不等式的性质与解法 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“不等式的性质与解法”专题，依据高考评价体系梳理了性质应用、不等式解法、恒成立问题三大考查维度，通过考点分析明确了一元二次不等式解法、利用性质求取值范围等高频考点，归纳了多选、填空、解答题等常考题型，构建完整知识体系。 课件亮点在于“知识点清单+真题变式+方法总结”的备考策略，如典例2用构造函数法比较大小培养数学思维，典例3用待定系数法求取值范围提升运算能力，易错提醒助力学生规避性质使用条件等常见错误。帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准教学，实现高效备考。

1.3 不等式的性质与解法 返回目录 知识清单 知识点1　不等式的性质 1.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔b<a 可逆 传递性 a>b,b>c⇒a>c 同向 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 可乘性 a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc c的符号 同向可加性 a>b,c>d⇒a+c>b+d 同向 同向同正 可乘性 a>b>0,c>d>0⇒ac>bd 同向 同正 返回目录 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2) 同正 可开方性 a>b>0⇒ > (n∈N,n≥2) 同正 2.不等式的倒数和分数性质 (1)倒数性质: a>b,ab>0⇒ < ;a<0<b⇒ < . (2)分数性质:若a>b>0,m>0,则  < (糖水不等式); > (b-m>0);  > ; < (b-m>0). 返回目录 知识点2　不等式的解法 1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象       ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个相异实根x1,x2(x1<x2) 有两个相等实根x1=x2=-  没有 实根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2}  x x≠-   R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 返回目录 注意　在不等式ax2+bx+c>0(a≠0)中,如果二次项系数a<0,则可先根据不等式的性质,将 其转化为正数,再对照上表求解. 2.分式不等式的解法 (1) >0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0); (2) ≥0(≤0)⇔  3.绝对值不等式的解法 |x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞);|x|<a(a>0)的解集为(-a,a). 返回目录 即练即清 1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”) (1)若a>b,则ac2>bc2. ( ) (2)设a,b∈R,且a>b,则a3>b3. ( ) (3)不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)的解集为空集,则函数y=ax2+bx+c无零点. ( ) (4)若a<b<0,则 <1. ( )     ✕         √         √         ✕     返回目录 2.(人教A版必修第一册P55习题T1改编)不等式-x2+2x-4>0的解集为 ( ) A.R　　     B.⌀ C.{x|x>0,x∈R}　　    D.{x|x<0,x∈R}     B     返回目录 3.(易错题)已知a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],则4a-2b的取值范围是 ( ) A.[1,5]　　    B.[2,7]　　    C.[1,6]　　    D.[0,9]     B     返回目录 4.(人教A版必修第一册P43习题T3改编)已知a,b∈(0,1),记M=ab,N=a+b-1,则M与N的大 小关系是___________.     M>N     返回目录 考点清单 考点1　不等式的性质 角度1　不等式的基本性质 典例1    (多选)(2025届山东临沂二模,9)已知a>b>c,则下列不等式正确的是 ( ) A. < 　　    B.ab2>cb2 C.a+b>c　　     D.a2+c2>b2     AD     返回目录 解析　对于A【作差法】, - = = ,因为a>b>c,所以c-b<0, a-c>0,a-b>0,即 <0,所以 < ,故A正确; 对于B,ab2-cb2=b2(a-c),当b=0时不等式不成立,故B错误; 对于C【举反例】,取a=-1,b=-2,c=-3,满足a>b>c,但a+b=c,故C错误; 对于D【分情况讨论】,若a>b=0>c,则a2+c2>b2=0显然成立, 若a>b>0>c,则a2+c2>a2>b2成立, 若a>0>b>c,则a2+c2>c2>b2成立. 综上,a2+c2>b2.故D正确.故选AD. 返回目录 易错提醒    1.a>b⇒ac>bc或a<b⇒ac<bc,对于c≤0不成立; 2.a>b⇒ < 或a<b⇒ > ,对于ab>0才成立; 3.a>b⇒ > ,对于正数a,b才成立; 4. >1⇔a>b,对于正数a,b才成立. 在使用不等式的性质时,一定要注意它们成立的条件. 返回目录 变式训练 1.(情境模型变式)(2025届广东江门调研,3)下列命题为真命题的是 ( ) A.若a>b>c>0,则 <  B.若a>b>0,c<0,则 <  C.若a>b>0,则ac2>bc2 D.若a>b,则a> >b     D     返回目录 解析　对于A, - = = ,因为a>b>c>0,所以a-b>0,b(b+c)>0,所以  - >0,即 > ,故A错误;【根据不等式的性质用作差法比较大小】 对于B,因为a>b>0,所以 < ,又c<0,所以 > ,故B错误; 对于C,当c=0时,ac2=bc2=0,故C错误; 对于D,若a>b,则2a>a+b,a+b>2b,所以a> >b,故D正确.故选D. 返回目录 角度2　两个数(式)的大小比较 典例2    (多选)(2025届湖北考前压轴卷(二),10)若0<a<b<1,则 ( ) A. > 　　     B.a+ln b>b+ln a C.2a+2b>2a+b　　    D.a·sin b>b·sin a     BC     返回目录 解析　对于A【作差法】,因为0<a<b<1,所以b-a>0,b>0,b-1<0, 所以 - = = <0,所以 < ,A错误; 对于B【构造函数法】,记f(x)=x-ln x,0<x<1,则f'(x)=1- = <0, 所以f(x)在(0,1)上单调递减, 又0<a<b<1,所以f(a)>f(b),即a-ln a>b-ln b,即a+ln b>b+ln a,B正确; 对于C【作商法】,因为0<a<b<1,所以1<2a<2b<2,1<2a+b<4,所以 = + ≥2 , 因为a≠b,所以等号不成立,则 >1,所以2a+2b>2a+b,C正确; 返回目录 对于D【构造函数法】,记g(x)= ,0<x<1,则g'(x)= , 记h(x)=xcos x-sin x,0<x<1,则sin x>0,故h'(x)=-xsin x<0, 所以h(x)在(0,1)上单调递减,所以h(x)<h(0)=0,则g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)上单调递减,又0 <a<b<1,所以g(a)>g(b),即 > ,即a·sin b<b·sin a,D错误.故选BC. 返回目录 方法总结　比较两个数(式)大小的方法 1.作差法,步骤:作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论. 注意:含根号的式子作差时一般先乘方,再作差. 2.作商法,步骤:作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论. 3.构造函数法:构造函数,利用函数单调性比较大小. 4.赋值法和排除法:可以多次取特殊值,根据特殊值比较大小,从而得出结论. 返回目录 变式训练 2.(关键元素变式)(多选)(2025届河南许平汝名校三模,9)已知log2a>log2b,c为实数,则 下列不等式正确的是 ( ) A. > 　　     B.ac2>bc2 C. + >2　　    D.a-sin a<b-sin b     AC     返回目录 解析　由题意可得a>b>0.A项,由y= 单调递增,知 > ,故A正确; B项,c=0时B不正确; C项,由a>0,b>0,得 + ≥2 =2,当且仅当a=b时等号成立,但a>b>0,∴等号不成立,故 C正确; D项,构造函数y=x-sin x,则y'=1-cos x≥0,∴y=x-sin x单调递增,又a>b>0,∴a-sin a>b-sin b, 故D不正确. 故选AC. 返回目录 角度3　利用不等式的性质求取值范围 典例3    (2025届安徽淮南第二中学第一次考试,4)已知0<x+y<5,2<x-y<3,则2x-3y的取值 范围是 ( ) A. 　　    B.  C. 　　     D.      C     返回目录 解析　设2x-3y=m(x+y)+n(x-y),则有2x-3y=(m+n)x+(m-n)y, 【利用整体思想来表示所求式子】 即 解得  由0<x+y<5,2<x-y<3,得- <- (x+y)<0,5< (x-y)< ,两同向不等式相加得- +5<- (x+y)+  (x-y)<0+ ,化简得 <2x-3y< ,故选C. 返回目录 方法总结　利用不等式的性质求取值范围的方法 由a<f(x,y)<b,c<g(x,y)<d,求F(x,y)的取值范围,可利用待定系数法解决,即设F(x,y)=mf(x,y) +ng(x,y)(或其他形式),通过恒等变形求得m,n的值,再利用不等式的同向可加性和可乘 性求得F(x,y)的取值范围. 返回目录 变式训练 3.(关键元素变式)设x,y为实数,满足3≤xy2≤8,4≤ ≤9,则 的最大值为 ( ) A.27　　    B.24　　     C.12　　    D.32     A     解析　易知 = · ,由3≤xy2≤8,得 ≤ ≤ ,又4≤ ≤9,所以16≤ ≤81,所以  ×16≤ · ≤ ×81,即2≤ ≤27,所以 的最大值为27.故选A. 返回目录 考点2　不等式的解法 角度1　一元二次不等式的解法 典例4　不等式-2x2+3x+7<0的解集为__________________________.      -∞,   ∪   ,+∞      解析　由题意可得2x2-3x-7>0, 令2x2-3x-7=0, 得x= 或x= , 所以不等式的解集为 -∞,  ∪  ,+∞ . 返回目录 典例5    (2026届江西赣州中学开学考,16)已知二次函数f(x)=ax2-4x+3. (1)若f(x)<0的解集为{x|1<x<b},分别求a,b的值; (2)解关于x的不等式f(x)>2ax-2x-1. 解析    (1)由f(x)<0的解集为{x|1<x<b},得1,b是方程f(x)=0的根,且a>0, 由f(1)=a-4+3=0,解得a=1,由1+b= =4【根与系数的关系】,解得b=3, 所以a=1,b=3. (2)由f(x)=ax2-4x+3是二次函数知a≠0.将不等式f(x)>2ax-2x-1整理得ax2-(2+2a)x+4>0,即 (ax-2)(x-2)>0, 当a>0时,不等式等价于 (x-2)>0,【注意根的大小,讨论 与2的大小关系】 返回目录 当 >2,即0<a<1时,解得x<2或x> ; 当 =2,即a=1时,解得x≠2; 当 <2,即a>1时,解得x< 或x>2; 当a<0时,不等式等价于 (x-2)<0,解得 <x<2, 所以当0<a<1时,原不等式的解集为(-∞,2)∪ ; 当a=1时,原不等式的解集为(-∞,2)∪(2,+∞); 当a>1时,原不等式的解集为 ∪(2,+∞); 当a<0时,原不等式的解集为 . 返回目录 解题技巧　解二次项系数含参数的一元二次不等式的步骤   返回目录 变式训练 4.(情境模型变式)已知关于x的不等式组 的整数解的集合为 {-2},则实数k的取值范围是______________.     [-3,2)     返回目录 解析　第一步:解不含参数的一元二次不等式x2-x-2>0. 由x2-x-2>0,解得x<-1或x>2. 第二步:解含参数的一元二次不等式2x2+(2k+5)x+5k<0,根据根的大小对k进行分类讨论. 2x2+(2k+5)x+5k<0,即(2x+5)(x+k)<0. (1)当k= 时,不等式为2 <0,所以不等式无解,不符合题意,故舍去; (2)当k> 时,由(2x+5)(x+k)<0得-k<x<- , 故不等式的解集为 , 返回目录 因为- <-2,所以不符合不等式组的整数解的集合为{-2},故舍去; (3)当k< 时,由(2x+5)(x+k)<0得- <x<-k, 若不等式组的整数解的集合为{-2}, 则由数轴可知-2<-k≤3,解得-3≤k<2.   综上,实数k的取值范围是[-3,2). 返回目录 角度2　一元二次不等式恒成立问题 典例6　(在R上恒成立)若关于x的不等式mx2-mx+1>0对任意的x∈R恒成立,则m的取 值范围为_____________.     [0,4)     解析　当m=0时,不等式为1>0,恒成立,故m=0满足题意; 当m≠0时, 解得0<m<4. 综上,m的取值范围是[0,4). 返回目录 解题技巧　恒成立问题常见类型及解题策略 (1)在R上恒成立, ①不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔ 或  ②不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔ 或  (2)在给定区间上恒成立,其解题策略为:要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用 分离参数的方法求解) (3)给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略:解决恒成立问题一定要清 返回目录 楚谁是主元,谁是参数,一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参 数,即把变元与参数交换位置,构造以参数为变量的函数,根据参数的取值范围列式求 解. 返回目录 变式训练 5.(在给定区间上恒成立)(2025届辽宁鞍山二模)若对任意的x∈(0,+∞),x2-mx+1>0恒 成立,则m的取值范围是 ( ) A.(-2,2)　　     B.(2,+∞) C.(-∞,2)　　    D.(-∞,2]     C     解析    ∀x∈(0,+∞),x2-mx+1>0⇔m<x+ ,而当x>0时,x+ ≥2 =2,当且仅当x= ,即x= 1时取等号,则m<2,所以m的取值范围是(-∞,2).故选C. 返回目录 6.(给定参数范围)当0≤p≤4时,不等式x2+px>4x+p-3恒成立,则x的取值范围是( ) A.[-1,3]　　     B.(-∞,-1] C.[3,+∞)　　     D.(-∞,-1)∪(3,+∞)     D 解析　主参换位法　不等式x2+px>4x+p-3可化为(x-1)p+x2-4x+3>0, 令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3(0≤p≤4), 则  ∴x<-1或x>3. 返回目录 $