径的半圆上（异于，，，且，若，则的取值范围为 　 　． 【答案】， 【分析】利用，把向量内积通过投影转化为三角函数问题进行求解即可． 【详解】解：设，则，作交的延长线于点， 由余弦定理， 所以，即， ，因为，所以， 所以，， 所以， 故答案为：，． 题型七．平面向量的投影向量（共4小题） 24．（24-25高一下•上海杨浦期末）已知向量，满足，则在上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平面向量的投影向量的定义即可求解． 【详解】解：因为，所以， 从而在上的投影向量为． 故选：． 25．（24-25高一下•上海金山•期中）已知向量在向量上的投影向量为，，则（　　） A．6 B．12 C．24 D．9 【答案】 【分析】由投影向量的概念列式即可求解． 【详解】解：向量在向量上的投影向量为，， 可得，解得． 故选：． 26．（25-26高一下•上海•月考）已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若与的夹角的取值范围是，则的取值范围是_________ ． 【答案】． 【分析】结合向量投影的定义及三角函数的性质即可求解． 【详解】解：设与的夹角为， 由题意可得， 则向量在方向上的投影向量为， 因为，所以， 若与的夹角的取值范围是，则， 故的范围为． 故答案为：． 27．（2024•奉贤区二模）已知向量，，则在方向上的投影向量为 　 　． 【答案】． 【分析】根据投影向量公式求出答案． 【详解】解：因为，， 所以在方向上的投影向量为． 故答案为：． 题型八．平面向量的数量投影（共3小题） 28．（2022春•浦东新期末）已知、的夹角为，设，则在上的数量投影为 　 　． 【答案】． 【分析】根据平面向量的数量投影定义，计算即可． 【详解】解：因为、的夹角为，， 所以在上的数量投影为， ． 故答案为：． 29．（24-25高一下•上海嘉定•期中）设向量、满足，，且，则向量在向量方向上的数量投影是 　 　． 【答案】． 【分析】利用向量的数量积的运算法则，求解向量在向量方向上的数量投影． 【详解】解：向量、满足，，且， 则向量在向量方向上的数量投影是． 故答案为：． 30．（2025•青浦区模拟）已知，，则在上的数量投影是 　 　． 【答案】． 【分析】根据数量投影的知识求得正确答案． 【详解】解：，， 则在上的数量投影是． 故答案为：． 题型九．平面向量的基底（共3小题） 31．（24-25高一下•上海•期末）设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（　　） A．和 B．与 C．与 D．与 【答案】 【分析】利用向量共线定理求解即可． 【详解】解：，令，、不共线，且，不存在，与不共线，能作为基底， ，令，、不共线，且，不存在，与不共线，能作为基底， ，，与共线，不能作为基底， ，令，、不共线，且，不存在，与不共线，能作为基底． 故选：． 32．（24-25高一下•浦东新期末）若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】 【分析】判断两个向量不共线，即可能作为平面的一个基，两个向量共线，即不能作为平面的一个基． 【详解】解：对于，假设与共线，则存在，使，即，所以，所以不存在， 即与不共线，能作为平面的一个基； 对于，假设与共线，则存在，使，即，所以，所以不存在，即与不共线，能作为平面的一个基； 对于，因为，所以与共线，不能作为平面的一个基； 对于，假设与共线，则存在，使，即，所以，所以不存在，即与不共线，能作为平面的一个基． 故选：． 33．（24-25高一下•宝山期末）若向量能作为平面内所有向量的一组基底，则的取值范围为 　 　． 【答案】，，． 【分析】根据，为平面内所有向量的一组基底，所以，不共线，通过求，共线时的值即可得到，不共线时的范围． 【详解】解：由题意得， 当时，，解得， 所以． 即的取值范围为，，． 故答案为：，，． 题型十．用平面向量的基底表示平面向量（共4小题） 34．（24-25高一下•上海徐汇期末）如图，在△中，为线段上靠近点的三等分点，若，则 　 　． 【分析】结合图形由向量的减法和，，三点共线可求． 【详解】解：由题意，， 因为为线段上靠近点的三等分点， 所以， 故， 又，，三点共线， 所以． 故答案为：． 35．（24-25高一下•上海普陀•期末）如图，在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则_________ ． 【分析】根据已知条件，结合平面向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，即可求解． 【详解】解：， 是对角线上靠近点的三等分点， 则 点在上， 则，即，解得， ． 故答案为：． 36．（25-26高一下•上海松江区•月考）如图所示，中，点为中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，，相交于点，设，． （1）用，表示，； （2）若，求． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）直接利用向量的线性运算和加减法的应用求解； （2）直接利用向量的线性运算和共线向量的充要条件求． 【详解】解：（1），， ； ； （2）设， ， ，， ， 又，且，不共线， 且， 得． 37．