11.1.1 空间几何体与斜二测画法 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

该高中数学课件聚焦空间几何体的抽象及斜二测画法，从生活物体（如建筑物、魔方）抽象几何体入手，衔接小学初中棱柱、棱锥等知识，通过平面与立体图形的联系搭建支架，逐步展开斜二测画法的步骤教学。 其亮点在于以“观察与抽象”培养数学眼光，通过梯形、长方体直观图绘制实例发展几何直观与空间观念，“三变三不变”总结深化数学思维，练习涵盖图形还原、面积计算等强化数学语言表达。学生能提升空间想象与规范作图能力，教师可依托系统步骤与多样化练习优化教学。

第十一章 立体几何初步 11.1.1 空间几何体与斜二测画法 《人教B版2019高中数学必修第四册》 除了长方体外，我们以前接触过的几何体还有棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等. 生活中的物体都占据着空间的一部分.如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体. 我们已经知道，三角形、长方形、梯形、圆等几何图形，它们的各部分都在同一平面内，是平面图形；而长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等几何图形，它们的各部分不都在同一平面内，是立体图形. 平面图形与立体图形是互相联系的.一方面，立体图形中有些部分可能是平面图形，如长方体的任何一个面都是长方形，圆柱与圆锥的底面都是圆，等等；另一方面，将立体图形用合适的平面图形表示出来，是人们在日常生活和生产中经常要做的事，例如拍摄照片、画出工件的三视图等. 从小学和初中的几何课上，我们就已经知道，从不同的方向观察同一个空间图形时，所看到的形状可能不一样. 立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，习惯上称为空间图形的直观图.为了使直观图具有立体感，人们经常使用斜二测画法来作直观图，下面我们结合具体实例来说明其作图过程. 如图11-1-4所示是梯形ABCD,下面我们用斜二测画法来作出这个梯形水平放置时的直观图. (1)在梯形ABCD上,以AB为x轴,A为原点,建立平面直角坐标系,如图11-1-5所示． （3）在图11-1-6中连接A′D′,B′C′.擦去作图过程中的辅助线等，最后得到的四边形A′B′C′D′就是梯形ABCD的直观图，如图11-1-7所示 画x′轴和y′轴,使它们相交于A′点，而且∠x′A′y′=45∘, 如图11-1-6所示． （2）在图11-1-6中的x＇轴上找出点B′，使得A′B′=AB. 在图11-1-5中过D点作AB的垂线,设垂足为E,连接DE.在图11-1-6中的A'B＇上找出点E′,使得A′E′=AE. 在图11-1-6中作E′D′平行于y＇轴，图11-1-6而且使E′D′=ED. 在图11-1-6中过D＇作x＇轴的平行线D′C′，使得D′C′=DC. 一般地，用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，步骤如下. （1）在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的x＇轴和y＇轴，使得它们正方向的夹角为45°（或135°)． （2）平面图形中与x轴平行（或重合）的线段画成与x＇轴平行（或重合）的线段，且长度不变. 平面图形中与y轴平行（或重合）的线段画成与y＇轴平行（或重合）的线段，且长度为原来长度的一半. （3）连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线． 由此可知，用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，关键是分别作出其中与x轴和y轴平行（或重合）的线段. 下面我们来画一个水平放置的长为4，宽为3，高为2的长方体的直观图． （1）首先，用上面的方法作出水平放置的长为4，宽为3的长方形的直观图ABCD（保留坐标轴），如图11-1-8所示． （2）如图11-1-9所示，过A作z＇轴，使之垂直于x＇轴.在z＇轴上截取. 过B,C,D分别作z＇的平行线BB'，CC',DD'，并使 BB′=CC′=DD′=2, 然后连接A′B′,B′C′,C′D′,D′A′. （3）擦去作图过程中的辅助线，并把被面遮挡住的线段AD,DC,DD＇改成虚线（或擦除）.由此得到的就是所求长方体的直观图，如图11-1-10所示． 一般地，用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下. （1）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图（保留x＇轴与y＇轴）. （2）在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴.过x＇轴与y＇轴的交点作z轴对应的z＇轴，且z＇轴垂直于x＇轴. 图形中与z轴平行（或重合）的线段画成与z＇轴平行（或重合）的线段，且长度不变. 连接有关线段. （3）擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线（或擦除）． 需要注意的是，立体几何中的直观图，不都是用斜二测画法作出的.例如，水平放置的圆，其直观图一般用“正等测画法”①画成椭圆．因此，圆柱与球的直观图分别如图11-1-11的（1）与（2）所示． 练习A ①如图所示分别为三个几何体的表面展开图，根据所给平面图形制作几何体. （1）两个四棱锥 （2）一个四棱锥 （3）正方体 练习A ②用斜二测画法分别作出水平放置的正方形与等边三角形的直观图. 练习A ③用斜二测画法作出正方体的直观图． 练习A ④用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，判断下列命题的真假. （1）三角形的直观图还是三角形； （2）平行四边形的直观图还是平行四边形； （3）正方形的直观图还是正方形； （4）菱形的直观图还是菱形． ⑤ 参考图11-1-11，作出圆锥的直观图． √ √ 非正方形的平行四边形 非菱形的平行四边形 练习B ①分别写出下列直观图所对应的几何体名称. ②用斜二测画法作出水平放置的正五边形的直观图. （1）四棱锥 （2）放倒的圆柱 （3）三棱柱 练习B ③ 如图所示ΔA'B'C＇是用斜二测画法作出的水平放置的ΔAB 的直观图，已知M为AB的中点，设M在A'B＇上对应的点为M'，在图上标出点M＇的位置，并求A′M′:M′B′的值. ④ 用斜二测画法作出水平放置的圆的直观图. 点M′的位置如图，A′M′:M′B′=1 一般地，用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，步骤如下. （1）在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的x＇轴和y＇轴，使得它们正方向的夹角为45°（或135°)． （2）平面图形中与x轴平行（或重合）的线段画成与x＇轴平行（或重合）的线段，且长度不变. 平面图形中与y轴平行（或重合）的线段画成与y＇轴平行（或重合）的线段，且长度为原来长度的一半. （3）连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线． 由此可知，用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，关键是分别作出其中与x轴和y轴平行（或重合）的线段. 小结 一般地，用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下. （1）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图（保留x＇轴与y＇轴）. （2）在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴.过x＇轴与y＇轴的交点作z轴对应的z＇轴，且z＇轴垂直于x＇轴. 图形中与z轴平行（或重合）的线段画成与z＇轴平行（或重合）的线段，且长度不变. 连接有关线段. （3）擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线（或擦除）． 小结 小结 画直观图的几点说明： 1.画水平放置的平面多边形的直观图,关键是确定多边形的顶点位置.顶点位置可以分为两类:一类是在轴上或在与轴平行的线段上;另一类是不在轴上,且不在与轴平行的线段上,遇到这类顶点一般要过此点作与轴平行的线段,将其转化到与轴平行的线段上. 2.斜二测画法的“三变”与“三不变”： (1)三变：①坐标轴的夹角改变;②与y轴平行（或重合）的线段的长度改变.③图形的形状改变. (2)三不变：①线段的平行（或重合）关系不变；②与x轴、z轴平行（或重合）的线段的长度不变；③点的相对位置不变. 小结 常见平面图形的直观图 原图 直观图的示意图 空间图形的直观图的画法 1.画空间图形的直观图,一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形,再画z轴,并确定竖直方向上的相关的点,最后连点成图便可. 2.直观图画法口诀可以总结为:“横长不变,纵长减半,竖长不变,平行关系不变”. 椭圆 平行四边形 巩固提升 1.用斜二测画法画出正六棱锥的直观图. (1)①在正六边形ABCDEF中，取对角线AD所在直线为x轴，取与AD垂直的对称轴MN为y轴，两轴相交于点O，建立直角坐标系(如图(1)所示). ②画相应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°. 以O′为A′D′及M′N′的中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴 上取 M′N′=MN以点N′为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC， 再以点M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF. ③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，则得到水平放置的正六边形ABCDEF的直观图A′B′C′D′E′F′. 巩固提升 (2)在直观图中画六棱锥的顶点.连接OP，以OP所在直线为z轴.过O′作与z轴对应的z′轴，在O′z′上取点P′，使O′P′＝OP. 连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′(如图(2)所示). (3)擦去x′轴、y′轴、z′轴，被面遮挡住的线段A′F′，E′F′，P′F′改成虚线，便得到正六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′(如图(3)所示). 巩固提升 2.关于斜二测画法，下列说法错误的是（ ） A．平行直线的直观图仍然是平行直线 B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线 C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的 D．线段的中点在直观图中仍然是中点 解析：平行直线在直观图中长度可能会变化，但平行关系不变，A正确； 平行于轴和轴的两条直线，在直观图中夹角为45o或135o，B错误； 直观图中与两条坐标轴重合的直线，还原后与平面直角坐标系中的轴重合，实际位置互相垂直，C正确； 线段的中点在直观图中依然会是该线段直观图画法中的中点，D正确. B 巩固提升 3.如图所示,△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测画法下的直观图,C′A′=2,B′D′∥y′轴,且B′D′=1.5.画出△ABC; 【思维导引】解答本题的关键是点B位置的还原. 【解析】步骤:①画直角坐标系xOy,在x轴上取OA=O′A′, 即CA=C′A′; ②在x轴上取OD=O′D′,过点D作DB∥y轴,并使DB=2D′B′. ③连接AB,BC,即得到△ABC,如图. 巩固提升 4.在用斜二测画法画水平放置的的直观图时，若的两边分别平行于轴、轴， 则在直观图中 等于( ) D A. B. C. D. 或 因为的两边分别平行于轴、轴，所以 .在直观图中，由斜二 测画法知 或 ，即 或 . 5.如图11.1.1-1所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是( ) C A. B. C. D. 直观看平面图形是梯形.又在直观图中，右边的线段与 轴平行，因此平面 图形的上、下底与右边的腰应垂直.（与轴平行线的线找好，再链接点即可） 11.1.1-1 内容补充 结论：= 推导说明 设原图形为矩形：长a（平行x轴），宽b（平行y轴），面积 S=ab； 斜二测后：长仍为a，宽变为，两轴夹角45o； 直观图（平行四边形）面积： S' = a··sin45o=ab 比值：= 常用记忆 原图面积 = 直观图面积×2； 直观图面积 = 原图面积×. 巩固提升 图11.1.1-2 6.一个梯形的直观图是一个如 图11.1.1-2所示的等腰梯形，且，， ， 则原梯形的面积为( ) C A. B. C.8 D.4 根据题意，设原梯形的面积为，在等腰梯形 中，，， ，则其高 ,故其面积 ， 又,所以 . $