13.2.2 空间两条直线的位置关系（第2课时 异面直线）课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

该高中数学课件聚焦空间两条直线的位置关系，核心讲解异面直线的判定定理及所成角的求法。课堂通过长方体模型直观感知，承接空间直线位置关系基础，构建立体几何学习的关键支架。 其亮点在于结合正方体、正六棱柱等直观模型，通过自主诊断、题型分析（如异面直线判断、所成角计算）培养数学眼光（空间观念）与数学思维（推理能力）。教师可借助规律方法总结提升教学效率，学生能在实例中掌握转化思想，发展空间想象与逻辑推理能力。

第13章　立体几何初步 13.2.2　空间两条直线的位置关系 第2课时　异面直线 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线的位置关系. 2.掌握两异面直线所成的角的求法. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　异面直线的判定定理 1.自然语言:过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线. 2.符号语言:若l⊂α,A∉α,B∈α,B∉l,则直线AB与l是异面直线(如图所示). 知识点二　异面直线所成角 1.异面直线所成的角 (1)定义:设a,b是异面直线,经过空间任意一点O,作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线a'和直线b'所成的锐角(或直角)叫作异面直线a,b所成的角或夹角.若异面直线a,b所成的角是直角,则称异面直线a,b互相垂直,记作a⊥b. (2)范围:. 2.求两异面直线所成角的常用方法 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”,平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面问题化归为共面问题来解决. 名师点睛 异面直线所成的角的大小不可以为0°,若两条直线所成的角为0°,则这两条直线重合或平行,不可能异面. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线.(　　) (2)若a与b异面,b与c异面,则a与c异面.(　　) (3)若a,b不同在平面α内,则a与b异面.(　　) (4)若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面.(　　) × × × √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】异面直线的判断 例 1 [链接教材例3(1)]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与平面ABCD的对角线AC异面的棱有(　　) A.4条 B.6条 C.8条 D.10条 B 解析 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与平面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1,DD1,A1B1,A1D1,D1C1,B1C1,共6条.故选B. 规律方法　异面直线的判断方法 (1)定义法:利用异面直线的定义,说明两直线既不平行,也不相交,即不可能在同一个平面内. (2)定理法:过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线. (3)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面. 跟踪训练1 右图为正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F',在其6个侧面的12条面对角线所在直线中,与直线A'B异面的共有　　　　条.  5 解析 如图,连接A'D',因为六边形A'B'C'D'E'F'为正六边形,所以A'D'∥B'C',(故A'D'∥BC)所以A',D',B,C四点共面,A'B,CD'不是异面直线, 同理可得,EF'与A'B共面,不是异面直线, 而A'B∥DE',又AB',A'F,BC'与A'B相交, 故在12条面对角线中,与A'B不是异面直线的面对角线为AB',A'F,BC',DE',EF',CD', 其余面对角线均与A'B异面,共5条.故答案为5. 【题型二】异面直线所成角 角度1求异面直线所成角 例 2 [链接教材例3(3)]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,∠BAB1=∠B1A1C1=30°,求 (1)AB与A1C1所成角的度数; (2)A1A与CB1所成角的度数. 解 (1)如图,∵AB∥A1B1, ∴∠B1A1C1是AB与A1C1所成角(或补角). ∵∠B1A1C1=30°,∴AB与A1C1所成角的度数是30°. (2)∵A1A∥B1B,∴∠BB1C是A1A与CB1所成角(或补角). 设B1B=a,在直角三角形ABB1中,∠BAB1=30°, ∴AB=a, 在直角三角形A1B1C1中,∠B1A1C1=30°,∴A1B1=AB=a,∴B1C1=a, 即B1C1=BB1,∴四边形B1BCC1为正方形, ∴∠BB1C=45°,即A1A与CB1所成角的度数为45°. 例 3 如图,在三棱锥P-ABC中,AB=PC,E,F分别是PA,BC的中点,且EF=AB,求证:PC⊥AB. 证明如图,取PB的中点M,连接EM,MF. 在△PAB中,因为E,M分别是PA,PB的中点,所以EM∥AB,EM=AB. 同理可得FM∥PC,FM=PC,所以EM与FM所成的锐角(或直角)即为直线AB与PC所成的角. 又因为AB=PC,EF=AB,所以EM=FM=AB, 所以在△EFM中,有EM2+FM2=EF2, 所以EM⊥FM,所以PC⊥AB. 题后反思　求异面直线所成角的步骤 (1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,若题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且直接对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线. (2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角. (3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求. 注意:求异面直线所成的角,通常把异面直线平移到同一个三角形中去,通过解三角形求得,但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°. 跟踪训练2 如图,已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2,E为棱PA的中点,则异面直线BE与PC所成角的余弦值为(　　) A. B.- C. D.- C 解析 如图,连接AC,取AC的中点O,连接BO,EO, 又因为E为棱PA的中点,所以EO∥PC, 则异面直线BE与PC所成角为∠BEO(或其补角). 由题意可知,在△BOE中,EO=1,OB=,BE=,则cos∠BEO=, 则异面直线BE与PC所成角的余弦值为故选C. 跟踪训练3 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:AC⊥DB1. 证明 如图,连接BD,交AC于点O,设BB1的中点为点E, 连接OE,则OE∥DB1, ∴OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角. 连接AE,CE,易证AE=CE, 又点O是AC的中点,且OE=OE,∴△AOE≌△COE,且∠AOE=∠COE=90°.∴AC⊥OE,∴AC⊥B1D. 角度2已知异面直线所成角求线段长 例 4 如图所示,在四面体A-BCD中,点E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=2,求EF的长. 解 取BC的中点M,连接ME,MF,如图, ∵点E,F分别是AB,CD的中点. ∴ME AC=1,MF BD=1, ∴ME与MF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角. ∵AC,BD所成的角为60°,∴∠EMF=60°或∠EMF=120°. 当∠EMF=60°时,EF=ME=MF=1; 当∠EMF=120°时,取EF的中点N,连接MN,则MN⊥EF, ∴EF=2EN=2EM·sin∠EMN=2×1×sin 60°=2×1 故EF的长为1或 题后反思　已知异面直线所成角求线段长,主要方法是把异面直线所成角平移到一个三角形中,借此三角形求解有关线段长. 跟踪训练4 如图,在四面体A-BCD中,M,N分别为AB和CD的中点,AD=2,BC=4,且异面直线AD与BC的夹角为120°,则线段MN的长为(　　) A. B. C. D.3或3 A 解析 如图,取AC的中点E,连接ME,NE, ∵M,N分别为AB和CD的中点,∴ME=BC=2,ME∥BC,NE=AD=1,EN∥AD. ∵异面直线AD与BC所成的角为60°,即∠MEN=60°, ∴线段MN的长为 MN= = 故选A. $