精品解析：河南省信阳高级中学新校(贤岭校区)2025-2026学年高三下学期第三次测试(A)数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三下期三模测试（A） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 3. 设，是两个随机事件，且发生必定发生，，，给出下列各式，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数且为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知ξ服从正态分布，a∈R，则“P（ξ＞a）=0.5”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 6. 已知直线与抛物线交于两点，且交于，点的坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列中间一项的值以及项数分别为（    ） A. 29，19 B. 31，18 C. 29，20 D. 27，19 8. 在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 椭圆的左、右焦点为，，P为上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 的周长为12 B. 存在点，使 C. 的最大值为12 D. 到的距离的最大值为4 10. 函数，则（ ） A. 的值域为 B. 的周期 C. 若，当取得最大值时， D. 当为奇函数时， 11. 在三棱锥中，，，平面，则（ ） A. 外接圆直径为 B. C. 当时，三棱锥的体积取得最大值 D. 三棱锥的外接球半径的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆心在直线y＝－2x上，并且经过点，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是______. 13. 十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有______种．（用数字作答） 14. 若不等式对恒成立，则的最大值为___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是数列的前n项和，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，是的前项和，证明：． 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若有两个零点，求实数a的取值范围. 17. 为的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点，，三棱锥体积的最大值为． （1）当时，求二面角的正弦值； （2）当的面积最大时，求． 18. 某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占0.05，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次，统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5人全部阴性；如果混合呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.（每一小组都要按要求独立完成） （1）按照这种化验方法能减少化验次数吗?如果能减少化验次数，大约能减少多少? （2）如果携带病毒的人只占0.02，按照个人一组，取多大时化验次数最少?此时大约化验多少次? 说明：，先减后增 0.8858 0.8681 0.8508 0.8337 19. 已知抛物线的焦点为为上一点，且. （1）求的方程； （2）过点作两条相互垂直的直线分别与交于两点. （i）证明：直线过定点； （ii）若直线分别与轴交于两点，记的面积分别为，当时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三下期三模测试（A） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解出集合的范围，求出并集即可． 【详解】因为；且； 故． 2. 复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得：，所以，所以复数的共轭复数的虚部为1. 3. 设，是两个随机事件，且发生必定发生，，，给出下列各式，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设知，即，，结合条件概率公式判断各项正误. 【详解】由，是两个随机事件，且发生必定发生，知：，即，， 所以，，，A、B、D错，C对； 故选：C 4. 若函数且为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值法得出，求出的值，再利用函数奇偶性的定义验证即可. 【详解】函数且为偶函数，且该函数的定义域为，所以， 因为，，所以，可得， 又因为且，解得，此时， 因为， 故当时，函数为偶函数，故. 5. 已知ξ服从正态分布，a∈R，则“P（ξ＞a）=0.5”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由，知．因为二项式展开式的通项公式为＝，令，得，所以其常数项为，解得，所以“”是“关于的二项式的展开式的常数项为3”的充分不必要条件，故选A． 考点：1、正态分布；2、二项式定理；3、充分条件与必要条件． 6. 已知直线与抛物线交于两点，且交于，点的坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，直线的斜率为，从而求得直线方程为；又，所以，联立得，利用根与系数的关系代入计算求出值． 【详解】，， ，，则直线的方程为：，即， 设、两点的坐标分别为， 联立，消得：， ， ，， ． 故选：C． 7. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列中间一项的值以及项数分别为（    ） A. 29，19 B. 31，18 C. 29，20 D. 27，19 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列奇数项和与偶数项和的差为中间项，和为项数与中间项的乘积，直接求出中间项和项数. 【详解】设该等差数列的项数为（），中间项为. 由等差数列性质，奇数项和，偶数项和. ，即，故中间项. 数列前项和，又， 代入得，解得，即项数为19. 8. 在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理求出，可得为直角三角形，建立平面直角坐标系，即为，的夹角，利用向量夹角的坐标表示即可求出答案. 【详解】在中，由余弦定理可得 ，即， 因此满足，可得是以的直角三角形， 以B为坐标原点，，分别为x轴，y轴，如下图所示， 则，，，，， 则，， 易知即为向量，的夹角， 所以． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 椭圆的左、右焦点为，，P为上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 的周长为12 B. 存在点，使 C. 的最大值为12 D. 到的距离的最大值为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆方程得出基本参数，，，进而得到焦点及相关线段长，判断周长，分析最大值情况判断B选项，分析取值及相关距离情况判断C、D选项. 【详解】因为椭圆，得，，， 所以焦点，，满足， 所以， 在A选项中，的周长为，A正确， 在B选项中，在短轴端点时最大， 此时，为等边三角形， 最大角为​，不存在满足条件的，B错误， 在C选项中，设，， 代入椭圆​，得， 又，最大值为，代入得最大值为，C正确， 在D选项中，过作直线的垂线，垂足记为， 当与不重合时，为直角三角形，， 当与重合时，​到距离等于，D正确. 10. 函数，则（ ） A. 的值域为 B. 的周期 C. 若，当取得最大值时， D. 当为奇函数时， 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意知，再结合三角函数性质判断各选项即可得答案. 【详解】对于A，由题意知：， 其中，则的值域为，故A正确； 对于B,对于的最小正周期为，故B错误； 对于C，若，， 当取得最大值时，，即， 所以，故C正确； 对于D，当为奇函数时，，即， 所以，故D错误. 11. 在三棱锥中，，，平面，则（ ） A. 外接圆直径为 B. C. 当时，三棱锥的体积取得最大值 D. 三棱锥的外接球半径的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用正弦定理求外接圆的直径判断A，令，根据已知得、，进而得到，最后即可判断B，应用棱锥的体积公式及B分析结论，再由导数求体积最大对应参数的值判断C，由棱锥的结构特征得且，即可求范围判断D. 【详解】A：在中，，则外接圆直径为，对， B：令， 在中，即， 由平面，平面，则，， 所以，， 在中， 所以，则， 所以，则， 所以，则， 所以，则， 综上，，即，对， C：由B分析，三棱锥的体积，且， 所以且，则， 当，则在上单调递增， 当，则在上单调递减， 所以，即，三棱锥的体积最大，错， D：平面，易知三棱锥外接球的球心在底面外心的正上方，且与距离相等， 所以外接球半径，又， 当，则，当，则，所以外接球半径的范围是，对. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆心在直线y＝－2x上，并且经过点，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设所求圆的圆心为，半径为，利用两点间的距离公式可得，再利用点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系可得圆心到直线x＋y＝1的距离，由此得到关于的方程，解方程即可求出圆心C的坐标，进而求出半径，代入圆的标准方程即可求解. 【详解】因为所求圆的圆心在直线y＝－2x上， 所以可设圆心为，半径为， 由题意知，， 又圆C与直线x＋y＝1相切，由点到直线的距离公式可得， ， 所以， 解得，， 所以所求圆C的方程为. 故答案为： 【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系求圆的标准方程、点到直线的距离公式；考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力；熟练掌握点与圆、直线与圆的位置关系是求解本题的关键；属于中档题. 13. 十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有______种．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是和，先求出5名工作人员分配到3个会议厅的情况数，甲乙两人分配到同一个会议厅的情况数，相减得到答案. 【详解】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是和， 人数组合是时，共有种情况， 其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为种， 从而甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有种； 人数组合是时，共有种情况， 其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为种， 从而甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有种， 所以甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有种. 故答案为：. 14. 若不等式对恒成立，则的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，将问题转化为，利用导数求出，再转化为，设，利用导数求出即可. 【详解】设，因为对任意的恒成立，则， 求导得 令得，， 当时，，函数在区间单调递减； 当时，，函数在区间单调递增； 所以，所以， 则， 设，， 当时，，函数在区间单调递增； 当时，，函数在区间单调递减； 所以，即的最大值为，的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是数列的前n项和，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，是的前项和，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据与的关系求解；（2）利用裂项相消法求和即可证明. 【小问1详解】 时，， 时， 经验证时 ∴ 【小问2详解】 时 时，， ， ∴． 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若有两个零点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，再分和两种情况讨论函数的单调性； （2）首先根据（1）的结果可知且，再结合零点存在性定理，即可证明. 【小问1详解】 根据条件则 当时，在定义域内恒成立，因此在递减； 当时，由，解得；，解得 因此：当时，的单调减区间为，无增区间； 时，的单调减区间为，增区间为； 注：区间端点处可以是闭的 【小问2详解】 若有两个零点，有（1）可知且 则必有 即，解得 又因， 即， 当时，恒成立，即在单调递减， 可得， 也即得在恒成立， 从而可得在，区间上各有一个零点， 综上所述，若有两个零点实数a的范围为 17. 为的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点，，三棱锥体积的最大值为． （1）当时，求二面角的正弦值； （2）当的面积最大时，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，利用三棱锥体积的最大值求出的半径，建系后，写出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得； （2）利用（1）的坐标系，设，表示出相关点和向量的坐标，利用点到直线距离的向量公式求出点到直线的距离的表达式，利用二次函数的性质求出其最大值即得的面积的最大值，以及此时的值. 【小问1详解】 设的半径为，则，， 因平面，故当三棱锥体积取得最大值时，中边上的高最大，即为半径长， 故有，解得. 如图以点为原点，所在直线分别为轴，以平面上过点的的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 因，易得，则， 又， 设平面的法向量为， 则，令，取， 易得平面的一个法向量为， 则， 设二面角的平面角为，则， 即二面角的正弦值为； 【小问2详解】 由（1）可得，设，则，， ，则， 所以，则与同方向的单位向量为， 于是点到直线的距离为 ， 因的面积为，， 故当且仅当 时，的面积最大，此时. 18. 某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占0.05，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次，统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5人全部阴性；如果混合呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.（每一小组都要按要求独立完成） （1）按照这种化验方法能减少化验次数吗?如果能减少化验次数，大约能减少多少? （2）如果携带病毒的人只占0.02，按照个人一组，取多大时化验次数最少?此时大约化验多少次? 说明：，先减后增 0.8858 0.8681 0.8508 0.8337 【答案】（1）混合化验能减少化验的次数，大约减少5738次 （2）当时，最小，大约化验：2742次. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出5人一组需要验血次数X的均值，然后求出总共需要多少次，再根据题中数据作差即可求解； （2）假设个人一组，设每个人需要化验的次数为，先求出每个人需要化验的次数的分布列，然后求出均值的表达式，再利用函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 5人一组需要验血次数X的所有可能取值为1，6. ∴， ∴的分布列为： 1 6 ∴ ∴共需要化验次数大约为：（次） 大约减少（次） ∴混合化验能减少化验的次数，大约减少5738次. 【小问2详解】 假设个人一组，设每个人需要化验的次数为， 若混合血样呈阴性，则，若混合血样呈阳性，则 ∴的分布列为： ∴ ∵先减后增， ，∴ ，∴ ∴当时，最小，最小值为：， 此时大约化验：次. 19. 已知抛物线的焦点为为上一点，且. （1）求的方程； （2）过点作两条相互垂直的直线分别与交于两点. （i）证明：直线过定点； （ii）若直线分别与轴交于两点，记的面积分别为，当时，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）由点在抛物线上及焦半径公式列出等式求解即可； （2）（i）法一：设直线的方程为，联立抛物线方程，由韦达定理，结合，求得或即可；法二：设，由，结合直线BD的方程为，代入化简得到即可求证；（ii）设，设直线的方程为，直线的方程为，结合弦长公式及三角形面积公式，进而可求解； 【小问1详解】 解：因为点在C上， 所以. 因为，所以， 则，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）证明：法一：由题意知直线的斜率存在，. 设直线的方程为， 联立）得， 则， ， ， 所以， 解得或. 当时，直线的方程为，过点，不符合题意，舍去； 当时，直线的方程为，恒过点. 综上，直线BD过定点. 法二：由题意知，设， 则， 同理可得. 由，得， 整理得①. 直线BD的方程为， ， 两式相加得， 即， 即. 由①得，故直线BD过点. （ii）解：设，易知直线和的斜率均存在且不为0，设直线的方程为，直线的方程为， 此时， 则. 由，得. 联立得， 由，得， 同理，所以， 则， 同理可得， 所以， ， 由题意得 . 因为在和上均单调递增， 所以， 又， 即16， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $