精品解析：福建省三明第一中学2024-2025学年高三下学期5月月考数学试题

三明一中2025届高中毕业班适应性考试 数学科试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知复数z在复平面内对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法以及共轭复数的定义，可得答案. 【详解】由题意可得，则. 故选：D. 2. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解. 【详解】集合，，由，得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 3. 已知向量和的夹角为，且，，则（ ） A. 3 B. C. D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积公式和运算律求解即可. 【详解】由题意可得， 故选：A 4. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024年篮球联赛中连续10场的得分数据为：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则这组数据的（ ） A. 第85百分位数为18 B. 众数为12 C. 中位数为17 D. 平均成绩为14 【答案】A 【解析】 【分析】由百分位数、众数、中位数、平均数的定义求出即可. 【详解】将得分数据按升序排列为：8，9，12，12，14，17，17，17，18，20， 对于A：因为，所以第85百分位数为第9位数，即为18，故A正确； 对于B：众数为17，故B错误； 对于C：中位数为：，故C错误； 对于D：平均数，故D错误； 故答案为：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据两角和与差的正弦公式进行化简求值即可. 【详解】由于， 那么， ，则， 故选：C． 6. 已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则m＝（ ） A. 1 B. C. －4 D. 1或－4 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程与渐近线方程即可求解. 【详解】因为双曲线的焦点在y轴上， 所以，，所以，即. 又双曲线的两条渐近线互相垂直，所以， 即，解得或（舍）. 故选：C. 7. 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的性质得到，则，其对称轴方程为，根据单调性得到不等式，求出答案. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意，所以， 则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则. 故选：A. 8. 已知，若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数并利用导函数判断函数的单调性，然后分三种情况讨论，然后根据三角函数的单调性即可得 【详解】令，得， 若，则 所以在上单调递增， 当时，则， 所以， 又在上单调递增，所以，， 当时，， 又在上单调递增，所以，不合题意； 当时，， 所以， 又在上单调递增， 所以，所以，， 综上可得， 故选：A 【点睛】关键点点睛：构造判断单调性，然后分类讨论，利用放缩法对变形，结合正余弦函数的单调性即可得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量服从正态分布，若，则 B. 将总体划分为两层，通过分层抽样，得到样本数为m，n的两层样本，其样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 C. 若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的相关性强 D. 已知，，若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质判断A的真假；根据方差的计算公式判断B的真假；根据相关系数的意义判断C的真假；根据条件概率的计算公式判断事件、的关系，确定D的真假. 【详解】对A：因为，且，所以，所以，故A正确； 对B：设两层的数据分别为：和，则，，设总体平均数为，则，因为，所以. 因为，， 所以，故B正确. 对C：由样本相关系数的意义可知， B组数据比A组数据的相关性强，故C错误； 对D：由，所以事件独立，所欲，故D正确. 故选：ABD 10. 在三棱锥中，，则（ ） A. B. 向量与夹角的余弦值为 C. 向量是平面的一个法向量 D. 与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由空间两点间的距离公式判断A ；利用数量积求夹角判断 B ；由数量积为0 判断 C ；求出平面的一个法向量，再由向量求夹角判断D． 【详解】 ， ，故 A 正确； ， ， ，故 B 错误； ，, ， 是平面的一个法向量，故 C 正确； 与平面 所成角的正弦值为： ，故 D 正确． 故选：ACD. 11. 设函数，若，且，则（ ） A. 实数的取值范围为 B. C. D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数探讨函数的性质，由已知结合三次函数的图象特征逐项求解判断. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当时，函数在上单调递增，最多一个解，不符合题意； 当时，由，得或；由，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 对于A，依题意，，实数的取值范围为，A错误； 对于B，由A选项知，，，B正确； 对于C，依题意，，则， 由，得，整理得， 则，当且仅当时取等号，解得，C正确； 对于D，由C选项知，且， 由，得，则，即，， 令函数，求导得， 当时，；当时，，在上递减，在上递增， 因此，则，即，D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式中的第2项的系数与第2项二项式系数之和为198，则展开式中的常数项为______． 【答案】60 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式可得，可求得，进而令，计算可求常数项. 【详解】的展开式的通项公式为， 所以展开式中第2项的系数为，二项式系数为，所以，解得． 令，得，所以展开式中的常数项为. 故答案为：60. 13. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.若茶水原来的温度是，经过分钟后的温度是，满足，其中表示室温，是由物体和空气接触状况而定的常数.在室温恒为的房间中，已知一杯的茶水，测得温度降到50℃需要10分钟，则这杯茶水还需要继续放置______分钟，茶水温度才降至35℃达到最佳饮用口感. 【答案】10 【解析】 【分析】把温度变为和的数据代入已知公式，两式比较可求得结论． 【详解】由题意温度降到50℃时， 温度降到35℃时，， 所以，所以， , 故答案为：10. 14. 设椭圆的左右焦点为，，右顶点为A，已知点P在椭圆E上，若，则椭圆的离心率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件求出点坐标，代入椭圆方程中形成齐次方程，解出离心率即可. 【详解】   如图：由题意不妨设在第一象限，作轴交轴于点,知， 因为，所以， 所以， 则， 由, 而解得， 又由，所以，又，即， 代入解得：， 把，代入中， 整理得， 即，解得（舍）或. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）点在边上，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合诱导公式计算得出，最后结合角的范围求解； （2）应用余弦定理得出，，即可求解. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以，所以． 【小问2详解】 在中，，解得， 在中，，所以， 所以周长． 16. 如图，边长为2的正方形是圆柱的轴截面，为底面圆上的点，为线段的中点． （1）证明：平面． （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，连接，证明四边形为平行四边形，则，再根据线面平行的判定定理即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，利用线面角的空间向量求法即可得到方程，解出即可. 【小问1详解】 取线段的中点，连接． 在中，． 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，则． 因为平面平面，所以平面． 【小问2详解】 连接，因为是圆的直径，所以． 过点作圆柱的母线，则平面，所以互相垂直． 以为原点，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设，则， 所以． 设为平面的法向量， 所以，令，则． 易知直线的一个方向向量为． 记直线与平面所成的角为， 则， 化简得． 结合，解得，所以． 17. 数列满足：，． （1）数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由； （2）数列满足：，求数列的前项和． 【答案】（1）是，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可说明； （2）由（1）可知，从而得到，再由分组求和法及并项求和法计算可得. 【小问1详解】 是等比数列，理由如下： 因为，故， 又，故， 因为，所以，故是以为首项，为公比的等比数列． 【小问2详解】 由（1）可知，所以， 所以， 所以 ． 18. 已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线的右支上，直线交轴于点（点在点的右侧）． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）若点，且，求点的坐标； （3）若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据双曲线方程即可得其渐近线方程； （2）由点可得，从而可利用三角形外角关系从而可得直线的斜率，将直线方程代入双曲线方程求解即可得点的坐标； （3）设直线，代入双曲线方程得交点坐标关系，由重心可得，根据点线关系即可得的范围，再结合三角形面积关系得与的关系，由基本不等式可得最值. 【小问1详解】 已知双曲线，则，所以双曲线方程为； 【小问2详解】 双曲线的右焦点， 又，所以，则， 因为，所以， 则直线，即， 所以，解得，即， 则，所以点的坐标为； 【小问3详解】 设直线， ， 则， 因为直线过点且与双曲线右支交于、两点，所以， 又因为的重心在轴上，所以， 由点在点的右侧，可得，所以，解得，所以， 而，代入可得， 所以， 代入化简可得：， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 19. 对于任意两个正数，记区间上曲线下的曲边梯形面积为，并规定，，记，其中． （1）若时，求证：； （2）若时，求证：； （3）若，直线与曲线交于，两点，求证：（其中为自然常数）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，，根据的定义求解； （2）解法一：如图可知，为与，以及轴所围成的曲边梯形的面积，曲面梯形的面积大于，，得证； 解法二：转化为证明：，设，，则不等式可化为，构造函数：，利用导数证明在恒成立； （3）令，故，直线与曲线交于，，所以，即有：①，②，进一步变形可得，从而得证. 【小问1详解】 因为，且， 当时可知， 所以， ，所以成立； 【小问2详解】 解法一：要证，即证， 如图可知，为与，以及轴所围成的曲边梯形的面积． 若直线与曲线交于点， 过做的切线，分别交，于，， 过做轴的平行线分别交，于，，则， 易知曲面梯形的面积大于， 所以， 所以，，得证． 解法二：因为时，，所以要证， 即证：， 即证：，即证：， 设，，则不等式可化为， 要证，作差得， 即证：在恒成立， 构造函数：， 则，再设，则， 因为，所以恒成立， 所以在为增函数，所以， 所以在恒成立，可得在为增函数， 所以，所以在恒成立， 所以不等式成立，得证； 【小问3详解】 因为，所以， 令，故， 所以在为减函数，在为增函数，， 故直线与曲线交于，，所以， 且，，即有：①，②， ①＋②得： ①－②得： 由第（2）问知：， 所以， 所以，即， 所以成立． 【点睛】方法点睛：对于新定义题型，一般分为以下几步： （1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； （2）对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法，有时能够追求临近的知识点，明确它们的共同点与不同点； （3）对新定义中提取的知识进行变换，有效的输出；假如是新定义的运算，直接依据运算法则计算即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明一中2025届高中毕业班适应性考试 数学科试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知复数z在复平面内对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量和的夹角为，且，，则（ ） A. 3 B. C. D. 13 4. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024年篮球联赛中连续10场的得分数据为：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则这组数据的（ ） A. 第85百分位数为18 B. 众数为12 C. 中位数为17 D. 平均成绩为14 5. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则m＝（ ） A. 1 B. C. －4 D. 1或－4 7. 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量服从正态分布，若，则 B. 将总体划分为两层，通过分层抽样，得到样本数为m，n的两层样本，其样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 C. 若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的相关性强 D. 已知，，若，则 10. 在三棱锥中，，则（ ） A. B. 向量与夹角的余弦值为 C. 向量是平面的一个法向量 D. 与平面所成角的正弦值为 11. 设函数，若，且，则（ ） A. 实数的取值范围为 B. C. D. 当时， 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式中的第2项的系数与第2项二项式系数之和为198，则展开式中的常数项为______． 13. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.若茶水原来的温度是，经过分钟后的温度是，满足，其中表示室温，是由物体和空气接触状况而定的常数.在室温恒为的房间中，已知一杯的茶水，测得温度降到50℃需要10分钟，则这杯茶水还需要继续放置______分钟，茶水温度才降至35℃达到最佳饮用口感. 14. 设椭圆的左右焦点为，，右顶点为A，已知点P在椭圆E上，若，则椭圆的离心率为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）点在边上，且，求的周长． 16. 如图，边长为2的正方形是圆柱的轴截面，为底面圆上的点，为线段的中点． （1）证明：平面． （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 17. 数列满足：，． （1）数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由； （2）数列满足：，求数列的前项和． 18. 已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线的右支上，直线交轴于点（点在点的右侧）． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）若点，且，求点的坐标； （3）若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 19. 对于任意两个正数，记区间上曲线下的曲边梯形面积为，并规定，，记，其中． （1）若时，求证：； （2）若时，求证：； （3）若，直线与曲线交于，两点，求证：（其中为自然常数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $