河南省新未来2026届高三下学期5月测评数学试题

河南省新未来2026届高三下学期5月测评数学试题数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知为第四象限角，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列是各项都为正数的等比数列，若，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，满足，定义，若，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，自变量、相位、函数值的部分取值如下表，则（ ） 0 A. B. C. 的图象关于点对称 D. 的图象上存在互相垂直的切线 10. 已知不透明的袋子中有3个白球，2个黑球，甲从中随机取2个球（甲取球后不放回），然后乙再从袋中随机取出1个球，记事件：“甲取出个白球”，事件：“乙取出1个白球”，则（ ） A. B. C. D. 在甲至少取出1个白球的条件下，乙取出白球的概率为 11. 已知抛物线的焦点为，点在的准线上，过的直线与相切于点，点在上，且满足，则（ ） A. 准线的方程为 B. 可能在直线上 C. 的最小值为9 D. 面积的最小值为16 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量，若，且，则________. 13. 已知正四棱柱的体积为，，且底面内（包含边界）一动点P满足，则点P的轨迹长度为________. 14. 已知函数，若存在，使得对任意恒成立，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知数列满足，，且数列是公差为4的等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）求证：. 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，，. （1）证明：； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论曲线与的交点个数. 18. 已知双曲线的右焦点为，左顶点为，，圆，到圆上点的距离的最大值为3. （1）求的方程； （2）已知过点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交圆的另一点于，. （i）证明：； （ii）记四边形的面积为，的面积为，求的最小值. 19. 已知依次为圆周上的个等分点，每个点等概率地被染成白色或黑色.对于任意两个点和，若它们颜色相同，则连接，否则不连接.记线段的总条数为随机变量. （1）当时，求圆中仅有两条线段且相互垂直的概率； （2）当时，求圆中直角三角形的个数的数学期望； （3）求. 河南省新未来2026届高三下学期5月测评数学试题数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】0 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）若或，则曲线与无交点，若，则曲线与有一个交点. 【18题答案】 【答案】（1）； （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）8 【19题答案】 【答案】（1） （2）1 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高三年级5月测评·数学 参考答案及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D C A A B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 BC ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.0(5分，其他结果均不得分) 13.25(5分，结果正确均得分) 9 14[-3,十∞)5分，结果正确均得分) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.【答案】(1)am=2n2-2n十1(2)详见解析 【命题意图】本题综合考查等差数列的性质、数列的通项公式、等差数列前项和公式等基础知识，通 过累加、列项放缩等数学方法解决问题，意在检验学生对等差数列公式运用、代数运算等基本能力，体 现出综合性、逻辑性和推理性， 【试题解析】(1)an+1-an=a2一a1十(n-1)×4=4n, ………2分 所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)十…+(an-am-1) 3分 =1十4十8十…十4(n-1)=2n2-2n十1(n≥2)，…5分 当n=1时满足以上通项公式， 综上所述：{am}的通项公式为am=2n2-2n十1； 6分 (2)1 8分 当n=1时，1=1， 9分 11分 =3-1<3 22n2' 2卡”4”*”八””八5八4八、、”1””*””8”””””4””“*”“”4”4”””*””4”4”*” 12分 签上所述+++…+ 2· 13分 a 16.【答案】(1)详见解析(2)2y7 7 【命题意图】本题考查了立体几何中线面垂直、线线垂直、面面垂直的判定与性质、面面角的余弦值和 空间向量在立体几何中的应用.意在考查学生的推理证明和空间思维能力 【试题解析】(1)在△BBA中，由余弦定理可得，AB=AB十BB-2AB·BB·cos∠ABB1,解得 AB1=√5，…2分 高三数学试题参考答案第1页（共4页） 因为BB?=AB2十AB,所以AB1⊥AB,… 3分 因为平面ABC⊥平面AAB1B,平面ABC∩平面AA1B1B=AB, 所以AB1⊥平面ABC,… .. 4分 因为ACC平面ABC,所以AB1⊥AC.……5分 因为BB1∩AB1=B,BB1⊥AC,所以AC⊥平面AA1B1B,… 6分 所以AC⊥AB;… 7分 ()②依题意，三棱锥B,-ABC的体积为号×名×ABXACXAB,-。 解得AC=1, 8分 如图所示，以A为原点，分别以AB,AC,AB1所在直线为x轴，y轴，之轴，建立空间直角坐标系， 所以B(1,0,0),B1(0,0√3)，A1(-1,0W5),C(0,1,0), BB=CC=(-1,03),BC=(-1,1,0),AC=(0,1,0),…9分 设平面B,BCC的法向量为n1=(x,y,z),则 n1·BB1=-x+√5x=0, n·BC=-x+y=0, 令x=√5，则n1=(√5W5,1),…11分 设平面ACC1A1的法向量为n2=(a,b,c), m,·CC=-a+5c=0·令a=5,则n=(5,0.1), 则 12分 (n2·AC=b=0, 设平面B1BCC1与平面ACC1A,的夹角为0， 则cos0=cos(n1,m)1=n·L 4_27 n1·n2√/7X2 7 ,…………………………14分 所以平面BBC与平面ACCA夹角的余弦值为2y7 7 15分 17.【答案101)2x十2y-5=0(2)当a>元+4-2或a<2红--4时，无交点：当2红-4≤a≤ 4 4 x2十4一2匹时，有一个交点 【命题意图】本题考查了导数运算、单调性、切线方程及零点、交点等知识点.通过分类讨论和分析零点 与交点转化进而解决问题，意在考查学生对导数运算和应用的能力.体现出逻辑性，综合性，整体性. 【试题解折11由题意得)=当)-2十十8 (x2+1)2 (x2+1)2 …2分 故f1)=多，f1)=-1.… 3分 则曲线y=f(在点1，f)处的切线方程为x十y-号=0，即2x十2y-5=0(写成其他形式也可 得分)；…… 4分 (2)由题意=sinx等价于(x+1 )sin-x一a=0, 5分 设g()=(x+10in-x-a,[一受，] 则g'(x)=2 xsin x+(x2+1)cosx-1,记h(x)=g'(x). 6分 且h(x)=h(-x),则h(x)是偶函数，且h'(x)=4.rcos x一(x2一1)sinx.…7分 ①当x∈[0,1]时，4 xcos x≥0，(x2-1)sinx≤0. 故h'(x)≥0，h(x)在区间[0,1]上单调递增，h(x)≥h(0)=0.…9分 ②当xe[1,2]时，h()≥2xsin2-1>2xsin否-1>0.…10分 高三数学试题参考答案第2页（共4页） 则当x∈[0，受]时，h(x)≥0. 又因为(x)是偶函数，所以当E[一受，受]时A(x)≥0.从而g)在区间[-受，受 上单调递增， 11分 s(-)=-(年+1)+受-a,g(受)=￥+1-受 -a 所以-（等+1十受-a≤g(x)≤年+1-罗 ……12分 若+1-乏-a<0或-（军+1）十受-。>0，即。>+42红或a<2红4，则曲线y=f)与 4 y=sinx无交点， ……14分 若2红一元4≤a≤元+42匹，则曲线y=f(x)与y=sinx有一个交点。…15分 4 4 18.【答案】1)x2-苦=1(2)(iD详见解析(i)8 【命题意图】本题以双曲线为核心，结合直线与圆的知识，综合考查双曲线的标准方程，直线垂直等知 识点，以及构建函数求解面积最大值.考查数据运算能力和数据处理技巧性思想，体现出数形结合 思想 【试题解析】(1)依题意，A(一a,0),设F(c,0),则a十c=3,…2分 又因为c十1=3，所以c=2,故Q=1,…… 3分 所以C的方程为元2-兰1 4分 (2)(i)设直线ST:x=my十2，S(x1y1),T(x2y2), /x=my+2, 由 x-=1 可得(3m2-1)y2十12my十9=0，… 5分 所以y1十y2= -12m 9 3m2iyy23m2-1' ……………………………………………………………… 6分 yiy2 yiy2 AS X kAT三1×+1(y1+3)(my2十3)myyg十3m(h+) …7分 9 3m2-1 9 m2 -12m十9 9分 3m-+3m3m- 所以AS⊥AT: 10分 (ii)不妨设直线AM:x=m1y-1,AN:x=m2y-1,m1m2=一1，…11分 x=m1y-1 由 x2+y2=1, 可得(m+1)y-2my=0,解得w=2 m+1' 2m2 同理可得，w=m十1' ………………12分 /x=m1y-1 由 可得(3mi-1)y-6m1y=0,解得=3m—' 6m1 同理可得，yr= 622 3m呢…13分 —36 由题意，得为·yr<0s·yr=10-3m+m<0,故10-3(mi+m)>0, 设△AST的面积为S,则三-SS-S-1, S2 S2 52 ………14分 高三数学试题参考答案第3页（共4页） 易知-1=-1=9x片一1=9x2 2+m+m号 |AM·|AN 1, 16 令=m+≥2mm-2.则-1=（动）1=(-号十0】 6 故当=2时，取得最小值：（尽-1）=9×（一专十10×2》 3 1=8.……16分 所以受的最小值为8.… 17分 19.【答案】1)日(21(3)mn 4 【命题意图】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望等统计概率知识.结合实际问题，通过逻 辑推理和分类讨论求解事件发生的概率，考查学生数据分析处理能力和数学在实际应用中的实用思 想，体现了应用性和综合性. 【试题解析】(1)依题意，4个等分点构成正方形A,A2AA4,2白2黑对应的同色线段有两种情况：A1、 A3为白色，A2、A4为黑色；A1、A3为黑色，A2、A4为白色.… …2分 满足条件的方案数为2，总染色方案数为16， 所以圆中仅有两条线段且相互垂直的概率为P兰名： 4分 (2)设直角三角形的个数为随机变量Z,则Z=0,1,4,… 5分 Z=0即四个点对应为2黑2白，有如下两种情形， 两条线段垂直，有2种情况， 两条线段互相平行，有4种情况， 所以P(Z=0)=9=。,… 6分 Z=1即四个点对应为3黑1白或3白1黑，有CC!=8种情况， 所以P(Z-1D-多-号， 7分 Z=4即四个点对应为4黑或4白，有2种情况， 8分 所以E(Z)=0×P(Z=0)+1×P(Z=1)+4×P(Z=4)=1; 9分 (3)记n个点中被染成白色的点数为Y,则Y~B(,号) C%,m=0或m=n, 当Y=m时，X= C份1，m=1或m=一1， 11分 C%+C?m,2≤m≤n-2. EX)=C[P(Y=0)+PY=m)]+C[PY=1)+PY=n-1D]+[PY=m)(C+C)], 所以E(X)=n,D+nn-1Dn-2+C(C+C） …14分 2" 2n 1=2 2" =n,1D+(CC+CC)… 2分 2nm=2 15分 =2 =n(n-1)2, 一2 2" C(c+c)-D(2-+1+2D 2m=2 =2 2 4 16分 所以E(X)=nn-1) 4 …17分 高三数学试题参考答案第4页（共4页）