圆锥曲线：弦长问题、面积问题、斜率问题 专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦圆锥曲线三大核心问题，通过典例变式构建问题解决路径，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |弦长问题|3例+3变式|涉及椭圆、双曲线、抛物线，结合韦达定理与距离公式|从曲线方程到直线与曲线位置关系，构建弦长计算通法| |面积问题|3例+3变式|结合弦长与点线距离，考查最值与定值问题|以弦长计算为基础，拓展面积公式的灵活应用| |斜率问题|3例+3变式|证明斜率关系，探究定点定值问题|通过代数运算揭示几何性质，培养逻辑推理能力|

圆锥曲线：弦长问题、面积问题、斜率问题专项训练 圆锥曲线：弦长问题、面积问题、斜率问题专项训练 考点目录 弦长问题 面积问题 斜率问题 考点一 弦长问题 例1．（2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设点，过点且不与坐标轴垂直的直线交于、两点，且，求． 例2．（2026·河北·三模）已知椭圆的离心率为点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)点是椭圆上一个动点，过点作两条直线分别交椭圆于两点(异于点)，直线与圆都相切，设直线的斜率分别为． （i）求证:为定值； （ii）若直线的斜率为求弦长． 例3．（2026·天津和平·三模）已知椭圆的焦距为2，椭圆短轴的一个端点到右焦点的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)为坐标原点，直线过点，与椭圆交于，两点，椭圆上点满足，若，求的取值范围． 变式1．（2026·山东菏泽·模拟预测）已知分别为椭圆的左､右顶点，且，的离心率为. (1)求的方程； (2)若过且斜率不为0的直线与交于两点，与直线交于点，设直线的斜率分别为，且，比较与的大小，并说明理由. 变式2．（25-26高三上·山西晋中·期末）已知双曲线的离心率，右焦点为. (1)求的方程. (2)过轴上一点（不与的顶点重合）作斜率为的直线与交于，两点，过原点作直线与交于，两点，已知. （i）求的取值范围； （ii）若，求点的坐标. 变式3．（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线，过点的直线交E于A，B两点． (1)设，，证明：为定值； (2)过点的另一条直线交E于C，D两点，且，求的最小值． 考点二 面积问题 例1．（2026·山东济宁·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交椭圆于、．两点，且在轴上方． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设点与点关于坐标原点对称，直线与直线相交于点，求面积的最大值． 例2．（2026·湖南衡阳·二模）在直角坐标平面内，设P是圆上的动点，轴，垂足为点Q，点M在的延长线上，且，点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)设l是过点的动直线． ①当直线l的斜率为时，曲线C上是否存在一点D，使得点D到直线l的距离最小？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； ②若直线l与曲线C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，直线与x轴的交点为F，求面积的最小值． 例3．（2026·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的焦距为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为的上焦点，点在上且位于第一象限，关于轴的对称点为． （ⅰ）若直线与轴、的交点分别为、，且，求； （ⅱ）直线、分别交于另一点、，求△面积的最大值． 变式1．（2026·河南·三模）已知圆：，斜率不为0的直线过点且与圆交于，两点，过点与直线平行的直线交直线于点，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设直线与圆：相切，与曲线交于，两点，记为坐标原点，求的面积. 变式2．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点为，圆上一动点与两个焦点组成的三角形面积最大值为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过不在双曲线上的一点P，作双曲线的两条互相垂直的切线，切点分别为，. （i）求点的轨迹方程； （ii）求面积的最小值. 变式3．（2026·湖南邵阳·三模）已知双曲线过点，且渐近线方程为，过点作三条直线与的右支分别交于点，直线与轴的交点分别为点． (1)求的方程； (2)设直线的斜率分别为． （i）若点为线段的中点，且，求直线的斜率； （ii）若，且，求的面积． 考点三 斜率问题 例1．（2026·安徽马鞍山·二模）已知双曲线过点，且渐近线方程为． (1)求的标准方程； (2)点的坐标为，过点的直线与的左支交于，两点，直线，分别与的右支交于，两点． （ⅰ）的左顶点为，记直线，的斜率分别为，，求； （ⅱ）证明：直线过定点． 例2．（2026·辽宁鞍山·二模）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率，且以短轴为直径的圆与直线相切． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，若直线的斜率都存在且不为0，将的斜率分别记为，求． 例3．（2026·山西太原·二模）已知椭圆的上顶点为，右焦点为，右顶点为. (1)若椭圆的离心率为，且以原点为圆心，为半径的圆与直线相切，求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于另一点，设直线的斜率分别为，求的值（结果用离心率表示）. 变式1．（2026·安徽阜阳·二模）已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 变式2．（2026·浙江·二模）已知椭圆的左焦点为，直线，动点到的距离与到直线的距离相等． (1)求点的轨迹方程； (2)过点作斜率分别为，的直线，，且交于，两点，交于，两点，若直线平行于直线（，均在的右侧）． （ⅰ）证明：． （ⅱ）求的取值范围． 变式3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知双曲线：的左、右顶点分别为，，点是上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，且. (1)求的方程； (2)若是的左支上异于点的一点，直线交直线于点，直线交于另一点. （i）设直线的斜率分别为，，求证：为定值； （ii）求坐标原点到直线距离的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：弦长问题、面积问题、斜率问题专项训练 圆锥曲线：弦长问题、面积问题、斜率问题专项训练 考点目录 弦长问题 面积问题 斜率问题 考点一 弦长问题 例1．（2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设点，过点且不与坐标轴垂直的直线交于、两点，且，求． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意求出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，求出线段的中点坐标，可得出线段的中垂线方程，将点的坐标代入中垂线方程，可求出的值，再利用弦长公式可求出的值. 【详解】（1）由的焦点为，可知的半焦距，         因为的离心率为，所以，则．             又，所以， 故的方程为． （2）由已知，设直线的方程为， 设点、． 联立，得， ， 由韦达定理可得，， 所以． 故线段的中点坐标为，    则线段的垂直平分线的方程为．             若，则线段的垂直平分线过点， 所以， 化简整理得，解得或．                 当时，因为，， 所以；             当时，因为，， 所以．             综上，的值为或． 例2．（2026·河北·三模）已知椭圆的离心率为点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)点是椭圆上一个动点，过点作两条直线分别交椭圆于两点(异于点)，直线与圆都相切，设直线的斜率分别为． （i）求证:为定值； （ii）若直线的斜率为求弦长． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据离心率及过点即可求解； （2）（ⅰ）设，表示出直线的方程，根据直线与圆相切得出，分别为方程的两根，由韦达定理即可证明；（ⅱ）设，，表示出直线的方程，联立方程组得出两根之积与两根之和，结合直线的斜率为即可求解． 【详解】（1）设椭圆的焦距为， 因为点在椭圆上，所以， 因为椭圆的离心率，所以， 所以，所以， 所以椭圆的方程为． （2）（ⅰ）设，则直线方程为， 因为直线与圆相切，所以， 化简得：， 同理：， 所以，分别为方程的两根， 所以． （ⅱ）设，，直线， ， 化简得：， 由，联立消去y得： 所以，所以， 所以， 化简得：，所以或， 当时，直线， 所以在直线上，舍去． 所以，所以． 例3．（2026·天津和平·三模）已知椭圆的焦距为2，椭圆短轴的一个端点到右焦点的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)为坐标原点，直线过点，与椭圆交于，两点，椭圆上点满足，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由焦距得出，根据短轴的一个端点到右焦点的距离，所以，由此能求出椭圆方程； （2）设过的直线为，与椭圆方程联立，得，设，，，由，由此结合题设条件能求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为焦距为2，所以，即， 设短轴的一个端点，右焦点，短轴的一个端点到右焦点的距离为，∴， 所以椭圆的标准方程. （2）由题意知直线的斜率存在. 设：，，，， 由得. ，化简得，解得. ，. ∵，∴， ∴， 即得， ∴，∴.∴， ∵，∴， ，. ∵点在椭圆上，∴， ∴∴， 且， 所以， ∴， ∴实数取值范围为. 变式1．（2026·山东菏泽·模拟预测）已知分别为椭圆的左､右顶点，且，的离心率为. (1)求的方程； (2)若过且斜率不为0的直线与交于两点，与直线交于点，设直线的斜率分别为，且，比较与的大小，并说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出a的值，再结合离心率的值可求b； （2）设直线l的方程为，将其与椭圆方程联立，得到关于y的一元二次方程，利用韦达定理得到M、N两点纵坐标的和与积；分别写出直线的斜率表达式，结合的条件，建立关于的等式，求出t的值；与转化为用纵坐标表示的形式，结合韦达定理和已求的t值，比较两者大小. 【详解】（1）因为为左右顶点，，故，即. 离心率，代入得. 由，得. 因此，椭圆的方程为. （2） 设直线的方程为（），，. ，，则， 由，得① 将代入椭圆方程，整理得 由韦达定理得， ② 将，代入①式：， 整理得， 将②式代入得， 整理得，因为为常数， 则不恒成立，则，即 此时直线方程为，，， 因为 ， 所以. 变式2．（25-26高三上·山西晋中·期末）已知双曲线的离心率，右焦点为. (1)求的方程. (2)过轴上一点（不与的顶点重合）作斜率为的直线与交于，两点，过原点作直线与交于，两点，已知. （i）求的取值范围； （ii）若，求点的坐标. 【答案】(1) (2)（i）（ii）或 【分析】（1）根据离心率可得，再结合右焦点代入可得的方程. （2）(i)由， 方法一：利用几何法，作图分析直线绕原点旋转寻找有交点时直线的斜率； 方法二：联立直线与双曲线的方程，求有两个交点时的取值范围. (ii)设点，表示出直线方程，将直线双曲线联立，分别表示出与，利用二者相等即可求出. 【详解】（1）由右焦点为，知， 因为离心率，所以，从而， 故的方程为. （2）（i）与平行，分析其中一条即可，过原点且与有两个交点，，则，关于原点对称. 【方法一】（作图分析）考虑从斜率为0开始，绕原点逆时针旋转，当其不超过渐近线时，与有两个交点，符合题意，此时， 当时，与渐近线重合，与没有交点，当时，与也没有交点，即不符合题意， 由对称性可知，也符合题意， 故的取值范围为. 【方法二】（联立）设点，由题意知，直线， 与联立，消去，得， 此方程有两个实根，则，得， 故的取值范围为. （ii）设点，直线， 与联立，消去，得， 设，，则， ，同理， 由（i）知，所以， 与联立，消去，得，设，， 则，，， 由，得，解得，， 故点的坐标为或. 变式3．（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线，过点的直线交E于A，B两点． (1)设，，证明：为定值； (2)过点的另一条直线交E于C，D两点，且，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理计算得证. （2）由（1）求出，结合已知求出直线与的关系，再利用弦长公式列式，借助基本不等式求出最小值. 【详解】（1）直线不垂直于轴，设直线AB方程为， 由消去x并化简得， 则，因此， 所以为定值. （2）由（1）得， 设直线的方程为，同理， 由，得，则， 又， 同理，则． 当时，，， 且当且仅当时取等号，当时，，， 所以的最小值为. 考点二 面积问题 例1．（2026·山东济宁·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交椭圆于、．两点，且在轴上方． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设点与点关于坐标原点对称，直线与直线相交于点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求出、的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）分析可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程； （3）由题意可知，设点，将直线、的方程联立，可求出点的纵坐标，结合韦达定理可求得的取值范围，结合三角形的面积公式可求得结果. 【详解】（1）由题意可得，该椭圆的离心率为，可得， 所以， 故椭圆的标准方程为. （2）若直线与轴重合时，则轴经过，，不符合题意； 设直线的方程为，设点、， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以 ，解得， 故直线的方程为或， 即或. （3）由题意可知，设点， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立可得，即， 解得， 由（2）可得， 所以， 当且仅当时，等号成立，即， 故的面积为， 即面积的最大值为. 例2．（2026·湖南衡阳·二模）在直角坐标平面内，设P是圆上的动点，轴，垂足为点Q，点M在的延长线上，且，点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)设l是过点的动直线． ①当直线l的斜率为时，曲线C上是否存在一点D，使得点D到直线l的距离最小？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； ②若直线l与曲线C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，直线与x轴的交点为F，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)①存在，；② 【分析】（1）设点坐标，根据得到，然后代入圆的方程即可得到曲线C的方程； （2）①根据图形得到的位置，然后联立方程求点坐标； ②联立直线和椭圆方程，利用弦长公式得到，根据的位置求点坐标，然后利用点到直线的距离公式求距离，最后计算的面积，利用基本不等式求最值. 【详解】（1） 设，则， ，，整理得， 代入中得，整理得， 故曲线C的方程为. （2）的直线方程为，整理得， 如图，，与椭圆相切于点，当在如图所示的位置时，点到直线的距离最小， 设，联立，得， ，解得或（舍去）， 则，解得，则， 所以存在点到直线的距离最小，坐标为. 设的方程为，，则， 联立，得， ，解得或， 则， 直线的方程为， 令得， ，则点到直线的距离， ， 令，则， 当且仅当，即，时等号成立， 所以面积的最小值为. 例3．（2026·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的焦距为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为的上焦点，点在上且位于第一象限，关于轴的对称点为． （ⅰ）若直线与轴、的交点分别为、，且，求； （ⅱ）直线、分别交于另一点、，求△面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用椭圆的焦距与离心率建立方程组，先求出半焦距与长半轴，再通过椭圆中的关系求出短半轴，从而确定椭圆方程，是解析几何中由几何性质求标准方程的常规思路； （2）（i）通过设点的坐标，利用对称关系得到点，再写出直线的方程，分别求出与轴、直线的交点、，结合的条件列方程求解，体现了解析几何中“设点 - 求线 - 联立 - 列方程”的解题流程； （ii）通过联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系求出点、的横坐标，结合三角形面积比的转化，将的面积用点的坐标表示，再利用基本不等式求最值，综合考查了直线与椭圆的位置关系和最值问题的处理方法． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，依题意得，解得， 所以，所以椭圆的方程为． （2）（ⅰ）依题意设，则，其中，． 由，可得直线的方程为，令，得． 又直线的方程为，联立方程及，解得． 因为及，，，共线，所以， 所以，解得，所以． （ⅱ）联立直线与椭圆的方程得，消去，得． 因为在椭圆上，所以，所以． 由根与系数的关系得，解得．同理可得． 因为，所以． 又，所以． 因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 综上，面积的最大值为． 变式1．（2026·河南·三模）已知圆：，斜率不为0的直线过点且与圆交于，两点，过点与直线平行的直线交直线于点，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设直线与圆：相切，与曲线交于，两点，记为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据几何关系得到，结合双曲线的定义可知点的轨迹为以，为焦点的双曲线（右支），进而求方程即可； （2）设出直线方程，根据直线与圆相切求出直线方程，与双曲线联立，结合韦达定理及弦长公式求出，求出原点到直线的距离，代入三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）已知圆：，圆心，半径.    所以，故. 因为，所以， 又，所以，所以. 则，又， 根据双曲线的定义可知，点的轨迹为以，为焦点的双曲线（右支）， 即，，所以，， 故的方程为. （2）设直线：， 由直线与圆相切可得，解得，即.    不妨取，则直线：， 代入双曲线方程整理得，，， 设，，则，. 所以， 原点到直线的距离为， 所以. 变式2．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点为，圆上一动点与两个焦点组成的三角形面积最大值为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过不在双曲线上的一点P，作双曲线的两条互相垂直的切线，切点分别为，. （i）求点的轨迹方程； （ii）求面积的最小值. 【答案】(1)y2＝1 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）借助双曲线与圆的对称性，利用焦点三角形面积最大值求出，结合双曲线关系式算出，进而得出双曲线标准方程. （2）（i）设切线方程并联立双曲线方程，由相切得判别式为零推出关系，结合切线过点代入化简得到关于斜率的一元二次方程，依据两切线垂直斜率乘积为，整理求得点的轨迹方程. （ii）先写出点对应的双曲线切点弦方程，求出点到弦的距离，联立直线与双曲线借助韦达定理表示弦长，推出三角形面积表达式，换元构造函数，分区间利用导数判断单调性，分别求出区间内面积最值，最终确定面积最小值. 【详解】（1）根据双曲线与圆的对称性可知圆上一动点与两个焦点组成的三角形面积最大值为，所以. 所以，所以，所以双曲线的标准方程为; （2）（i）设，双曲线切线方程为 联立，得： 判别式，即. 即，切线过，故. 代入得. 两条切线互相垂直，故斜率之积. 整理得，即点的轨迹方程为; （ii）设，则切点弦的方程为. 点到的距离. 联立方程与双曲线方程. 消去整理得. 设，则， 的面积， 令，则， 当时，， 则在上单调递增， 所以当时，取得最小值为1;当时，， 则在上单调递减，所以当时，取得最小值为4， 综上，的面积的最小值为1. 变式3．（2026·湖南邵阳·三模）已知双曲线过点，且渐近线方程为，过点作三条直线与的右支分别交于点，直线与轴的交点分别为点． (1)求的方程； (2)设直线的斜率分别为． （i）若点为线段的中点，且，求直线的斜率； （ii）若，且，求的面积． 【答案】(1) (2)（i）4（ii） 【分析】（1）根据双曲线经过的点坐标求解即可. （2）（i）先求出点的横坐标，进而求得结果；（ii）先求出直线，直线，然后联立直线的方程与双曲线方程，结合韦达定理计算即可. 【详解】（1）由题可设双曲线的方程为，即， 将点代入可得，所以双曲线的方程为． （2）（i）直线，令，得． 直线，令，得． 由，得，所以，故中点， 所以，故直线的斜率为4. （ii）由题意得且，不妨设，则． 设直线的倾斜角为，则，所以， 故，可得，又，所以． 所以直线，直线． 由得，故． 所以． 由得，故． 所以． 由，得． 所以． 考点三 斜率问题 例1．（2026·安徽马鞍山·二模）已知双曲线过点，且渐近线方程为． (1)求的标准方程； (2)点的坐标为，过点的直线与的左支交于，两点，直线，分别与的右支交于，两点． （ⅰ）的左顶点为，记直线，的斜率分别为，，求； （ⅱ）证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）过定点，证明见解析. 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程为，得，结合双曲线过定点，联立求解得到双曲线的标准方程； （2）（ⅰ）设过定点的直线方程，与双曲线方程联立，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理得到两点纵坐标的和与积的关系式；根据斜率公式，得到，，从而计算出的值； （ⅱ）分别设过定点的直线，方程，分别与双曲线方程联立求出点与点，点与点的横、纵坐标之间的关系式，根据,,三点共线，则求出定点。 【详解】（1）双曲线过点，渐近线方程为， ，解得； 的标准方程为. （2）（ⅰ），的左顶点； 直线过点，设直线方程为，，； ，联立方程得， ， 则，； 直线与的左支交于，两点，，； 即，解得； 综上所述，的值为. （ⅱ）直线过点，设直线的方程为，，，则； ，联立方程得， 则，得； ； 同理可求得，； ①当直线斜率存在时，如图所示： ,,三点共线，，即， 则，化简得; 令，即，即直线过定点; ②当直线斜率不存在时，如图所示： 此时，则，解得，； 直线的方程为，也过定点； 直线恒过定点. 例2．（2026·辽宁鞍山·二模）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率，且以短轴为直径的圆与直线相切． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，若直线的斜率都存在且不为0，将的斜率分别记为，求． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据题意，结合即可求出； （2）分情况讨论，当直线斜率存在时，设直线的方程为，，联立得到，再求得，代入化简即可. 【详解】（1）由题意得， 又以短轴为直径的圆与直线相切， 原点到直线的距离为， 又，， 故椭圆的方程为. （2）由（1）可知，， 当过点的直线斜率不存在时，直线与椭圆只有一个交点，不合题意，舍去； 当过点的直线斜率存在时，设直线的方程为， 设，联立， 消去整理得， ，解得， 且， 而直线的斜率为，直线的斜率为， ， 又， ， . 例3．（2026·山西太原·二模）已知椭圆的上顶点为，右焦点为，右顶点为. (1)若椭圆的离心率为，且以原点为圆心，为半径的圆与直线相切，求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于另一点，设直线的斜率分别为，求的值（结果用离心率表示）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率、顶点以及直线与圆相切求解即可. （2）求出直线的方程，与椭圆方程联立表示求出点，表示出，再进行化简即可. 【详解】（1）因为以原点为圆心，为半径的圆与直线相切， 所以. 联立，解得， ∴椭圆的标准方程为 （2）点，所以直线的斜率，直线的斜率为. 直线的方程为. 联立消去，得，解得或. ∴点的坐标为. . 变式1．（2026·安徽阜阳·二模）已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知条件，列方程求出，可得双曲线标准方程； （2）设直线的方程与双曲线联立方程组，设两点坐标，表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值. 【详解】（1）由题意知，则，所以， 因为点在双曲线的一条渐近线上， 所以点在双曲线的渐近线上，所以， 综上可得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线的左焦点为， 由题意设直线的方程为， 由直线，得， 设，则，又， 所以 ， 由，得，其中， 则，，，所以. 因为，所以， 所以 . 即为定值. 变式2．（2026·浙江·二模）已知椭圆的左焦点为，直线，动点到的距离与到直线的距离相等． (1)求点的轨迹方程； (2)过点作斜率分别为，的直线，，且交于，两点，交于，两点，若直线平行于直线（，均在的右侧）． （ⅰ）证明：． （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）结合题意列出等式，进而化简得到方程即可. （2）（ⅰ）法一联立方程组得到和，再结合平行线的性质得到，进而结合换元法得到，最后证明结论，法二利用焦半径公式得到，，再结合平行线的性质得到，最后证明目标结论即可，（ⅱ）结合题意将目标式用一元函数表示出来，再求出自变量范围，最后求出目标式取值范围即可. 【详解】（1）设，设点到直线的距离为， ，椭圆的左焦点为的坐标为， ，化简得． （2）（ⅰ）如图，作出符合题意的图形， 法一：设直线，， 直线，，联立方程组， 得，得到， 联立方程组，得， 得到， ，，得到， 所以， 故，， 令，，可得， 得到，． 法二：设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 根据焦半径公式得，可得， 而，得到， ，，得到， 则 ，得证． （ⅱ）由已知得，， 而， ， 结合图形可得，则， ，得，相似于， 得，令，由，得． 又，而 ，所以， 解得，． 变式3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知双曲线：的左、右顶点分别为，，点是上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，且. (1)求的方程； (2)若是的左支上异于点的一点，直线交直线于点，直线交于另一点. （i）设直线的斜率分别为，，求证：为定值； （ii）求坐标原点到直线距离的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）4 【分析】（1）先设点，再应用点到直线距离公式计算求解得出参数即可得出双曲线方程； （2）（i）先设点的坐标，再应用斜率公式结合双曲线方程化简求值；（ii）结合对称性设直线的方程，再联立计算斜率乘积得出，最后应用定点得出距离的最大值. 【详解】（1）由题意知的渐近线方程为， 设，则. 因为，所以， 所以的方程为. （2）（i）证明：由（1），得，，设，，， 直线的斜率，直线的斜率. 因为，所以. 因为，， 所以. 因为，所以， 所以，即为定值. （ii）解：若直线的斜率为0，根据对称性，直线与直线的交点应在轴上，不符合题意， 所以直线的斜率不为0，又，不重合，故可设直线的方程为. 联立得， 由题意得且，即， 由韦达定理，得，. 由（i）得， 故， 所以， 化简，得. 因为，所以，解得. 所以直线的方程为，因此直线恒过点， 所以当时，坐标原点到直线的距离取得最大值4. 2 学科网（北京）股份有限公司 $