（24-25高一下•上海期末）如图1所示，在△中，点在线段上，满足，点在线段上，满足，线段与线段交于点． （1）用和表示； （2）若，求实数； （3）如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，求的最大值； 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据三角形中平行线的等比关系计算； （2）由（1）得，，列出方程组求解即可； （3）由题意可得，，列出方程组，从而可得，利用基本不等式求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得， 又因为， 所以， 可得； （2）由于，，三点共线，可得存在实数使得， 可得， 可得， 由，得， 又由于， 可得， 解得； （3）因为， 同理， 由（1）可知，， 可得， 由于，，三点共线，可得存在实数，使得， 可得， 可得，，化简得， 可得，当且仅当且，即，时等号成立， 故的最大值为． 题型十一．平面向量加减法的坐标运算（共3小题） 38．（24-25高一下•上海奉贤•期中）已知，点，则点的坐标为　 　 ． 【答案】． 【分析】设，根据平面向量的坐标表示计算可得． 【详解】解：设，因为， 所以， 所以，解得， 所以． 故答案为：． 39．（24-25高一下•上海嘉定期末）已知向量，则 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据向量坐标运算求解． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 40．（24-25高一下•上海浦东新期末）已知，则 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据向量的坐标运算求解即可． 【详解】解：因为， 所以，，，， 解得． 故答案为：． 题型十二．平面向量数乘和线性运算的坐标运算（共3小题） 41．（24-25高一下•上海松江区•月考）在中，若，，则向量的坐标为 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据向量加法的平行四边形法则即可得到结果． 【详解】解：由题意，向量的坐标为． 故答案为：． 42．（24-25高一下•上海闵行•月考）已知点，点，且，则点的坐标为 　 　 ． 【答案】，． 【分析】设点，根据平面向量的坐标运算及，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标． 【详解】解：设点， 则，，， 即，解得， 故点的坐标为，． 故答案为：，． 43．（24-25高一下•上海浦东新•期中）若向量，，则　 　 ． 【答案】． 【分析】应用向量线性关系的坐标运算求即可． 【详解】解：，，，． 故答案为：． 题型十三．平面向量数量积的坐标运算（共3小题） 44．已知向量，，若，则　 　． 【分析】由题意可得，再利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出的值． 【详解】解：向量，，若，则， 即，则， 故答案为：1． 45．（25-26高一下•上海•月考）已知向量，，则　 　 ． 【答案】5． 【分析】根据向量的坐标运算求解即可． 【详解】解：向量，， 则． 故答案为：5． 46．已知平面向量，，，． （1）若，求的值； （2）若与的夹角是钝角，求的取值范围． 【答案】（1）或3． （2）． 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算即可求解； （2）结合平面向量数量积的运算及向量共线的坐标运算求解即可． 【详解】解：（1）若， 则，，， 整理得， 解得或， 故的值为或3． （2）因为与的夹角是钝角， 则， 即， 得， 又当与共线时，有， 得，不合题意， 则， 综上，的取值范围为． 题型十四．平面向量共线（平行）的坐标表示（共4小题） 47．（2025•上海）已知，，若，则 　 　． 【答案】． 【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解． 【详解】解：，，， 则，解得． 故答案为：． 48．（2025•闵行区二模）已知，，且与平行，则 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据向量共线的性质求解即可． 【详解】解：因为，，且与平行， 所以，显然，故． 故答案为：． 49．（24-25高一下•嘉定期末）已知向量，，． （1）若与向量垂直，求实数的值； （2）若向量，且与向量平行，求实数的值． 【分析】（1）由与向量垂直，可得，解得． （2）利用向量共线定理即可得出． 【详解】解：（1），． 与向量垂直，，解得． （2），与向量平行， ，解得． 50．（24-25高一下•上海普陀•期中）已知向是． （1）若，求实数的值； （2）若，求向量与的夹角． 【答案】（1）2； （2）． 【分析】（1）根据题意，得到，根据向量共线的坐标运算，列出方程，即可求解； （2）根据题意，结合向量垂直的坐标运算，列出方程，求得，再结合向量的夹角公式，即可求解． 【详解】解：（1）由向量，可得， 因为，可得，解得，即实数的值为2． （2）由向量，可得， 因为，可得， 解得，所以， 则， 所以向量与的夹角为． 题型十五．数量积表示两个平面向量的夹角（共3小题） 51．（24-25高一下•上海•月考）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】由，可得，进一步得到，然后求出夹角即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：． 52．（24-25高一下•上海松江区•月考）如图，已知等于（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】将向量转化成，向量转化成，然后化简整理即可求出所求． 【详解】解： 化简整理得 故选：． 53．（24-25高一下•上海•月考）已知中，，，，点在边上且满足． （1）用、表示，并求； （2）若点为边中点，求与夹角的余弦值． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）根据条件得出，然后即可得出，然后根据进行数量积的运算即可求出答案； （2）根据条件得出，然后进行数量积的运算可求出和的值，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出与夹角的余弦值． 【详解】解：（1）点在边上，且， ，， ，且，，， ； （2）点为边中点， ， ， 又， ． 题型十六．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共4小题） 54．（25-26高一下•上海浦东新•期中）已知向量，，若，则　 　． 【分析】直接利用向量的数量积运算法则求解即可． 【详解】解：向量，，若， 则 解得． 故答案为：3． 55．（24-25高一下•上海徐汇期末）已知平面向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【分析】（1）运用两向量垂直坐标公式计算即可． （2）运用两向量平行坐标公式计算可求得的值，结合向量线性运算及模的坐标公式计算即可． 【详解】解：（1）若，则． 整理得，解得或． 所以的值为或3． （2）若，则，即，解得或． 当时，，，所以，． 当时，，，所以，所以． 综上，的值为1或． 56．（24-25高一下•上海浦东新•期末）已知向量． （1）求； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）； （2）6． 【分析】（1）结合向量模长的坐标表示即可求解； （2）结合向量数量积性质的坐标表示即可求解． 【详解】解：（1）因为， 所以， 故； （2），， 若，则，即． 57．（25-26高一下•上海浦东新•期中）已知向量与的夹角为，且． （1）求的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）6； （2）． 【分析】（1）运用平面向量数量积的运算性质，得到，由已知向量与的夹角和模即可求得结果； （2）将转化为，求解即可． 【详解】解：（1）因为向量与的夹角为，且， 得：； （2）因为，所以； 得：， 解得：． 题型十七．平面向量的综合题（共3小题） 58．（24-25高一下•上海长宁期末）如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含，两个端点）上的一点，且，，且． （1）若为圆弧的中点，求和的值； （2）若在圆弧（包含，两个端点）上运动，求的取值范围． 【答案】（1），； （2），． 【分析】（1）根据题意，以为原点、所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求得，，，，运用平面向量的坐标运算法则建立关于、的方程组，解之可得和的值； （2）设，，由，结合平面向量的坐标运算法则推导出，然后根据两角和与差的三角函数公式、正弦函数的性质进行求解，可得到的取值范围． 【详解】解：（1）以为原点、所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 可得，，，，即， 所以，， 若为圆弧的中点，则，可得，，即，， 若，则，解得，； （2）设，，可得， 由，可得，解得， 所以， 由，可知，， 当，即，取得最大值1， 当或时，取得最小值， 所以的最小值为1，最大值为2，即的取值范围是，． 59．（24-25高一下•上海浦东新期末）定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为． （1）若，，求最大值及对应的取值集合； （2）若向量的“积函数” 满足，求的值； （3）已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系． 【答案】（1）最大值为2，的取值集合为； （2）； （3）最小值为，此时． 【分析】（1）由已知可得，根据三角函数的性质求解即可； （2）令，有已知根据三角恒等变换求解即可； （3）由已知可得，根据三角函数的有界性可得最大值和与的关系，将代入根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）若，，则由题意， 可得， 当，，即，时， 函数有最大值2， 此时对应的取值集合为； （2）由“积函数” 满足， 可得， 令，则有， 所以，，即，， 所以； （3）因为，， 所以 ， 所以 ， 此时存在满足，，， 当且仅当时等号成立， 所以，即，， 所以 成立， 且，则， 所以， 当时，取得最小值为． 60．（25-26高一下•上海青浦•期中）定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． （1）若向量的“伴随函数”为，求在的值域； （2）若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正△（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； （3）在△中，角，，的对边分别为，，，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）证明见解析； （3），． 【分析】（1）根据“伴随函数”定义可得，可得值域； （2）利用向量的坐标运算即可求得； （3）由余弦定理并利用二次函数性质即可得的取值范围． 【详解】解：（1）函数的“源向量”为， 所以， 所以函数的值域为，， （2）因为，则，则， 又，所以， 且，从而， ， 则 ； 因此可得为定值． （3）如下图所示： 函数的“源向量”为， 则，则， 则， 则又， 即， 所以， 因为，即，当且仅当时取等号， 又因为当顶点无限接近顶点，边无限接近0，即无限接近0， 综上所述， 令，则， 从而，其中， 所以， 即的取值范围，． 试卷第1页，共3页 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面向量 题型一．平面向量中的零向量与单位向量 题型二．平面向量的平行向量 题型三．平面向量的加减混合运算 题型四．两个平面向量的和或差的模的最值（难点） 题型五．平面向量的数乘与线性运算 题型六．平面向量数量积的性质及其运算（重点） 题型七．平面向量的投影向量 题型八．平面向量的数量投影 题型九．平面向量的基底 题型十．用平面向量的基底表示平面向量（难点） 题型十一．平面向量加减法的坐标运算 题型十二．平面向量数乘和线性运算的坐标运算（重点） 题型十三．平面向量数量积的坐标运算 题型十四．平面向量共线（平行）的坐标表示 题型十五．数量积表示两个平面向量的夹角 题型十六．数量积判断两个平面向量的垂直关系（重点） 题型十七．平面向量的综合题（难点） 题型一．平面向量中的零向量与单位向量（共4小题） 1．（25-26高一下•上海闵行•期中）与向量平行的单位向量是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高一下•上海宝山•期中）下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高一下•上海浦东新•期中）已知为单位向量，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高一下•上海浦东新•期中）向量的单位向量是（　　） A． B． C． D． 题型二．平面向量的平行向量（共4小题） 5．（25-26高一下•上海浦东新区•月考）下列说法中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（24-25高一下•上海•月考）设平面向量与不共线，，，则“与共线”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高一下•上海•期中）已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（　　） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高一下•上海金山•期中）设，是两个不共线的向量，已知，，． （1）求证：，，三点共线； （2）若，且，求实数的值． 题型三．平面向量的加减混合运算（共3小题） 9．（24-25高一下•上海浦东新•期中）（　　） A． B． C． D． 10．（25-26高一下•上海徐汇区•月考）在平行四边形中，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 11．（24-25高一下•浦东新期末）化简：　 　． 题型四．两个平面向量的和或差的模的最值（共4小题） 12．（2020•上海）已知，，，，，是平面内两两互不相等的向量，满足，且，（其中，2，，2，，，则的最大值是　 　． 13．（25-26高一下•上海青浦•期中）已知，，，且，是钝角，若的最小值为，则的最小值是　 　． 14．（24-25高一下•上海宝山•期中）已知向量，，则的最大值为 　 　． 15．已知，若存在，，使得与夹角为，且，则的最小值为 　 　． 题型五．平面向量的数乘与线性运算（共4小题） 16．（25-26高一下•上海徐汇•期中）在△中，已知是的中点，设，，则可以用、表示为 _________． 17．（24-25高一下•上海长宁•期中）在△中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 _________． 18．（24-25高一下•上海宝山•期中）在△中，过中线的中点作一条直线分别交、于、两点，若，，则的最小值为　 　 ． 19．（24-25高一下•上海松江区•月考）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，在“赵爽弦图”中，若，，，用向量、表示 　 　 ． 题型六．平面向量数量积的性质及其运算（共4小题） 20．（25-26高一下•上海普陀区•月考）设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 21．（24-25高一下•上海嘉定期末）已知三个不共线的向量，，满足 ，则为△的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 22．（25-26高一下•上海浦东新•期中）已知平面向量、满足，若关于的方程有实数解，则面积的最大值为 　 　． 23．（24-25高一下•上海浦东新期末）如图，动点在以为直径的半圆上（异于，，，且，若，则的取值范围为 　 　． 题型七．平面向量的投影向量（共4小题） 24．（24-25高一下•上海杨浦期末）已知向量，满足，则在上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 25．（24-25高一下•上海金山•期中）已知向量在向量上的投影向量为，，则（　　） A．6 B．12 C．24 D．9 26．（25-26高一下•上海•月考）已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若与的夹角的取值范围是，则的取值范围是_________ ． 27．（2024•奉贤区二模）已知向量，，则在方向上的投影向量为 　 　． 题型八．平面向量的数量投影（共3小题） 28．（2022春•浦东新期末）已知、的夹角为，设，则在上的数量投影为 　 　． 29．（24-25高一下•上海嘉定•期中）设向量、满足，，且，则向量在向量方向上的数量投影是 　 　． 30．（2025•青浦区模拟）已知，，则在上的数量投影是 　 　． 题型九．平面向量的基底（共3小题） 31．（24-25高一下•上海•期末）设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（　　） A．和 B．与 C．与 D．与 32．（24-25高一下•浦东新期末）若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 33．（24-25高一下•宝山期末）若向量能作为平面内所有向量的一组基底，则的取值范围为 　 　． 题型十．用平面向量的基底表示平面向量（共4小题） 34．（24-25高一下•上海徐汇期末）如图，在△中，为线段上靠近点的三等分点，若，则 　 　． 35．（24-25高一下•上海普陀•期末）如图，在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则_________ ． 36．（25-26高一下•上海松江区•月考）如图所示，中，点为中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，，相交于点，设，． （1）用，表示，； （2）若，求． 37．（24-25高一下•上海期末）如图1所示，在△中，点在线段上，满足，点在线段上，满足，线段与线段交于点． （1）用和表示； （2）若，求实数； （3）如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，求的最大值； 题型十一．平面向量加减法的坐标运算（共3小题） 38．（24-25高一下•上海奉贤•期中）已知，点，则点的坐标为　 　 ． 39．（24-25高一下•上海嘉定期末）已知向量，则 　 　 ． 40．（24-25高一下•上海浦东新期末）已知，则 　 　 ． 题型十二．平面向量数乘和线性运算的坐标运算（共3小题） 41．（24-25高一下•上海松江区•月考）在中，若，，则向量的坐标为 　 　 ． 42．（24-25高一下•上海闵行•月考）已知点，点，且，则点的坐标为 　 　 ． 43．（24-25高一下•上海浦东新•期中）若向量，，则　 　 ． 题型十三．平面向量数量积的坐标运算（共3小题） 44．已知向量，，若，则　 　． 45．（25-26高一下•上海•月考）已知向量，，则　 　 ． 46．已知平面向量，，，． （1）若，求的值； （2）若与的夹角是钝角，求的取值范围． 题型十四．平面向量共线（平行）的坐标表示（共4小题） 47．（2025•上海）已知，，若，则 　 　． 48．（2025•闵行区二模）已知，，且与平行，则 　 　 ． 49．（24-25高一下•嘉定期末）已知向量，，． （1）若与向量垂直，求实数的值； （2）若向量，且与向量平行，求实数的值． 50．（24-25高一下•上海普陀•期中）已知向是． （1）若，求实数的值； （2）若，求向量与的夹角． 题型十五．数量积表示两个平面向量的夹角（共3小题） 51．（24-25高一下•上海•月考）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 52．（24-25高一下•上海松江区•月考）如图，已知等于（　　） A． B． C． D． 53．（24-25高一下•上海•月考）已知中，，，，点在边上且满足． （1）用、表示，并求； （2）若点为边中点，求与夹角的余弦值． 题型十六．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共4小题） 54．（25-26高一下•上海浦东新•期中）已知向量，，若，则　 　． 55．（24-25高一下•上海徐汇期末）已知平面向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 56．（24-25高一下•上海浦东新•期末）已知向量． （1）求； （2）若，求实数的值． 57．（25-26高一下•上海浦东新•期中）已知向量与的夹角为，且． （1）求的值； （2）若，求实数的值． 题型十七．平面向量的综合题（共3小题） 58．（24-25高一下•上海长宁期末）如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含，两个端点）上的一点，且，，且． （1）若为圆弧的中点，求和的值； （2）若在圆弧（包含，两个端点）上运动，求的取值范围． 59．（24-25高一下•上海浦东新期末）定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为． （1）若，，求最大值及对应的取值集合； （2）若向量的“积函数” 满足，求的值； （3）已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系． 60．（25-26高一下•上海青浦•期中）定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． （1）若向量的“伴随函数”为，求在的值域； （2）若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正△（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； （3）在△中，角，，的对边分别为，，，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $