精品解析：河北唐山市玉田县2025-2026学年度第二学期期中质量检测高一年级数学试卷

玉田县2025-2026学年度第二学期期中质量检测 高一数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后.用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 根据统计，2024年五一假期，网红城市C和H接待的旅客数分别为1亿和8千万，在这两城市用分层随机抽样的方法抽取360名旅客，则应在H城市抽取的人数为（ ） A. 80 B. 100 C. 200 D. 160 4. （ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 下列说法正确的是（ ） A. 为了了解全国中学生的视力情况，应该采用普查的方式 B. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙比甲稳定 C. 一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和50%分位数都是8 D. 某人在玩掷骰子游戏，掷得数字3的概率是，则此人掷6次骰子一定能掷得一次数字3 6. 袋中有10个红球和10个绿球，它们除颜色不同外，其它都相同.从袋中随机取2个球，互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少有一个红球；至少有一个绿球 B. 至少有一个红球；都是红球 C. 恰有一个红球；恰有两个绿球 D. 至少有一个红球；都是绿球 7. 设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是（    ） A. B. C. 与相交 D. 8. 一个五面体．已知，且两两之间距离为．，，，则该五面体的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（    ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点在第二象限 C. 的共轭复数为 D. 若，则的最大值是 10. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B=“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（ ） A. 事件A与事件B的样本点数分别为12，8 B. 事件A，B间的关系为 C. 事件发生的概率为 D. 事件发生的概率为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 不存在点Q，使得 B. 存在点Q，使得 C. 对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为 D. 对于任意点Q，都是钝角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，，则与的夹角为___________. 13. 底面直径为2的圆锥，它的轴截面是等边三角形，则该圆锥的表面积为___________． 14. 已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点. （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆相交于两点，求的面积. 16. 如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积． 17. 已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根. （1）设满足方程，求； （2）设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 18. 某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图． （1）求直方图中 的值； （2）求理科综合分数的中位数； 19. 如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于的动点，，是圆柱的两条母线． （1）求证：平面； （2）若，，圆柱的母线长为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉田县2025-2026学年度第二学期期中质量检测 高一数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后.用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对复数进行化简，再求出其共轭复数，最后利用复数模的公式求解． 【详解】， ， ，故C正确． 故选：C． 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由向量平行与垂直的坐标表示可判断AB；计算出模长判断C；线性坐标运算得，即可判断D． 【详解】对于A，，不平行，故A错误； 对于B，，，故B正确； 对于C，，则，故C错误； 对于D，，故D错误． 故选：B． 3. 根据统计，2024年五一假期，网红城市C和H接待的旅客数分别为1亿和8千万，在这两城市用分层随机抽样的方法抽取360名旅客，则应在H城市抽取的人数为（ ） A. 80 B. 100 C. 200 D. 160 【答案】D 【解析】 【分析】利用分层抽样求得网红城市C和H的人数占比，再根据比例求得结果即可． 【详解】根据题意，网红城市C和H接待的旅客数比例为， 所以应在H城市抽取的人数为． 故选：D． 4. （ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据正切和角公式，再化简即可求解． 【详解】由， ， ． 故选：A． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 为了了解全国中学生的视力情况，应该采用普查的方式 B. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙比甲稳定 C. 一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和50%分位数都是8 D. 某人在玩掷骰子游戏，掷得数字3的概率是，则此人掷6次骰子一定能掷得一次数字3 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽样方法、方差、百分位数、概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，“全国中学生的视力”总体太大，所以不应该普查，A选项错误. B选项，甲组数据的方差小于乙组数据的方差，所以甲比乙稳定，B选项错误. C选项，数据为，众数是， 分位数，也即中位数是，所以C选项正确. D选项，掷6次骰子不一定能掷得一次数字3，D选项错误. 故选：C 6. 袋中有10个红球和10个绿球，它们除颜色不同外，其它都相同.从袋中随机取2个球，互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少有一个红球；至少有一个绿球 B. 至少有一个红球；都是红球 C. 恰有一个红球；恰有两个绿球 D. 至少有一个红球；都是绿球 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义求解. 【详解】A. 至少有一个红球等价于：一个红球，一个绿球；两个红球；至少有一个绿球等价于：一个绿球，一个红球；两个绿球，不互斥. B. 至少有一个红球等价于：一个红球，一个绿球；两个红球；与都是红球不互斥. C. 恰有一个红球等价于：一个红球，一个绿球；与恰有两个绿球互斥不对立 D. 至少有一个红球等价于：一个红球，一个绿球；两个红球；与都是绿球互斥且对立 故选：C 【点睛】本题主要考查随机事件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 7. 设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是（    ） A. B. C. 与相交 D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例可判定ABC，利用线面垂直的判定定理及面面平行的判定定理可判定D. 【详解】对于A：当满足时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故A错误； 对于B：当满足时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故B错误； 对于C：当满足与相交时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故C错误； 对于D: 因为，又，所以， 故是的一个充分条件，故D正确； 故选：D 8. 一个五面体．已知，且两两之间距离为．，，，则该五面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】采用补形法将五面体补成一个棱柱，再利用体积公式求解即可. 【详解】如图，用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为的等边三角形， 侧棱长为， 故． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（    ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点在第二象限 C. 的共轭复数为 D. 若，则的最大值是 【答案】CD 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简复数，利用复数的概念可判断A选项；利用复数的几何意义可判断B选项；利用共轭复数的定义可判断C选项；利用复数模的三角不等式可判断D选项. 【详解】因为，则. 对于A选项，的虚部为，A错； 对于B选项，复数在复平面内对应的点在第三象限，B错； 对于C选项，的共轭复数为，C对； 对于D选项，因为，， 由复数模的三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立，即的最大值是，D对. 故选：CD. 10. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B=“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（ ） A. 事件A与事件B的样本点数分别为12，8 B. 事件A，B间的关系为 C. 事件发生的概率为 D. 事件发生的概率为 【答案】CD 【解析】 【分析】计算出所有结果数，分别列举出事件A、B的结果情况，即可判断选项A、B；根据古典概型的概率计算公式即可判断选项C、D. 【详解】解：由题用表示甲罐、乙罐中取小球标号的情况， 则所有的情况有：，， ，，共20种， 其中满足事件A的结果有：，，， ，共11种， 其中满足事件B的结果有：，， ，共8种，故选项A错误； 因为事件B的结果均在事件A中包含，故，故选项B错误； 因为，所以的结果数有11种， 所以，故选项C正确； 因为，所以的结果数有8种， 故，故选项D正确. 故选：CD 11. 如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 不存在点Q，使得 B. 存在点Q，使得 C. 对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为 D. 对于任意点Q，都是钝角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】证明直线与是异面直线判断A，当与重合时，可判断BD，设（），计算出的面积的最大值和最小值后从而可得Q到的距离的最小值和最大值，从而判断C． 【详解】由平面，平面，，平面，∴直线与是异面直线，A正确； 平面，平面，则，又，与是平面内两相交直线，所以平面，又平面，所以，即当与重合时，，B正确，此时是直角三角形，D错； 设（），，，， ， ， 所以， ， 所以时，，或1时，，所以的最大值是，最小值是， 记到的距离为，，因此的最大值是，的最小值是，C正确． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，，则与的夹角为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由，，且进行平方可得，利用数量积公式即可得解. 【详解】对两边平方可得：， 所以， 由， 可得， 所以夹角为， 故答案为：. 13. 底面直径为2的圆锥，它的轴截面是等边三角形，则该圆锥的表面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由轴截面是等边三角形求出圆锥底面半径与母线长，再由圆锥表面积公式计算． 【详解】因为圆锥的底面直径为2，它的轴截面是等边三角形， 则圆锥的母线长，底面半径， 所以圆锥表面积为． 故答案为：． 14. 已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设,用表示出的长度,进而用三角函数表示出,结合辅助角公式即可求得最大值. 【详解】设，扇形的半径为1， 则，， ，所以， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以当，即时, 取得最大值. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用三角函数表示线段长，利用三角恒等变换求得最值是常用方法. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点. （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆相交于两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标为，由题意，解方程组得圆心，进一步求得半径即可； （2）求出圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式求得即可得解. 【小问1详解】 设圆心坐标为， 由于圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点， 可得，解得，即圆心坐标为， 由于圆与轴相切于点，则半径. 所以圆的方程为. 【小问2详解】 依题意，圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交于两点， 所以弦长， 所以. 16. 如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积． 【答案】剩下部分体积为，表面积为. 【解析】 【分析】求得圆柱的底面半径和高，由此求得剩下几何体的表面积和体积. 【详解】由于是的中点，所以圆柱的高，且圆柱的底面半径为. 圆锥的体积为， 圆柱的体积为， 所以剩下几何体的体积为. 剩下部分的表面积等于圆锥的面积加上圆柱的侧面积， 即. 17. 已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根. （1）设满足方程，求； （2）设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出的代数形式根据复数相等可得答案； （2）求出与的坐标，根据向量夹角为钝角列出的不等式可得答案. 【小问1详解】 不妨设，则， 因为满足方程， 所以， 可得， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 设，则， 因为复数所对的向量分别是与， 所以，， 可得， ， 若向量与的夹角为钝角， 则，且， 即，且， 解得，， 实数的取值范围是. 18. 某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图． （1）求直方图中 的值； （2）求理科综合分数的中位数； 【答案】（1） （2）224 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解得即可； （2）首先判断中位数在内，再设出未知数，列出方程，解得即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得， 解得：. 【小问2详解】 由于，， 因此理科综合分数的中位数在内， 设中位数为，由， 解得， ∴月平均用电量的中位数为224. 19. 如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于的动点，，是圆柱的两条母线． （1）求证：平面； （2）若，，圆柱的母线长为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明线面垂直，通过线面垂直得到线线垂直，再证线面垂直，最后得到面面垂直即可； （2）先作出底面的垂线，再由垂足作两个面的交线的垂线，最后连接交线的垂足与斜足构成二面角的平面角求解即可. 【小问1详解】 因为是底面的一条直径，是下底面圆周上异于的动点， 所以， 又因为是圆柱的一条母线，所以底面， 而底面，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面， 又因为，所以平面平面； 【小问2详解】 如图所示， 过作圆柱的母线，连接， 因为底面//上底面，所以即求平面与平面所成锐二面角的大小， 因为在底面的射影为，且为下底面的直径，所以为上底面的直径， 因为是圆柱的母线，所以平面， 又因为为上底面的直径，所以，而平面， 所以为平面与平面所成的二面角的平面角， 又因为在底面射影为，所以，， 所以，又因为母线长为，所以， 又因为平面，平面，所以， 所以, 所以， 即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $