精品解析：河北唐山市开平区2024-2025学年第二学期期中质量检测高一数学试卷

开平区2024-2025学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 已知复数z满足，则的虚部为（ ） A. －1 B. 1 C. －i D. i 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数，再由共轭复数定义得到，求出其虚部. 【详解】因为复数z满足，所以， 所以，的虚部为－1． 故选：A． 2. 某羽毛球俱乐部有队和队，其中队有名学员，队有名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为的样本，已知从队中抽取了名学员，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样可得出关于的等式，解之即可. 【详解】根据分层抽样可得，解得． 故选：D． 3. 某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了名学生，得到这名学生对食堂用餐质量给出的评分数据（评分均在[50，100]内），将所得数据分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，估计学生对食堂用餐质量的评分的第百分位数为（ ） A. 82.5 B. 81.5 C. 87.5 D. 85 【答案】D 【解析】 【分析】先判断第百分位数所在组，然后根据频率直方图面积之和等于确定取值. 【详解】因为，， 所以第60百分位数位于，设为， 则， 解得，即估计学生对食堂用餐质量的评分的第百分位数为. 故选：D． 4. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则外接圆的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求出外接圆直径. 【详解】设外接圆的半径为，则， 即外接圆的直径为． 故选：B． 5. 正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正四面体的性质求解即可. 【详解】在正四面体中，不妨取棱长为1，设为底面的中心，为的中点，连接， 则平面，所以就是侧棱与底面所成角， 又，所以， 故正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值为. 故选：A. 6. 在中，，，，点D满足，则（ ） A. 6 B. 8 C. D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，结合向量的运算律及数量积定义求解即可. 【详解】解：由题意可得， 所以. 故选：D. 7. 已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由棱台的体积公式可得棱台的高，再求棱台的外接球体积即可. 【详解】由题可知，，设棱台高为， 则，解得， 根据正四棱台的特性，正四棱台的外接球半径即为四边形外接圆半径， 又，，所以， 则，所以为直角三角形， 故为四边形外接圆直径， 正四棱台的外接球半径，体积. 故选：B. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二倍角公式，同角三角函数关系可得，据此可得答案. 【详解】因，则. . 则. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分． 9. △ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列与△ABC有关的结论中正确的是（ ） A. 若，，，则满足条件的三角形有2个 B. 若，则△ABC是等腰三角形 C. 若△ABC是锐角三角形，则 D. 若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，可得结论判断A；根据正弦定理化简得，进而计算可判断B；根据题意得，结合在为单调递减函数，可判断C，设的中点为，的中点为，根据向量的运算，得到，结合三角形的面积公式，可判断D. 【详解】对于A，若，，，则， 所以满足条件的三角形有2个，故A正确； 对于B，因为，由正弦定理得，即， 因为，，可得或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故B不正确； 对于C中，由是锐角三角形，可得， 所以，又因为在为单调递减函数， 所以，所以C正确； 对于D中，如图所示， 设的中点为，的中点为， 因为，即， 可得，即，所以点是上靠近的三等分点， 所以点到的距离等于到的距离的， 又由到的距离为点到的距离的倍， 所以到的距离等于点到距离的， 由三角形的面积公式，可得，即，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知向量与满足，，且 则下列说法正确的是（ ） A. 若， 则向量与向量共线 B. 向量与的夹角为 C. D. 向量与向量垂直 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件得，对于A，由向量的共线定理判断即可；对于B，利用向量的夹角公式，即可求解；对于C，利用模长的计算公式，即可求解；对于D，利用向量的垂直表示，计算，即可求解； 【详解】因为，，，则， 得到， 对于A，若，则， 故向量与向量共线，故A项正确； 对于B，，又，所以，故B错误， 对于C，因为，则，所以C正确， 对于D，因为， 所以向量与向量垂直，故D正确． 故选：ACD. 11. 已知复数是的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A. 的虚部为i B. C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 为方程的一个根 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的四则运算化简得，求出对应点的坐标判断C，求出共轭复数及虚部判断A，代入方程求解判断D，求出后求模长判断B. 【详解】，对应点为在第二象限，故C对； 又，虚部为，故A错， ，故B错； ，故为方程的一个根，D对. 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数为偶函数，且在单调递减，若，则x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换，结合偶函数的性质，做出函数草图，在把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】因为为偶函数，图象关于轴对称，将其向右平移1个单位，可得函数，图象关于直线对称； 又在上单调递减，所以在上单调递增； 又，所以. 综上，的草图可以如下： 所以. 故答案为： 13. 在中，，.则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理及余弦定理可得，再由诱导公式及二倍角正弦公式求解. 【详解】由正弦定理，， 所以由可得， 所以，所以， 所以. 故答案为： 14. 我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童有外接球，且，点到平面距离为4，则该刍童外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知得，球心在上下底面中心的连线上，该连线与上下底面垂直，球心必在该垂线上，然后根据，利用直角三角形与直角三角形，即可列出外接球半径的方程，求解即可. 【详解】假设为刍童外接球的球心，连接、交于点，连接、交于点，由球的几何性质可知、、在同一条直线上， 由题意可知，平面，平面，， 设， 在中，， 在矩形中，， ， ， 在中，， 在矩形中，，，， 设外接球半径， ，解得， 则，即，则该刍童的外接球半径为 该刍童外接球的表面积为：， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式即可求解； （2）利用三角形的面积公式可求得，利用余弦定理可得出的值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以 即． 因为，所以， 所以，因为，所以． 【小问2详解】 由（1）可知，则． 因为的面积为，所以，解得 由余弦定理得， 则． 故的周长为． 16. 如图所示，垂直于矩形所在的平面，，，、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求四面体的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）设为的中点，连接、，根据中位线定理与平行公理得∥，进而得平面； （2）先证平面，再根据（1）得平面，进而得平面平面； （3）由（2）得为四面体的高，再根据几何关系计算体积即可. 【详解】（1）证明：设为的中点，连接、， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴， ∴∥， ∵平面，平面 ∴平面； （2）证明：∵，是的中点 ∴， 又∵平面，平面， ∴， ∵，， ∴平面， ∵， ∴， ∵， ∴平面， ∴平面，平面， ∴平面平面； （3）由（2）知，平面， ∴为四面体的高， 又， ∴，，， ∴， ∴ 四面体的体积. 【点睛】本题考查线面平行与面面垂直的证明，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题. 常见的线面平行的证明方法有：①通过面面平行得线面平行；②通过线线平行得线面平行，再证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形性质； 证明面面垂直，常转化为 证明线面垂直，常见的线面垂直的方法有：①通过面面垂直的性质得线面垂直；②利用线面垂直的判定定理证明，再证明线线垂直时，又通常通过线面垂直得线线垂直，或由几何关系结合勾股定理得线线垂直. 17. 如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且. （1）证明：平面； （2）求点到面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质推理即得. （2）延长交于一点，根据可求得，利用等体积法构造方程求解. （3）根据线面垂直和面面垂直性质可作出二面角的平面角，设，根据几何关系可表示出，由二面角大小可构造方程求得，进而得到结果. 【小问1详解】 在三棱台中，平面平面，， 而平面平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由棱台性质知：延长交于一点， 由，得，点到平面的距离为到平面距离的2倍，则， 于是，由平面，得为点到平面的距离， 又，则是的中点，，即为正三角形，为正三角形， 设，则， ，解得， ，由平面，得，， ，设点到平面的距离为， 由，得，解得：. 即点到平面的距离为. 【小问3详解】 由平面，平面，得平面平面，取中点，连接， 在正中，，而平面平面，则平面，而平面， 则，又平面，则平面平面，作于， 平面平面，则平面，，而平面，则， 作于，连接，，平面，则平面， 而平面，于是，即二面角的平面角， 设，由（2）知：，， 由，得，， 由，得， 若存在使得二面角的大小为， 则，解得， ， 所以存在满足题意的点，. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的垂直关系的证明、点面距离的求解、二面角问题的求解；求解二面角问题的关键是能够利用三垂线法，作出二面角的平面角，进而根据几何关系构造关于长度的方程，从而求得结果. 18. 如图，在四棱柱中，底面是菱形，底面，点是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设，交于点，证明即可得线面平行； （2）证明平面，即可得． 【详解】证明：（1）设，交于点. ∵四边形为菱形，∴是的中点， ∵是的中点，连接，∴， ∵平面，平面， ∴平面； （2）∵四边形为菱形， ∴， ∵底面，平面， ∴， ∵平面，平面， ， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. 【点睛】本题考查证明线面平行，证明面面垂直．解题方法是几何法，即应用线面平行和面面垂直的判定定理证明．空间线面间的位置关系还可用空间向量法证明． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对边分别为，，，且，点为的费马点． （1）求证：是直角三角形； （2）若的面积为，且，求的值； （3）求的最小值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式，结合正弦定理边角互化即可求解. （2）根据面积公式可求解，进而根据正弦定理可得，由和差角公式化简即可求解. （3）由余弦定理求解长度，结合勾股定理可得，即可利用不等式求解. 【小问1详解】 由，得， 即，由正弦定理得， 所以是直角三角形. 【小问2详解】 由（1）知， 的面积为，则， 所以在中，， 所以， 由P为的费马点，得， 设，则，， 在中，由正弦定理得， 即， 在中，由正弦定理得，则， 因此，整理得，即， 所以，即. 【小问3详解】 由P为的费马点，得， 设，则， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由，得， 化简得，又，则，当且仅当时取等号， 整理得，因此，或（舍去）， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开平区2024-2025学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 已知复数z满足，则的虚部为（ ） A. －1 B. 1 C. －i D. i 2. 某羽毛球俱乐部有队和队，其中队有名学员，队有名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为的样本，已知从队中抽取了名学员，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了名学生，得到这名学生对食堂用餐质量给出的评分数据（评分均在[50，100]内），将所得数据分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，估计学生对食堂用餐质量的评分的第百分位数为（ ） A. 82.5 B. 81.5 C. 87.5 D. 85 4. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则外接圆的直径为（ ） A. B. C. D. 5. 正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，点D满足，则（ ） A. 6 B. 8 C. D. 12 7. 已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分． 9. △ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列与△ABC有关的结论中正确的是（ ） A. 若，，，则满足条件的三角形有2个 B. 若，则△ABC是等腰三角形 C. 若△ABC是锐角三角形，则 D. 若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则 10. 已知向量与满足，，且 则下列说法正确的是（ ） A. 若， 则向量与向量共线 B. 向量与的夹角为 C. D. 向量与向量垂直 11. 已知复数是的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A. 的虚部为i B. C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 为方程的一个根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数为偶函数，且在单调递减，若，则x的取值范围是____________． 13. 在中，，.则__________. 14. 我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童有外接球，且，点到平面距离为4，则该刍童外接球的表面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 16. 如图所示，垂直于矩形所在的平面，，，、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求四面体的体积. 17. 如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且. （1）证明：平面； （2）求点到面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 18. 如图，在四棱柱中，底面是菱形，底面，点是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对边分别为，，，且，点为的费马点． （1）求证：是直角三角形； （2）若的面积为，且，求的值； （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $