精品解析：浙江省杭州市第十四中学附属学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

浙江省杭州市第十四中学附属学校2025-2026学年下学期八年级期中 数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：，，，，，，这组数据的中位数是（　　） A. B. C. D. 2. 若二次根式有意义，则的值可以是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的一元二次方程 ，则该方程解的情况是（　　）． A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 根的情况与的取值无关 6. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 8. 若是方程的两个根，则的值为( ) A. B. C. D. 9. 已知关于的两个一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A. 甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B. 甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C. 甲、乙同学的观点均正确 D. 甲、乙同学的观点均错误 10. 如图，在中，，M是的中点，E是延长线上的动点，作交的延长线于点F．记，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. xy D. 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 当x＝2时，二次根式的值是 _____． 12. 若一组数据2，3，5，x，8的众数是2，则这组数据的平均数是_____． 13. 若关于的一元二次方程有一个根为2,则的值为 _______ ． 14. 南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”其大意是：矩形面积为八百六十四平方步，宽和长共六十步，问宽和长各几步?若设宽为x步，则根据题意可列方程为_________． 15. 一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是________． 16. 如图，在中，，将沿对角线翻折后，点落到点处，，垂足为点，，则_________________ ． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 为了了解八年级学生双休日的上网时间（单位：小时），某校随机抽取了名学生进行调查，得到了他们上周双休日上网时间的一组样本数据，整理并绘制成如下的统计图． （1）这个样本数据的众数是________小时，中位数是________小时； （2）求出这个样本数据的平均数； （3）根据样本数据，估算该校八年级名学生双休日上网时间超过小时的人数． 20. 如图，在平行四边形中，，以点C为圆心，为半径作弧，交边于点E，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 21. 已知关于的方程 ． （1）求证：无论为何实数，此方程总有实数根． （2）若两根异号且负根的绝对值大，求的取值范围． 22. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连结． （1）若，，求的长． （2）设，． ①线段的长是方程的一个根吗？说明理由． ②若，求的值． 23. 综合与实践：设计商品最优定价方案 【素材】某经销商计划销售一款新的枕头，根据试售统计，若每个枕头的售价定为50元时，每月可销售100个；若每个枕头的售价每降价1元，则每月可多销售10个，每个枕头的进价为20元，假设枕头全部售完（销售量进货量），设每个枕头降价元（为整数），回答下列问题： 【问题】 （1）任务1：一个枕头的实际售价为_______（用含的代数式表示）元，枕头的销售量为_______（用含的代数式表示）个； （2）任务2：若经销商计划进货不超过200个，能否让每月利润达到3750元？若能，请求出此时枕头的售价；反之，请说明理由． （3）任务3：根据试售数据，若该经销商想让每月利润达到最大值，求此时枕头的售价． 24. 如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME，已知AM=4，∠BCE=30°． （1）求线段EC的长； （2）求证：∠EMC=2∠AEM； （3）如果EM=8-AE，求△AEM的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州市第十四中学附属学校2025-2026学年下学期八年级期中 数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：，，，，，，这组数据的中位数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数，把一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，中间的一个数据或两个数据的平均数是这一组数据的中位数． 【详解】解：个数据，，，，，，按从小到大的顺序排列， 中间的一个数据是， 这组数据的中位数是， 故选：B． 2. 若二次根式有意义，则的值可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数得出，求解即可得解．解题的关键是掌握二次根式的被开方数为非负数． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， ∴的值可以是． 故选：D． 3. 如图，在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质可知，结合即可得出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：B 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算性质，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A．： 二次根式相加不能直接合并，（不同时为完全平方数）．计算无法化简为，故A错误． B．： 二次根式相乘满足，故，结果应为而非，故B错误． C． ： 二次根式相除满足，故，计算正确，故C正确． D． ： 算术平方根非负，，结果应为3而非，故D错误． 故选：C 5. 已知关于的一元二次方程，则该方程解的情况是（　　）． A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 根的情况与的取值无关 【答案】B 【解析】 【分析】要判断一元二次方程解的情况，需计算根的判别式，根据的符号判断根的个数：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根． 【详解】解：在方程中，，，， ， ， ， 即 ， 该方程有两个不相等的实数根． 6. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， 即． 7. 一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】边形的内角和为，外角和为，据此结合题意建立方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数是n， 根据题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为8． 8. 若是方程的两个根，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据韦达定理求得，然后由变形为含有x1+x2和x1•x2的式子，并代入求值即可． 【详解】∵方程的二次项系数a=2，一次项系数b=−6，常数项c=3， ∴根据韦达定理，得, ∴ 故选:A. 【点睛】考查一元二次方程根与系数的关系, 熟记公式是解决本题的关键. 9. 已知关于的两个一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A. 甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B. 甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C. 甲、乙同学的观点均正确 D. 甲、乙同学的观点均错误 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的解的定义可知是的解，则有，因为，方程两边同时乘以，可得：，所以方程一定有一个解为，所以可知甲同学的观点正确；如果方程有公共解，则有，可得解为：或，即这两个方程的公共解是或中的一个． 【详解】解：是的解， ， 方程两边同时乘以可得：， 把代入得：， ∵， ∴ 是方程的一个解，故甲同学的观点正确； 方程有公共解， ， 整理得：， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 方程的公共解为：或，故乙同学的观点正确． 10. 如图，在中，，M是的中点，E是延长线上的动点，作交的延长线于点F．记，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. xy D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题， 连接，设，交于点O．由平行四边形的性质得出，由等腰直角三角形的性质得出，由角的和差关系得出，由三角形内角和定理得出，证明，推出可得结果． 【详解】解：连接，设，交于点O． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴的值不变 故选：B 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 当x＝2时，二次根式的值是 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】将x=2代入即可求解． 【详解】解：将x=2代入可得：． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了求二次根式的值，掌握二次根式的值的求法是解答本题的关键． 12. 若一组数据2，3，5，x，8的众数是2，则这组数据的平均数是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查众数、平均数，理解众数的意义，掌握平均数的计算方法是正确解答的前提．根据众数的定义可得x的值，再根据平均数的计算方法进行计算即可． 【详解】解：∵数据2，3，5，x，8的众数是2， ∴， ∴平均数是． 故答案为：4． 13. 若关于的一元二次方程有一个根为2,则的值为 _______ ． 【答案】 【解析】 【分析】方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，因此可将已知根代入原方程，得到一个关于 的一元一次方程，解此方程即可求出的值． 【详解】解：将代入方程， 得： ， 化简计算： ， ， ， ． 14. 南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”其大意是：矩形面积为八百六十四平方步，宽和长共六十步，问宽和长各几步?若设宽为x步，则根据题意可列方程为_________． 【答案】x（60-x）＝864 【解析】 【分析】由宽和长共六十步，可得出长为（60-x）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设宽为x步，则长为（60-x）步，根据题意得： x（60-x）＝864． 故答案为：x（60-x）＝864． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准题目中的等量关系，是解题的关键． 15. 一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是________． 【答案】3.5 【解析】 【分析】本题主要考查平均数和方差，解题的关键是掌握方差及平均数的计算公式． 根据题意可得平均数，再根据方差的定义可得答案． 【详解】解：平均数为：， 故方差是： = ． 故答案为：． 16. 如图，在中，，将沿对角线翻折后，点落到点处，，垂足为点，，则_________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质求出，，根据折叠的性质求出，则，根据勾股定理求出，利用证明，根据全等三角形的性质求出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， 根据折叠的性质可得，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； 利用平方差公式计算． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方程左边可提取公因式，通过因式分解法求解； （2）方程左边可利用十字相乘法因式分解，也可用配方法或公式法求解，因式分解法更简便． 【小问1详解】 解：提取公因式，得 ， 有或， 解得：． 【小问2详解】 解：因式分解，得 ， 有或， 解得： ． 19. 为了了解八年级学生双休日的上网时间（单位：小时），某校随机抽取了名学生进行调查，得到了他们上周双休日上网时间的一组样本数据，整理并绘制成如下的统计图． （1）这个样本数据的众数是________小时，中位数是________小时； （2）求出这个样本数据的平均数； （3）根据样本数据，估算该校八年级名学生双休日上网时间超过小时的人数． 【答案】（1）， （2）小时 （3）人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义列式计算即可； （3）总人数乘以样本中上网时间超过小时的人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：这个样本数据的众数是小时，中位数是（小时）， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：这个样本数据的平均数为（小时）； 【小问3详解】 解：该校八年级名学生双休日上网时间超过小时的大约有（人）． 【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数的定义，用样本估计总体，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 20. 如图，在平行四边形中，，以点C为圆心，为半径作弧，交边于点E，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关知识点是解题关键． （1）由平行四边形的性质可得，由作法可知，，进而得到，即可证明结论； （2）由平行四边形的性质可得，，，再在直角三角形中，利用勾股定理先求出，再求出即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， 由作法可知，， ， ； 【小问2详解】 解：，， ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ∴在中，， ∴在中，， ∴的长为． 21. 已知关于的方程． （1）求证：无论为何实数，此方程总有实数根． （2）若两根异号且负根的绝对值大，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）k的取值范围为 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出 ，由此可证出：无论为何实数，方程总有实数根； （2）根据根与系数的关系列出关于的不等式组，解不等式组可得出答案． 【小问1详解】 解：方程中，，，， ， 整理可得： ， 无论为何实数，方程有实数根； 【小问2详解】 解：方程两根异号且负根的绝对值大， ， ， 解得：， 的取值范围为． 22. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连结． （1）若，，求的长． （2）设，． ①线段的长是方程的一个根吗？说明理由． ②若，求的值． 【答案】（1）的长为． （2）线段的长是方程的一个根，理由见解析； 的值为． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，一元二次方程的求根公式，解题的关键是正确理解作图过程． （1）用勾股定理解直角三角形即可； （2）根据勾股定理，用和表示线段的长，用求根公式写出一元二次方程的解，对比即可；由作图过程结合已知条件得出线段之间的数量关系，根据勾股定理列方程，化简整理即可得的值． 【小问1详解】 解：由作图过程可知， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 答：的长为． 【小问2详解】 解：线段的长是方程的一个根， 理由： ∵，，，， ∴， 由得，， ∴， ∴线段的长是方程的一个根． 由作图过程可知，，， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 答：的值为． 23. 综合与实践：设计商品最优定价方案 【素材】某经销商计划销售一款新的枕头，根据试售统计，若每个枕头的售价定为50元时，每月可销售100个；若每个枕头的售价每降价1元，则每月可多销售10个，每个枕头的进价为20元，假设枕头全部售完（销售量进货量），设每个枕头降价元（为整数），回答下列问题： 【问题】 （1）任务1：一个枕头的实际售价为_______（用含的代数式表示）元，枕头的销售量为_______（用含的代数式表示）个； （2）任务2：若经销商计划进货不超过200个，能否让每月利润达到3750元？若能，请求出此时枕头的售价；反之，请说明理由． （3）任务3：根据试售数据，若该经销商想让每月利润达到最大值，求此时枕头的售价． 【答案】（1），； （2）每月利润能达到3750元，枕头的售价为元； （3）40元 【解析】 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据“利润=（售价-进价）×销售量”，代入相应数据，列出方程，求解即可； （3）列出利润与x之间的函数关系式，求其最大值，即可求得答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：枕头的实际售价为元； 枕头的销售量为个； 【小问2详解】 解：根据题意得，， 整理得，， 解得，，， ∵进货不超过200个， ∴， 解得，， ∴， ∴此时枕头的售价为元； 【小问3详解】 解：设利润为元，根据题意得： ， ∵， ∴当时，有最大值，为4000元； ∴当降价10元时，每月利润达到最大值，此时售价为元． 24. 如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME，已知AM=4，∠BCE=30°． （1）求线段EC的长； （2）求证：∠EMC=2∠AEM； （3）如果EM=8-AE，求△AEM的面积． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质、勾股定理即可得； （2）延长，相交于点，先根据平行四边形的性质、三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的外角性质、等量代换即可得证； （3）延长，相交于点，过点作，交延长线于点，先根据全等三角形的性质可得，设，则，再根据线段和差可得，在中，利用勾股定理可求出的值，然后在中，利用勾股定理可得的长，最后利用三角形的面积公式即可得． 【小问1详解】 解：点为边的中点，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 【小问2详解】 证明：如图，延长，相交于点， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中，， ， ， 是的斜边上的中线， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，延长，相交于点，过点作，交延长线于点， 由（2）已证：， ， 设，则， ， 由（1）已得：， ， 在中，，即， 解得， 即， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 则的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、含30°的直角三角形性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形全等的判定与性质、等边对等角、三角形的外角性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $