精品解析：天津新华中学2025-2026学年高三下学期统练7数学试题

2025-2026学年第二学期高三统练7 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： ·如果事件，互斥，那么． ·如果事件，相互独立，那么． ·球的体积公式，其中表示球的半径． ·圆锥的体积公式，其中表示圆锥的底面面积，表示圆锥的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题知，解得，故， ，解得，故， ． 2. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】又函数单调性得到充分性成立，举出反例可得必要性不成立. 【详解】由题意得，，， 而在上单调递增，故， 而在上单调递减，故，充分性成立， ，不妨设，满足要求， 但此时，不满足，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 3. 观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为，图2两个变量的相关关系为，则判断一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可得，且，逐项判断. 【详解】观察图像，可以发现图1整体从左往右递减，图2整体从左往右递增，所以， 同时图2整体排列比图1更为紧密，所以， ，A正确； 因为，所以 ， ， ，故BCD都错误. 4. 下列函数中，是奇函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的单调性，即可判断ABC的正误；结合分段函数的单调性以及奇偶性的判断，可判断D. 【详解】对于A，由于在R上单调递减，故在R上单调递减，A错误； 对于B，， 由于在上单调递增，故在上单调递增， 则在上单调递增， 故在上单调递减，B错误； 对于C，由可得， 当时，，此时在上单调递减，C错误； 对于D，令，当时，，在上单调递增， 再判断函数的奇偶性： 当时，令，当时，， 则时，，则； 时，，则； 即可知为奇函数，D正确. 5. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，故， ， ，即， ． 6. 已知数列的前项和为，，则的前7项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知， 当时，， 当时，， 时，， ， ，故是首项为3，公比为2的等比数列， 的前7项和为：． 7. 如图，向一个高为3且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为1时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出未知数，根据棱台体积和棱锥体积公式得到方程，求出水面高度 【详解】设正四棱锥的下底面边长为，因注水四棱台部分的高为，四棱锥的高为， 设注水四棱台的上底面边长为，则，解得， 注水四棱台的上底面的面积为， 注水四棱台的下底面的面积为， 则注水四棱台的体积为， 将此四棱锥容器倒置时，水的体积不变而且形成一个小四棱锥， 设水面高度为，底面边长为， 则，解得，且底面面积为， 设此四棱锥容器倒置后注水四棱锥的体积为，则， 又，则，解得，即， 即此四棱锥容器倒置后，水面高度为. 8. 已知函数，的图象过点，且在上单调，的图象向左平移个单位后得到的图象与原图象重合，若存在两个不相等的实数，满足，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图像过点可得，由的图象向左平移个单位后得到的图象与原图象重合，可知，结合在上单调，从而得到，由此得到的解析式，结合图像，即可得到答案． 【详解】因为的图象过点，则，又，所以.一方面，的图象向左平移单位后得到的图象与原函数图象重合，则，即，化简可知．另一方面，因为在上单调，所以，即，化简可知. 综合两方面可知．则函数的解析式为， 结合函数图形，因为，当时，， 结合图象可知 则 ，故选A． 【点睛】本题主要考查正弦函数解析式的求法，以及函数图像的应用，考查学生的转化能力，属于中档题． 9. 已知双曲线的左、右两个焦点分别为，过的直线与双曲线C的左、右两支分别交于两点，且满足，（为坐标原点），，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设，在中，根据双曲线定义及余弦定理可得，再由，得，根据代入计算即可求解. 【详解】设， 则， 在中，， 所以，化简可得， 所以， 因为，所以， ， 因为， 所以，化简可得， 所以双曲线C的离心率. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10. 已知，则 _____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的除法运算结合共轭复数的定义即可得解. 【详解】， 所以. 故答案为：. 11. 二项式的展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理得到展开式通项公式，得到，得到答案. 【详解】的展开式通项公式为， 令，解得， 故. 故答案为：. 12. 已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆心到直线：距离为，且圆心的纵坐标大于3，则直线被圆截得的弦长为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题知设圆心为 且，利用圆心到直线：距离为，求得，所以再利用弦长公式求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设圆心为 ，且， 所以， 因为圆心到直线：距离为， 所以， 因为，所以.所以， 所以直线被圆截得的弦长为. 故答案为：. 13. 天津城市街巷日常出行，共享单车已是随处可见的生活景致．早先市面多见蓝、黄、绿三种素净配色，而今又添粉色、橙色、紫色雅致新色，点缀津城街巷风貌．甲、乙、丙三名学生闲暇出行，在以上6种颜色中各自任选一种颜色，车辆配色充足． （1）已知三人所选单车中有粉色，则三人所选颜色互不相同的概率为________； （2）若限定三人所选单车颜色互不重复，设三人选中暖色系（黄色、粉色、橙色、紫色）单车的个数为随机变量，求数学期望________． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算可填第一空；根据超几何分布的期望公式计算可填第二空. 【详解】设事件：三人所选颜色互不相同；事件：三人所选单车中有粉色，， 每人从6种颜色中任选一种，总基本事件数：， 事件的对立事件：三人都不选粉色，每人有5种选择：， 则 ， 事件：所选单车包含粉色，且三人颜色互不相同， 需从余下5种颜色中选取2种，再对3种颜色进行全排列： ， 因此：，即三人所选颜色互不相同的概率为； 以上六种颜色中，暖色系共4种，冷色系共2种，从6种颜色中不放回选取3种， 该随机变量服从超几何分布，其中 ． 则． 14. 已知中，，则__________；若点都在圆上，且，则与夹角的余弦值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据数量积的运算律推导出，再由计算可得，取的中点，连接、，则，由数量积的运算律可得，最后由夹角公式计算可得. 【详解】因为，所以， 即， 即， 所以 ， 取的中点，连接、，则，， 所以， 则 ， 所以， 设与夹角为，则， 即与夹角的余弦值为. 故答案为：； 15. 设，函数，若恰有两个不同零点，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】函数恰有两个不同零点等价于方程有两个不同的解，再去掉绝对值号分别求解，并对作、、三种情况讨论，最后得到满足条件的的取值范围. 【详解】令，得， 所以或 情况1： 化简得：（，时此方程无解）； 情况2： 化简得：，两边乘得二次方程：， 判别式，恒有两个不同实根， 由韦达定理，两根之积，故两根一正一负， 有效零点需满足，我们分别分析、、三种情况： (1) ， 情况1的根 ，不满足，无效； 情况2的负根，无效；正根，显然， 故，有效，结论：仅 1 个有效零点，不符合题意； (2) 情况 1 无解； 情况 2 方程变为，正根（负根舍去），仅 1 个有效零点，不符合题意； (3) 情况 1 的解，满足，有效； 情况 2 的正根，必然满足，有效；负根，可证：， 右边，平方得，恒成立，故负根，无效； 验证两个有效零点是否重合：假设，化简得，无解，故两个零点不同， 结论：恰有 2 个不同有效零点，符合题意. 综上所述，的取值范围为. 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知的面积为，，. （1）求和的值； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据同角三角函数关系求出，再应用面积公式得出，最后应用余弦定理求出边长结合正弦定理求出角的正弦即可； （2）先应用二倍角公式得出，再运用两角和的余弦公式计算求值. 【小问1详解】 在中，由，故A为钝角，， 的面积为，可得，即，则， 联立，解得，， 由，可得， 由正弦定理得，即，解得； 【小问2详解】 且为锐角，， ，， . 17. 如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 连接交于，连接. 因为四边形为正方形，、为对角线且交于点，所以为中点. 又为的中点，所以为的中位线，所以. 又平面，平面，所以平面. （2） （3） 假设棱上存在一点，使得点到平面的距离为，设. 因为，，所以，则 . 又，. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，，所以. 则点到平面的距离为， 整理得，即，解得或（舍去）. 所以棱上存在一点，使得点到平面的距离为，此时. 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求解即可. （3）设，求出及平面的法向量，利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，中点，连接、. 因为为等边三角形，所以，，. 因为四边形为正方形，、为中点，所以，. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 又平面，所以. 因此以点为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，. 因为为中点，所以， 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以. 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 略 18. 已知椭圆：（）的长轴长为4，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于两点（不与左右顶点重合），点在轴正半轴上，直线交轴于点P，直线交轴于点，问是否存在，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，当时，有定值． 【解析】 【分析】（1）根据长轴长为，离心率为，可得，得到标准方程． （2）根据斜率存在，设直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示出，，表达出直线TM和直线TN，进而求出为定值；斜率不存在，不妨设，，求出为定值. 【小问1详解】 因为椭圆的长轴长为，离心率为， 所以，． 所以，．所以． 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 若直线的斜率存在，设直线的方程为，． 联立方程组， 消去，化简得． 则，即, 设，， 所以，． 所以直线TM的方程为，直线的方程为． 所以，． 所以，， 所以 ． 所以当时，为定值， 即（负值舍）时，有定值． 当时，若直线l斜率不存在， 不妨设，， 所以，． 所以． 综上，当时，有定值． 【点睛】方法点睛：根据直线与圆锥曲线的位置关系求解存在性的定值问题，分类讨论，求解计算，计算量偏大. 19. 已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，． （1）求数列的通项公式及前项和． （2）天津市某高中依托社区新时代文明实践站，开展“党建引领文明实践，青春服务津城”主题实践活动，引导学生在服务社区中增强责任意识和文明素养．学校安排4个学生实践小组参加本次活动．本次活动共持续8天，依次记为第1天、第2天，…，第8天．各小组参加活动的时间安排如下： 第1组参加第1天至第5天的活动，其余天数不参加活动； 第2组参加第2天至第6天的活动，其余天数不参加活动； 第3组参加第3天至第7天的活动，其余天数不参加活动； 第4组参加第4天至第8天的活动，其余天数不参加活动． 设第天正在参加活动的小组数为，请写出，，…，． （3）设为正整数，对正整数，其中，定义为满足下列条件的正整数的个数： （ⅰ）；（ⅱ）． 求的表达式，并求． 【答案】（1）， （2）；；； ；；；； （3）， 【解析】 【分析】（1）利用条件求出公比，可得通项公式和求和公式； （2）根据题意利用列举法可求答案； （3）分情况讨论，当时，，当时， 然后利用分组求和法可得答案. 【小问1详解】 设等比数列 的公比为 . 因为数列各项均为正数，且，则，， 因为，所以整理得 因为 ，所以，即 【小问2详解】 第1天：第1组参加活动，共1个小组，即； 第2天：第1组、第2组参加活动，共2个小组，即； 第3天：第1组、第2组、第3组参加活动，共3个小组，即； 第4天：第1组、第2组、第3组、第4组参加活动，共4个小组，即； 第5天：第1组、第2组、第3组、第4组参加活动，共4个小组，即； 第6天：第2组、第3组、第4组参加活动，共3个小组，即； 第7天：第3组、第4组参加活动，共2个小组，即； 第8天：第4组参加活动，共1个小组，即. 【小问3详解】 由第（1）问可知：， 所以 因此第三问中，且 是满足，的正整数 的个数. 的取值范围为 分两种情况讨论.当时，有， 因此 这时共有个正整数，所以； 当时，有所以且 因此 这时正整数 的个数为化简得 所以 下面求和： 由上面的表达式可知： 所以 即 因此，即. 20. 已知函数（）． （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若函数有两个极值点、，且， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，求得，，写出切线方程； （2）（i），利用导数法得到在单调递增，在单调递减，从而由求解；（ii）由，得到，再根据，得到，然后根据，得到，再论证，从而得到，再结合证明. 【小问1详解】 ，所以， 因此，，， 所以，整理得； 【小问2详解】 （i），令， 则，所以，时，，所以在单调递增； 时，，所以在单调递减， 因此，解得， 又因为，所以存在唯一使得， 又因为，令，， 所以在上单调递增， 因此， 因此在存在唯一，使得. 因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 、是函数的两个极值点，所以. （ii）因为，所以， 又因为，所以， 根据已知，所以， 下面证，只需证， 即证， 令，，令，， 所以在单调递增，所以， 因此成立， 所以，即， 又因为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高三统练7 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： ·如果事件，互斥，那么． ·如果事件，相互独立，那么． ·球的体积公式，其中表示球的半径． ·圆锥的体积公式，其中表示圆锥的底面面积，表示圆锥的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为，图2两个变量的相关关系为，则判断一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，是奇函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前项和为，，则的前7项和为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，向一个高为3且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为1时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 已知函数，的图象过点，且在上单调，的图象向左平移个单位后得到的图象与原图象重合，若存在两个不相等的实数，满足，则 A. B. C. D. 9. 已知双曲线的左、右两个焦点分别为，过的直线与双曲线C的左、右两支分别交于两点，且满足，（为坐标原点），，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10. 已知，则 _____. 11. 二项式的展开式中的系数为__________. 12. 已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆心到直线：距离为，且圆心的纵坐标大于3，则直线被圆截得的弦长为______. 13. 天津城市街巷日常出行，共享单车已是随处可见的生活景致．早先市面多见蓝、黄、绿三种素净配色，而今又添粉色、橙色、紫色雅致新色，点缀津城街巷风貌．甲、乙、丙三名学生闲暇出行，在以上6种颜色中各自任选一种颜色，车辆配色充足． （1）已知三人所选单车中有粉色，则三人所选颜色互不相同的概率为________； （2）若限定三人所选单车颜色互不重复，设三人选中暖色系（黄色、粉色、橙色、紫色）单车的个数为随机变量，求数学期望________． 14. 已知中，，则__________；若点都在圆上，且，则与夹角的余弦值为__________. 15. 设，函数，若恰有两个不同零点，则的取值范围为__________． 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知的面积为，，. （1）求和的值； （2）求的值. 17. 如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 18. 已知椭圆：（）的长轴长为4，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于两点（不与左右顶点重合），点在轴正半轴上，直线交轴于点P，直线交轴于点，问是否存在，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由． 19. 已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，． （1）求数列的通项公式及前项和． （2）天津市某高中依托社区新时代文明实践站，开展“党建引领文明实践，青春服务津城”主题实践活动，引导学生在服务社区中增强责任意识和文明素养．学校安排4个学生实践小组参加本次活动．本次活动共持续8天，依次记为第1天、第2天，…，第8天．各小组参加活动的时间安排如下： 第1组参加第1天至第5天的活动，其余天数不参加活动； 第2组参加第2天至第6天的活动，其余天数不参加活动； 第3组参加第3天至第7天的活动，其余天数不参加活动； 第4组参加第4天至第8天的活动，其余天数不参加活动． 设第天正在参加活动的小组数为，请写出，，…，． （3）设为正整数，对正整数，其中，定义为满足下列条件的正整数的个数： （ⅰ）；（ⅱ）． 求的表达式，并求． 20. 已知函数（）． （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若函数有两个极值点、，且， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $