函数的零点与方程的根 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的零点与方程的根”专题，依据高考评价体系梳理了零点判定、个数判断、参数求解三大核心考点，通过近五年考情分析明确“数形结合判断零点个数”“已知零点求参数范围”为高频考查角度，归纳出选择、填空及解答题中的典型命题形式。 课件亮点在于“真题引领+方法建模+素养提升”的备考路径，如结合2019课标Ⅲ真题“函数f(x)=2sinx-sin2x零点个数”，运用“解方程法”与“图象交点法”培养数学思维，通过典例3周期函数与分段函数交点问题，渗透数学眼光下的几何直观。特设“易错警示”（如零点存在定理使用条件）和“变式训练”，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准突破考点，提升复习效率。

2.7 函数的零点与方程的根 返回目录 知识清单 知识点　函数零点 1.零点的定义 对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 2.零点的几个等价关系 方程f(x)=0的实数解⇔函数y=f(x)的零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标. 3.函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么函数y= f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的 解. 返回目录 4.二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在 区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做 二分法. 返回目录 知识拓展    1.由函数y=f(x)(其图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出 f(a)·f(b)<0(如图所示),   所以“f(a)·f(b)<0”是“y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点”的充分不必要条件. 2.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,y=f(x)在 (a,b)上单调,那么f(x)=0在区间(a,b)上有且仅有一个实数根. 3.函数F(x)=f(x)-g(x)有零点⇔方程F(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)与y=g(x)的图象有交点. 返回目录 即练即清 1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”) (1)函数y=2x-1的零点是 . ( ) (2)若函数f(x)在区间(a,b)上满足f(a)·f(b)>0,则函数f(x)在区间(a,b)上一定没有零点.  ( ) (3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值. ( ) (4)已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,若f(-1)·f(3)<0,则方程f(x)=0至少有一 个实数解. ( )     √         ✕         ✕         ✕     返回目录 2.若f(x)=ax+b的零点是2,则函数g(x)=bx2-ax的零点为____________.     0或-      返回目录 3.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是(n,n+1)(n∈Z),则n=_______. 　-2     返回目录 4.若函数f(x)=2x- -a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是_____________.     (0,3)     返回目录 考点清单 考点　函数的零点 角度1　判断零点所在区间 典例1    (2025届广东肇庆一中开学考,7)已知函数f(x)=(m-2)xm为幂函数,若函数g(x)=lg x +x-m,则g(x)的零点所在区间为 ( ) A.(0,1)　　    B.(1,2)　　    C.(2,3)　　    D.(3,4)     C     返回目录 解析　由f(x)=(m-2)xm为幂函数,得m-2=1,得m=3,所以g(x)=lg x+x-3,显然,g(x)=lg x+x-3是 (0,+∞)上的增函数. 选项A,当x→0时,g(x)→-∞,g(1)=-2,因此A错误;选项B,g(1)=-2,g(2)=lg 2-1<0,因此B错误; 选项C,g(2)=lg 2-1<0,g(3)=lg 3>0,所以g(2)g(3)<0,因此C正确;选项D,g(3)=lg 3>0,g(4)= lg 4+1>0,因此D错误.故选C. 方法总结　判断函数零点所在区间的方法 1.利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有 f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. 2.数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 返回目录 变式训练 1.(数形结合法)已知函数f(x)=2x+x-4,g(x)=ex+x-4,h(x)=ln x+x-4的零点分别是a,b,c, 则a,b,c的大小顺序是 ( ) A.a<b<c　　    B.c<b<a　　    C.b<a<c　　    D.c<a<b     C     返回目录 解析　分别令f(x)=0,g(x)=0,h(x)=0,则2x=-x+4,ex=-x+4,ln x=-x+4, 则a,b,c分别是y=2x,y=ex,y=ln x的图象与直线y=-x+4的交点的横坐标. 在同一平面直角坐标系中,分别作出y=2x,y=ex,y=ln x,y=-x+4的图象,如图. 由图知b<a<c.故选C.   返回目录 角度2　判断零点个数 典例2    函数f(x)=x2-2|x|-ln|x|的零点个数为( ) A.1　　    B.2　　    C.3　　    D.4     D     解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠0},且f(-x)=(-x)2-2|-x|-ln|-x|=x2-2|x|-ln|x|=f(x),故函数f(x) 为偶函数. 当x>0时,f(x)=x2-2x-ln x, 考虑函数f(x)在(0,+∞)内的零点个数, 令f(x)=0,可得x2-2x=ln x, 作出函数y=x2-2x,y=ln x在(0,+∞)上的图象,如图所示, 返回目录   由图可知,函数y=x2-2x,y=ln x的图象在(0,+∞)上的交点个数为2,故函数f(x)在(0,+∞)上 的零点个数为2, 因此,函数f(x)的零点个数为4.故选D. 返回目录 方法总结　判断零点个数的方法 1.解方程法:若对应方程f(x)=0可解,通过解方程,则方程有几个不同解就对应有几个零 点. 2.函数零点存在定理法:利用函数零点存在定理不仅要求函数图象在区间[a,b]上连续, 且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才 能确定函数的零点个数. 3.数形结合法:合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题.两个函数图 象交点的个数就是函数零点的个数. 返回目录 变式训练 2.(关键元素变式)(2019课标Ⅲ,5,5分)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为 ( ) A.2　　    B.3　　    C.4　　    D.5 B     解析　由f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin xcos x=2sin x(1-cos x)=0,得sin x=0或cos x=1.∴x= kπ,k∈Z,又∵x∈[0,2π],∴x=0,π,2π,即零点有3个,故选B. 返回目录 角度3　已知函数零点求参数 典例3    已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[-1,1]时, f(x)=x2.函数g(x)=  若函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]上恰有8个零点,则a的取值范围为  ( ) A.(2,4)　　    B.(2,5)　　    C.(1,5)　　    D.(1,4) A     返回目录 解析　函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]上恰有8个零点, 则函数f(x)与函数g(x)的图象在区间[-5,5]上有8个交点, 由f(x+2)=f(x)知, f(x)是R上周期为2的函数, 作出函数f(x)与函数g(x)在区间[-5,5]上的图象,如图, 由图知,当x∈[-5,1)时,两图象有5个交点,故在[1,5]上有3个交点即可,则a>1,故  解得2<a<4.故选A. 返回目录 方法总结　已知函数零点求参数的方法 1.直接法:直接利用函数零点存在定理构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式(组) 确定参数范围. 2.分离参数法:先将参数与自变量分离开来,转化成求函数的最值或值域问题. 3.数形结合法:先对解析式变形,将所求函数的零点问题转化为两个函数图象交点问题, 在同一坐标系中画出函数的图象,利用数形结合求解. 返回目录 变式训练 3.(关键元素变式)设函数f(x)= 且F(x)=f(x)+x-a有且仅有2个零点,则a的取 值范围是______________.     (-∞,1]     解析　令F(x)=0,得f(x)=-x+a,作出函数f(x)和y=-x+a的图象,如图.   由图知,当直线y=-x+a经过点A(0,1)时,两个函数图象有两个交点,此时1=-0+a,即a=1;平 移直线y=-x+a,要使两函数图象有两个交点,则a≤1.故a的取值范围是(-∞,1]. 返回目录 4.(关键元素变式)(2026届福建福州三中第五次质量检测,7)已知定义在R上的奇函 数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),当x∈[0,1]时,f(x)=2x-a,若f(x)=m|x-1|恰有六个不相等的实数根, 则实数m的取值范围为 ( ) A. ∪ 　　     B. ∪  C. ∪ 　　     D. ∪      D     返回目录 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1+x)=f(1-x),所以f(0)=0,f(x)的图象关于点(0, 0)和直线x=1对称,所以f(x)的周期为4,【若函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b,0)对称,则 函数f(x)的周期为4|b-a|(a≠b)】当x∈[0,1]时,f(x)=2x-a,则f(0)=20-a=0,解得a=1.易知y=m|x -1|的图象关于直线x=1对称,又f(x)=m|x-1|恰有六个不相等的实数根,所以f(x)=m|x-1|在x ∈[1,+∞)有三个不相等的实数根,作出f(x)的图象如图,   返回目录 当m>0时,kAC<m<kAB,则 <m< ;当m<0时,m=kAD=- .综上,m的取值范围为 ∪ .故 选D. 返回目录 $