重庆市永川中学校2026届高三第二次模拟考试数学试卷

永川中学高2026届高三第二次模拟考试数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D B C D A A 题号 9 10 11 12 13 14 答案 ABD AD ACD -120 15．（1）解：因为，则，由已知可得， 可得，因此，． （2）解：由三角形的面积公式可得，解得． 由余弦定理可得，， 所以，的周长为． 16．（1）因为四边形为平行四边形，、分别为，的中点， 所以四边形为平行四边形，所以． 因为平面，平面，所以平面， 又、分别为，的中点，所以． 平面，平面，所以平面， 因为、平面，， 所以平面平面． （2）因为三角形为正三角形，，为的中点， 所以，，所以为二面角的平面角， 又，，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面． 作平面于，则在直线上． 又二面角的平面角为， 所以在线段的延长线上．由已知得，则，． 以为原点，，所在直线分别为轴、轴，过点平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，所以， 则，，，，， 则，，设平面的一个法向量为， 则由，，得，令，得． 易得平面的一个法向量， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 17．（1）． 因为是的极值点， 所以，即，即， 所以， 令，解得或， ①当时，，所以在和上单调递减，在单调递增， 所以当时，取得极小值，符合题意； ②当时，恒成立，所以在上单调递减，此时无极值，不符合题意； ③当时，，所以在和上单调递减，在单调递增， 所以当时，取得极大值，符合题意． 综上，所以，且； （2）因为，所以当时，，， ． 令，解得或， 所以，． 18．（1）记“随机选择2个选项得6分”为事件． 从4个选项中任选2个选项，样本空间共种等可能结果， 正确选项1种可能，所以，即随机选择2个选项得6分的概率为． （2）（ⅰ）记“四个选项中有个选项符合题目要求”为事件， “选择1个选项时得0分”为事件．则有，， ，，，即选择1个选项时得0分的概率为． （ⅱ）一道多选题在能确定A选项错误的前提下． 选1个选项时，得分的可能取值为0，2，3， ，，， 所以得分期望， 选2个选项时，得分的可能取值为0，4，6， 同理可得，，， 所以得分期望为， 选3个选项时，得分的可能取值为0，6， 同理可得，， 所以得分期望为， ，建议作答时选择2个或者3个选项． 19．【详解】（1）由题知，，所以， 不妨设点在第一象限，由抛物线定义知到准线的距离为，所以， 由，解得，所以的方程为． （2）（ⅰ）设经过轴上点的直线为， 与抛物线的两交点记为，， 联立得，则， 因为直线经过点，所以， 因为直线经过点，所以， 因为直线和经过点， 所以，， 所以，， 因为，，，所以， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 综上． （ⅱ）设直线与的交点为，因为四点共圆， 所以， 设直线为，联立得 ，所以，， ， 设直线为，同理可得， 又且，所以， 所以， 则的重心纵坐标为，即的重心在轴上， ， 同理所以， 联立直线与得， 所以， 所以的重心在的右侧． 学科网（北京）股份有限公司 $ 永川中学高2026届高三第二次模拟考试 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．下列说法错误的是（ ） A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布比较集中 B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C．若样本数据，，，的平均数为3，则，，，的平均数为10 D．一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7 3．已知复数对应的向量为（为坐标原点），所在的直线的倾斜角为，且复数的模为2，则复数为（ ） A． B．2 C． D． 4．记为数列的前项和，已知，，则（ ） A．18 B．54 C．81 D．162 5．若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（ ） A． B． C． D． 6．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的一个对称中心为（ ） A． B． C． D． 7．如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ） A． B． C． D． 8．已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，经过的直线与的右支交于，两点，且，，则的离心率是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知平面向量，，则（ ） A．，，不垂直 B．，使得，共线 C．当时， D．当时，在方向上的投影向量为 10．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A．若，，则 B．若，，则与为异面直线 C．若，，则 D．若，，则 11．设是一个无穷数列的前项和，满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，下列结论正确的是（ ） A．若对任意的正整数均有，则为和谐数列 B．若为和谐数列，则对任意的正整数均有 C．若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值 D．一定存在首项、公比均为负数的等比数列是和谐数列 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12．的展开式中的系数为________．（用数字作答） 13．已知是椭圆：上一点，是直线：上一点，则的最小值为________． 14．若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 16．如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，其中，，，的中点分别为，．将沿直线翻折到，使二面角为，设的中点为． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 17．已知是函数（，）的极值点． （1）求，满足的等量关系式； （2）若，求在上最值． 18．高中数学试题多选题给出的四个选项中有2个或3个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（答案为3个选项每个得2分，答案为2个选项每个得3分）． （1）若一道多选题只有2个选项符合题目要求，求随机选择2个选项能得6分的概率； （2）假定四个选项中有2个或3个选项符合题目要求的概率均为． （ⅰ）求一道多选题随机选择1个选项时得0分的概率； （ⅱ）一道多选题在能确定A选项错误的前提下随机作答（选择1至3个选项），从得分期望角度分析，建议作答时选择几个选项？ 19．已知抛物线：的焦点为，其准线与轴的交点为，抛物线上存在点满足，且． （1）求的方程； （2）记，过的直线交于，，在抛物线上按如下方式构造点列，：连接，分别交于另一点，． （ⅰ）设直线与轴交点的横坐标为，求数列的通项公式； （ⅱ）为坐标原点，若的外接圆与抛物线交于第四点，试证明：的重心在轴上，且在的右侧． 学科网（北京）股份有限公司 $