角平分线的判定与性质、垂直平分线的判定与性质 专项训练-2026年中考数学二轮复习

**基本信息** 聚焦角平分线与垂直平分线的判定及性质，通过多地区模拟题构建从基础应用到综合拓展的训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |角平分线的判定与性质|6例+6变式|结合矩形、三角形等图形，涉及距离计算、尺规作图、综合证明|从性质（距离相等）到判定（到两边距离相等的点在角平分线上），通过作图与几何计算深化应用| |垂直平分线的判定与性质|6例+6变式|涉及线段相等、周长计算、角度推导，结合矩形与三角形|从性质（到两端点距离相等）到判定（到两端点距离相等的点在线段垂直平分线上），通过作图与周长、角度计算构建逻辑链条|

角平分线的判定与性质、垂直平分线的判定与性质专项训练 角平分线的判定与性质、垂直平分线的判定与性质专项训练 考点目录 角平分线的判定与性质 垂直平分线的判定与性质 考点一 角平分线的判定与性质 例1．（2026·江苏连云港·二模）如图，四边形是矩形，，，交于点，平分，根据尺规作图的痕迹，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·湖南岳阳·二模）如图，在中，，以点为圆心，适当长度为半径画弧，交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内相交于点，作射线交边于点，若，下列结论正确的是（     ） A． B． C．点到的距离为4 D． 例3．（2026·江苏苏州·一模）如图，在中，，平分，，且，则的长为（    ）    A． B． C． D． 例4．（2026·河南许昌·二模）如果三角形的两个内角与满足，那么，我们将这样的三角形称为“准互余三角形”．如图，在中，已知，，，点D在边上，连接．如果为“准互余三角形”，那么线段的长为________． 例5．（2026·四川成都·二模）如图，在中，是的平分线，在的延长线上取一点，连接，，已知，，，则的长__________． 例6．（2026·四川成都·二模）如图，在中，，为三条角平分线的交点，过点作，分别交，于点E，F，N为的中点，连接MN，BM，CM，若，，则的长为________；的长为________． 变式1．（2026·浙江杭州·一模）如图，点P是的角平分线上一点，于点E，点F是射线上任意一点，则（       ） A． B． C． D． 变式2．（2026·山东临沂·一模）如图，在中，，，．按如下步骤作图： ①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点G，交于点H；再分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点E，作射线AE交BC边于点D； ②分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N；作直线交于点F．则的面积为（    ） A．2 B．16.5 C．12 D．10 变式3．（2026·安徽芜湖·二模）如图，在中，，，平分，交于点D，延长到点E，使，连接，交的延长线于点F，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 变式4．（2026·山西忻州·模拟预测）如图，在中，，，．点D，E分别在，边上，连接，的平分线交线段于点F，若，则线段的长为__________． 变式5．（2026·湖北·二模）如图，中，平分，交于点E，若，，则长度为______． 变式6．（2026·云南大理·二模）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的面积为________． 考点二 垂直平分线的判定与性质 例1．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，矩形中，点是边的中点，点是对角线的垂直平分线上的一动点，若，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线．直线与相交于点，连接，若，则的长是（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．6 例3．（2026·湖北·二模）如图，点在上，以点为圆心，适当长为半径作弧交弦于两点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在外相交于点，射线交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 例4．（2026·云南昆明·二模）如图，在中，，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，则的周长为______． 例5．（2026·江苏南京·一模）如图，在中，分别作的平分线和的垂直平分线，相交于点，且点在边上．若，，则__________． 例6．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．已知的周长为，，则的长是__________． 变式1．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，，，边的垂直平分线分别与、交于点、，连接，则的周长为（   ） A．17 B．24 C．26 D．27 变式2．（2026·天津宁河·二模）如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，交边于点D，交边于点E，连接，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·天津西青·一模）如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点D和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线交于点E，交于点F．若，，的周长是15，则的周长为（   ） A．21 B．23 C．25 D．29 变式4．（2026·湖南·模拟预测）如图，，分别以点，为圆心，长为半径画弧，在两侧交于点，，连接，则的长为________． 变式5．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线，与斜边交于点D，与直角边交于点E；连接．则线段的长为______． 变式6．（2026·河南郑州·一模）如图，在矩形中，，，点为对角线上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在射线上，当的垂直平分线经过矩形一边的中点时，的长为_______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $角平分线的判定与性质、垂直平分线的判定与性质专项训练 角平分线的判定与性质、垂直平分线的判定与性质专项训练 考点目录 角平分线的判定与性质 垂直平分线的判定与性质 考点一 角平分线的判定与性质 例1．（2026·江苏连云港·二模）如图，四边形是矩形，，，交于点，平分，根据尺规作图的痕迹，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，由角平分线性质定理得，根据，得，求得，再证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 四边形是矩形， ，， 平分，， ， 在中，，， ； 在中，由勾股定理得， ， 由尺规作图的痕迹知， ， ， ， ， 点是的中点， 是的中位线， ． 例2．（2026·湖南岳阳·二模）如图，在中，，以点为圆心，适当长度为半径画弧，交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内相交于点，作射线交边于点，若，下列结论正确的是（     ） A． B． C．点到的距离为4 D． 【答案】C 【详解】解：由作图得，平分 ∵， ∴点到的距离，故C正确； 根据题意无法得到，，，故A，B，D错误． 例3．（2026·江苏苏州·一模）如图，在中，，平分，，且，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和勾股定理，根据已知条件求出长度，再利用角平分线的性质得到与点到的距离相等，最后在中根据勾股定理，求得． 【详解】解：，， ，， 如图：过点，作边上的高，    则有， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ，，， 在中，， ， ， ． 例4．（2026·河南许昌·二模）如果三角形的两个内角与满足，那么，我们将这样的三角形称为“准互余三角形”．如图，在中，已知，，，点D在边上，连接．如果为“准互余三角形”，那么线段的长为________． 【答案】或 【分析】作于点，设，则，根据题意分类讨论，当时，易得平分，根据角平分线的性质和的正弦值，列出方程求解即可；当时，易得，根据的正切值，列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 设，则， 在中，，，， ， 则，， 为“准互余三角形”， 或， 当时， ， ，即平分， ，， ， 在中，，即， 则， 解得； 当时， ， ， 在中，， 则，解得； 综上所述，线段的长为或． 例5．（2026·四川成都·二模）如图，在中，是的平分线，在的延长线上取一点，连接，，已知，，，则的长__________． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到为等腰直角三角形，由此可得，再利用正切值以及勾股定理可求解与的长度，再由等腰可得，由此可得，再由三角形三边的关系，设，再利用角的关系得到，结合三角形面积得到边的比例，可解得，利用勾股定理求解x的值，由此可解． 【详解】解：过点A作的延长线于点H，过点B作，过点C作，如图， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴，则， 在中，， 即，且， 在中，， 即，解得， 则， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在中，， 在中，则， 设，则， 在中，， ∵， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴为的角分线， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 解得， ∵， 在中，， 则， 即，可得， 解得（负值舍掉）， 故 ． 例6．（2026·四川成都·二模）如图，在中，，为三条角平分线的交点，过点作，分别交，于点E，F，N为的中点，连接MN，BM，CM，若，，则的长为________；的长为________． 【答案】 2 【分析】根据两角分别相等证明，利用相似三角形对应边成比例，结合条件和，计算出的长；通过添加中点构造中位线，构成新的直角三角形，根据勾股定理求出的长． 【详解】，为三条角平分线的交点， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，； 连接，取的中点，连接，， 则为的中位线，为的中位线， ，，，， ，， ， ， 在中，根据勾股定理得， ． 变式1．（2026·浙江杭州·一模）如图，点P是的角平分线上一点，于点E，点F是射线上任意一点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先结合角平分线的性质得点到的距离，又因为垂线段最短得出，即可作答． 【详解】解：∵点P是的角平分线上一点，于点E， ∴点到的距离， ∵点F是射线上任意一点， ∴． 变式2．（2026·山东临沂·一模）如图，在中，，，．按如下步骤作图： ①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点G，交于点H；再分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点E，作射线AE交BC边于点D； ②分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N；作直线交于点F．则的面积为（    ） A．2 B．16.5 C．12 D．10 【答案】D 【分析】由①可知为的角平分线，由②可知为的垂直平分线，由角平分线的性质得到点D到的距离与点D到的距离相等，则可推出则可求出，再由线段的垂直平分线的性质和三角形的中线平分三角形的面积可得答案． 【详解】解：由①可知为的角平分线， ∴点D到的距离与点D到的距离相等， 设点D到的距离为， ∴， ∵， ∴， 由②可知为的垂直平分线， ∴， ∴ ． 变式3．（2026·安徽芜湖·二模）如图，在中，，，平分，交于点D，延长到点E，使，连接，交的延长线于点F，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可知为等腰直角三角形，设．利用角平分线定理求出与，再用勾股定理分别计算、、的长度及各比值，即可判断各选项的正误． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形， 设， ，， 平分， ， ∵平分， 点D到的距离等于的长， 故由面积关系可知，，， ∴， ， ， ， ，， 在中，， ， ， 选项B正确， 在中，， ， 选项A正确， ， ， 选项D正确， ， 选项C错误． 变式4．（2026·山西忻州·模拟预测）如图，在中，，，．点D，E分别在，边上，连接，的平分线交线段于点F，若，则线段的长为__________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出的长，通过作辅助线构造相似三角形求出相关线段长，利用角平分线性质得到点F到和的距离相等，最后结合等面积法建立方程求出的长，进而求得． 【详解】在中，，，， 由勾股定理得，， 如图，过点F作于点P，过点F作于点Q， ∵平分，，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点D作于点H， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 过点E作于点K ， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 变式5．（2026·湖北·二模）如图，中，平分，交于点E，若，，则长度为______． 【答案】4 【分析】先根据角平分线的定义和平行线的性质得到，再根据等角对等边得到，最后利用线段的和差关系求解． 【详解】解：平分， ． ， ， ， ． ， ． ， ． 变式6．（2026·云南大理·二模）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的面积为________． 【答案】26 【分析】根据作图痕迹可得是的平分线，过点作于点，根据角平分线的性质可得，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：由作图痕迹可知，平分，如图，过点作于点． ， . 平分，， ， ， ． 考点二 垂直平分线的判定与性质 例1．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，矩形中，点是边的中点，点是对角线的垂直平分线上的一动点，若，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得，再结合矩形的性质以及勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵点是对角线的垂直平分线上的一动点， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴的最小值是． 例2．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线．直线与相交于点，连接，若，则的长是（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】由作图过程可知，是的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得，由等边对等角得出，进而证明，推出，可得是斜边上的中线，进而即可求解． 【详解】解：由作图过程可知，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是斜边上的中线， ∵， ∴． 例3．（2026·湖北·二模）如图，点在上，以点为圆心，适当长为半径作弧交弦于两点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在外相交于点，射线交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得知是线段的垂直平分线，得到，利用在同一个圆中，等弧所对的圆心角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意知：是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 例4．（2026·云南昆明·二模）如图，在中，，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，则的周长为______． 【答案】5 【分析】证明的周长即可解决问题． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴的周长． 例5．（2026·江苏南京·一模）如图，在中，分别作的平分线和的垂直平分线，相交于点，且点在边上．若，，则__________． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，结合角平分线的定义可得，利用两角对应相等证明，根据相似三角形对应边成比例列出方程求解即可． 【详解】解：点在的垂直平分线上 ， 平分 又 ， 由得 由得 ． 例6．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．已知的周长为，，则的长是__________． 【答案】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，结合的周长为，推出，结合，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为， ，即， ， ． 变式1．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，，，边的垂直平分线分别与、交于点、，连接，则的周长为（   ） A．17 B．24 C．26 D．27 【答案】A 【分析】根据垂直平分线的性质可得，则的周长，即可求解． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 变式2．（2026·天津宁河·二模）如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，交边于点D，交边于点E，连接，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意中尺规作图可知是的垂直平分线，从而，再由，得到，利用等腰三角形三线合一的性质得出，从而利用补角的定义得出结果． 【详解】由作图痕迹可知，为的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式3．（2026·天津西青·一模）如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点D和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线交于点E，交于点F．若，，的周长是15，则的周长为（   ） A．21 B．23 C．25 D．29 【答案】D 【分析】，，通过同一个圆的半径相等，和垂直平分线的性质运用可得，之后代换即可． 【详解】解：由题意可得：，， ． 变式4．（2026·湖南·模拟预测）如图，，分别以点，为圆心，长为半径画弧，在两侧交于点，，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】连接，由作法得：，且垂直平分，再结合勾股定理可得的长，即可． 【详解】解：如图，连接， 由作法得：，且垂直平分， ∴， ∴， 同理， ∴． 变式5．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线，与斜边交于点D，与直角边交于点E；连接．则线段的长为______． 【答案】3 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据余角的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，即可得出答案． 【详解】解：由作图步骤可知，直线是线段的垂直平分线， ∵点D在的垂直平分线上， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式6．（2026·河南郑州·一模）如图，在矩形中，，，点为对角线上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在射线上，当的垂直平分线经过矩形一边的中点时，的长为_______． 【答案】或或 【分析】根据含角直角三角形的性质结合勾股定理可得，的长，根据旋转的性质得到， ，  分情况讨论： 当经过的中点时，当经过的中点时，当经过的中点时，当经过的中点时，根据线段垂直平分线的性质结合相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ，， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ，   分情况讨论： 当经过的中点时，交于点，连接，， 如图所示， ， ，   ， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ，即， ； 当经过的中点时，交于点，连接， 如图所示， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ； 当经过的中点时，交于点，连接，，过点作于，如图所示，则四边形是矩形， ，， 垂直平分， ，， 是等边三角形，    ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ，解得， ； 点在上，在射线上， 的垂直平分线位于的右侧，与的延长线会存在交点，但不存在与线段相交的情况，故不会存在经过的中点的情况； 综上，的长为或或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $