2026届高考数学三轮冲刺高频错题过关练：子集、全集、补集

**基本信息** 聚焦集合核心概念与高频易错点，通过分类讨论、数学归纳等方法系统突破子集关系、新定义运算等高考重点，构建“概念辨析-性质应用-综合拓展”的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题（如第9题空集判断）|元素特性分析、集合相等性质|从元素与集合关系到空集、全集概念生成| |子集关系|4题（如第4题B⊆A）|分类讨论（空集/非空集）、端点值验证|子集定义→包含关系判定→参数范围求解| |新定义与运算|8题（如第1题有序子集对、第14题特征值）|枚举法、数学归纳法、映射逆推|集合基本运算→新定义拓展→跨知识综合应用|

2026届高考数学三轮冲刺高频错题过关练： 子集、全集、补集 一．选择题（共10小题） 1．给定全集∪，若非空集合A、B满足A⊆U，B⊆U且集合A中的最大元素小于B中的最小元素（A，B）为U的一个有序子集对，若U＝{1，2，3，则U的有序子集对的个数为（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 2．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y），y∈A，x+y∈A}（　　） A．4 B．7 C．8 D．16 3．已知集合A＝{x|≤2}，B＝{x|a﹣2＜x＜2a+1}，则实数a的取值范围是（　　） A．（） B．（] C．[] D．[，1） 4．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A（　　） A．[﹣3，3] B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞） D．（﹣∞，3] 5．在映射f：A→B中，A＝B＝{（x，y）|x，且f：（x，y）→（x﹣y，x+y），则与B中的元素（﹣1，2）（　　） A． B．（﹣3，1） C．（3，﹣1） D． 6．已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}；②b＝2；③c≠0，则100a+10b+c＝（　　） A．12 B．21 C．102 D．201 7．已知集合，则集合A中的元素个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，记集合P＝A∪B，Q＝A∩B，则（　　） A．1∈P B．3∉P C．5∈Q D．2∉Q 9．下列集合中为空集的是（　　） A．{x∈N|x2≤0} B．{x∈R|x2﹣1＝0} C．{x∈R|x2+x+1＝0} D．{0} 10．集合M＝{x|x2﹣x＜0}，N＝{x|2x2﹣ax﹣1＜0}，M⊆N，则实数a的范围（　　） A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．（0，1） D．（﹣1，0） 二．填空题（共5小题） 11．有限集S的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如{2}的“积数”为2，{2，的“积数”为，则数集　 　． 12．已知集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax＝1}，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为　 　． 13．含有三个实数的集合既可表示成{a，，1}，又可表示成{a2，a+b，0}，则a2019+b2020＝　 　． 14．对于给定的非空数集，其最大元素最小元素的和称为该集合的“特征值”，A1，A2，A3，A4，A5都含有20个元素，且A1∪A2∪A3∪A4∪A5＝{x∈N*|x≤100}，则这A1，A2，A3，A4，A5的“特征值”之和的最小值为　 　． 15．设集合{x|x＝，1≤a≤b≤2}中的最大、最小元素分别为M、m，则M+m的值是　 　，当x取最小元素m时a+b的值是　 　． 三．解答题（共5小题） 16．已知集合A＝{x|1＜＜32}，B＝{x|log2（x+3）＜3}． （1）求（∁RA）∩B； （2）若（a，a+2）⊆B，求a的取值范围． 17．已知a、b为实常数，集合A＝{x|x2﹣x＝0}，B＝{x|x2+ax+b＝0}，若B≠∅且B⊆A，求实数a、b的值． 18．已知集合P＝{0，x，y}，Q＝{2x，0，y2}，且P＝Q，求x 19．设n是不小于3的正整数，集合Sn＝{（a1，a2，…，an）|ai∈{0，1}，i＝1，2，…，对于集合Sn中任意两个元素A＝（a1，a2，…，an），B＝（b1，b2，…，bn）． 定义1：A•B＝n﹣（|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|an﹣bn|）． 定义2：若A•B＝0，则称A＝（a1，a2，…，an），B＝（b1，b2，…，bn）互为相反元素，记作，或． （Ⅰ）若n＝3，A＝（0，1，0），B＝（1，1，0），，以及A•B的值； （Ⅱ）若A，B∈Sn，证明：； （Ⅲ）设k是小于n的正奇数，至少含有两个元素的集合M⊆Sn，且对于集合M中任意两个不相同的元素A＝（a1，a2，…，an），B＝（b1，b2，…，bn），都有A•B＝n﹣k，试求集合M中元素个数的所有可能值． 20．已知集合A＝{x|ax2﹣4x+4＝0，a∈R}至多有一个真子集，求a的取值集合． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．给定全集∪，若非空集合A、B满足A⊆U，B⊆U且集合A中的最大元素小于B中的最小元素（A，B）为U的一个有序子集对，若U＝{1，2，3，则U的有序子集对的个数为（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 【分析】将A的所有的可能的元素全部列出，分别求出相对应的B的集合，再相加即可得出答案． 【解答】解：A＝{1}时，B的个数是++， A＝{2}时，B的个数是+， A＝{3}时，B的个数是1， A＝{6，2}时+＝6， A＝{1，3}时， A＝{3，3}时， A＝{1，7，3}时， ∴U的有序子集对的个数为：17个， 故选：B． 2．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y），y∈A，x+y∈A}（　　） A．4 B．7 C．8 D．16 【分析】先求出B＝{（1，1），（1，2），（2，1）}，由此能求出B的子集个数． 【解答】解：∵集合A＝{1，2，5}，y）为坐标的点集合B＝{（x，y∈A， ∴B＝{（1，1），6），1）}， ∴B的子集个数为：28＝8个． 故选：C． 3．已知集合A＝{x|≤2}，B＝{x|a﹣2＜x＜2a+1}，则实数a的取值范围是（　　） A．（） B．（] C．[] D．[，1） 【分析】求解A集合，根据集合的关系A⊆B，则有B集合包含A集合中所有元素．由数形结合法则可得答案． 【解答】解：已知集合A＝{x|≤8}， B＝{x|a﹣2＜x＜2a+3}， 若A⊆B，则有B集合包含A集合中所有元素． 有数形结合法则：a﹣2≤﹣1，且8a+1＞2； 解得：＜a≤1； 则实数a的取值范围是：＜a≤1； 故选：B． 4．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A（　　） A．[﹣3，3] B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞） D．（﹣∞，3] 【分析】运用分类讨论的思想和子集的概念可得结果． 【解答】解：根据题意得，①B＝∅时 ∴m＜2； ②B≠∅时，，解得2≤m≤3 综上：m≤8． 故选：D． 5．在映射f：A→B中，A＝B＝{（x，y）|x，且f：（x，y）→（x﹣y，x+y），则与B中的元素（﹣1，2）（　　） A． B．（﹣3，1） C．（3，﹣1） D． 【分析】设与B中的元素（﹣1，2）对应的A中的元素为（x，y），则，由此能求出与B中的元素（﹣1，2）对应的A中的元素． 【解答】解：在映射f：A→B中，A＝B＝{（x，y∈R}，y）→（x﹣y， 设与B中的元素（﹣1，2）对应的A中的元素为（x， 则，解得x＝， ∴与B中的元素（﹣8，2）对应的A中的元素为（﹣，）． 故选：D． 6．已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}；②b＝2；③c≠0，则100a+10b+c＝（　　） A．12 B．21 C．102 D．201 【分析】根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a、b、c的值后代入式子求值． 【解答】解：由{a，b，c}＝{0，1，a、b、c的取值有以下情况： 当a＝7时，b＝1、c＝1； 当a＝7时，b＝0、c＝0； 当a＝3时，b＝1，此时不满足条件； 当a＝2时，b＝3，此时满足条件； 综上得，a＝2、c＝1， 故选：D． 7．已知集合，则集合A中的元素个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据集合与元素的关系，确定出集合A的元素，得到答案． 【解答】解：已知集合， 所以|4﹣x|≤3，﹣1≤x≤4， 所以x＝0，1，2，3，4，8， 当x＝1，3，6时，， 故集合A的元素有4个， 故选：B． 8．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，记集合P＝A∪B，Q＝A∩B，则（　　） A．1∈P B．3∉P C．5∈Q D．2∉Q 【分析】由集合的运算求出P、Q，再根据元素与集合的关系进行判断． 【解答】解：由题意，P＝A∪B＝{1，2，4，4，Q＝A∩B＝{2， 故8∈P，3∈P，2∈Q， 故选：A． 9．下列集合中为空集的是（　　） A．{x∈N|x2≤0} B．{x∈R|x2﹣1＝0} C．{x∈R|x2+x+1＝0} D．{0} 【分析】求解不等式或方程，判断空集即可． 【解答】解：{x∈N|x2≤0}＝{4}，不是空集； {x∈R|x2﹣1＝4}＝{﹣1，1}； {x∈R|x8+x+1＝0}，因为方程x8+x+1＝0无实数解，所以集合是空集； {6}显然不是空集． 故选：C． 10．集合M＝{x|x2﹣x＜0}，N＝{x|2x2﹣ax﹣1＜0}，M⊆N，则实数a的范围（　　） A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．（0，1） D．（﹣1，0） 【分析】本题考查集合基本运算及含参不等式的求解方法，属于中档题 【解答】解：M＝（0，1）7﹣ax﹣1，要使M⊆N， 所以2﹣a﹣2≤0，因此a≥1， 故选：B． 二．填空题（共5小题） 11．有限集S的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如{2}的“积数”为2，{2，的“积数”为，则数集　1010　． 【分析】先运用数学归纳法证明：对于有限非空数集A＝{a1，a2，a3，…，an}，“积数”的和为Sn＝（1+a1）（1+a2）…（1+an）﹣1．计算即可得到所求和． 【解答】解：先证明一个结论：对于有限非空数集A＝{a1，a2，a7，…，an}，“积数”的和为Sn＝（1+a1）（6+a2）…（1+an）﹣3． 运用数学归纳法证明：①当n＝1时，Sn＝1+a2﹣1＝a1＝S6，成立； ②假设n＝k（k≥1）时，Sk＝（1+a6）（1+a2）…（6+ak）﹣1， 当n＝k+1时，Sk+7＝Sk+ak+1+Sk•ak+1＝Sk+（Sk+5）ak+1＝（1+a4）（1+a2）…（2+ak）﹣1+（1+a3）（1+a2）…（5+ak）ak+1， ＝（1+a2）（1+a2）…（2+ak）（1+ak+1）﹣7，成立． 综上可得，∀n∈N*，Sn＝（1+a1）（3+a2）…（1+an）﹣5． 则数集的所有非空子集的“积数”的和为（8+）（1+）﹣6 ＝×××…×﹣1＝1010． 12．已知集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax＝1}，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为　　． 【分析】根据B⊆A即可讨论a：a＝0时，B⊆A成立；a≠0时，或，解出a即可，然后可得出实数a的取值的集合． 【解答】解：∵B⊆A， ∴①a＝0时，B＝∅； ②a≠0时，，∴或，解得， 综上，由实数a的所有可能的取值组成的集合为． 故答案为：． 13．含有三个实数的集合既可表示成{a，，1}，又可表示成{a2，a+b，0}，则a2019+b2020＝　﹣1　． 【分析】根据题意即可得出，，从而得出，并且a≠1，从而解出a＝﹣1，b＝0，这样即可求得答案为﹣1． 【解答】解：据题意，， ∴，且a≠1， ∴解得a＝﹣1，b＝5， ∴a2019+b2020＝﹣1． 故答案为：﹣1． 14．对于给定的非空数集，其最大元素最小元素的和称为该集合的“特征值”，A1，A2，A3，A4，A5都含有20个元素，且A1∪A2∪A3∪A4∪A5＝{x∈N*|x≤100}，则这A1，A2，A3，A4，A5的“特征值”之和的最小值为　325　． 【分析】判断集合的元素个数中的最小值与最大值的可能情况，然后按照定义求解即可． 【解答】解：A1∪A2∪A3∪A4∪A5＝{x∈N*|x≤100}， 可得所有元素是：8，2，3，7，…，100． A1，A2，A5，A4，A5都含有20个元素， 可知：最小的7个数分别为：1，2，8，4，5． 100必是一个集合的最大元素，含有100集合中的元素，83，…，99，4，3，4，5中的一个． 这样特征值会比较小，则另一个集合的最大值为：81． 类比可知：5个最大值为：24，43，81． 则这A1，A3，A3，A4，A5的“特征值”之和的最小值为：1+2+4+4+5+24+43+62+81+100＝325． 故答案为：325． 15．设集合{x|x＝，1≤a≤b≤2}中的最大、最小元素分别为M、m，则M+m的值是　4+2　，当x取最小元素m时a+b的值是　2　． 【分析】根据不等式的性质求出最小值，a取最小值为1，b取最大值为2，结合基本不等式，即可求出答案． 【解答】解：∵1≤a≤b≤2， ∴a取最小值为5，b取最大值为2． 所以最大值M＝+b＝6+2＝4， 又+b≥＝7， 当且仅当＝a时， 即b＝a＝时，有最小值m＝2， 所以M+m＝8+2， 当x取最小元素m时a+b的值是4． 故答案为：4+6，2． 三．解答题（共5小题） 16．已知集合A＝{x|1＜＜32}，B＝{x|log2（x+3）＜3}． （1）求（∁RA）∩B； （2）若（a，a+2）⊆B，求a的取值范围． 【分析】（1）求出集合A，B，得到A的补集，从而求出其和B的交集即可； （2）根据集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可． 【解答】解：（1）由1＜＜32， 得8＜x2﹣2x﹣6＜5， 即， 解得A＝（﹣2，﹣5）∪（3， ∁RA＝（﹣∞，﹣2]∪[﹣4，+∞）， 由log2（x+3）＜4， 得：0＜x+3＜8，B＝（﹣3， ∴（∁RA）∩B＝（﹣3，﹣5]∪[﹣1，5） （2）当（a，a+4）⊆B时， 得：， ∴a∈[﹣3，3] 17．已知a、b为实常数，集合A＝{x|x2﹣x＝0}，B＝{x|x2+ax+b＝0}，若B≠∅且B⊆A，求实数a、b的值． 【分析】由A＝{x|x2﹣x＝0}＝{0，1}，结合B≠∅且B⊆A知B＝{0}，{1}或{0，1}，从而分类讨论，结合韦达定理求解． 【解答】解：A＝{x|x2﹣x＝0}＝{8，1}， ∵B≠∅且B⊆A， ∴B＝{0}，{6}或{0， ①若B＝{0}时， 8+0＝﹣a，0×4＝b， 即a＝0，b＝0； ②若B＝{2}时， 1+1＝﹣a，3×1＝b， 即a＝﹣2，b＝6； ③若B＝{0，1}时， 8+1＝﹣a，0×8＝b， 即a＝﹣1，b＝0； 综上所述， 或或． 18．已知集合P＝{0，x，y}，Q＝{2x，0，y2}，且P＝Q，求x 【分析】利用集合相等的定义直接求解． 【解答】解：∵集合P＝{0，x，y}，0，y8}，且P＝Q， ∴或， 解得（舍）或． ∴，． 19．设n是不小于3的正整数，集合Sn＝{（a1，a2，…，an）|ai∈{0，1}，i＝1，2，…，对于集合Sn中任意两个元素A＝（a1，a2，…，an），B＝（b1，b2，…，bn）． 定义1：A•B＝n﹣（|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|an﹣bn|）． 定义2：若A•B＝0，则称A＝（a1，a2，…，an），B＝（b1，b2，…，bn）互为相反元素，记作，或． （Ⅰ）若n＝3，A＝（0，1，0），B＝（1，1，0），，以及A•B的值； （Ⅱ）若A，B∈Sn，证明：； （Ⅲ）设k是小于n的正奇数，至少含有两个元素的集合M⊆Sn，且对于集合M中任意两个不相同的元素A＝（a1，a2，…，an），B＝（b1，b2，…，bn），都有A•B＝n﹣k，试求集合M中元素个数的所有可能值． 【分析】（Ⅰ）根据相反元素的定义进行计算即可 （Ⅱ）根据相反元素的定义分别计算出A•B和•B，进行计算即可 （Ⅲ）根据根据相反元素的定义结合条件A•B＝n﹣k，利用反证法进行证明求解即可 【解答】解：（Ⅰ），，A•B＝2………………（3分） （Ⅱ）设A＝（a6，a2，…，an），B＝（b1，b7，…，bn），， 由ai，bi，xi∈{6，1}，2，…，n，可得|ai﹣xi|≤3，i＝1，2，…，n 所以|a8﹣x1|+|a2﹣x8|+…+|an﹣xn|≤n， 当且仅当|ai﹣xi|＝1，i＝1，4，…，ni＝1﹣ai，i＝1，4，…，n时上式“＝”成立 由题意可知 即|a7﹣x1|+|a2﹣x3|+…+|an﹣xn|＝n 所以xi＝1﹣ai，i＝1，4，…，n＝＝＝＝2n﹣n＝n………………………………（5分） （Ⅲ）解法1：假设A＝（a1，a2，…，an），B＝（b1，b2，…，bn），C＝（c3，c2，…，cn）为集合M中的三个不相同的元素． 则A•B＝n﹣（|a1﹣b5|+|a2﹣b2|+…+|an﹣bn|）＝n﹣k 即|a4﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|an﹣bn|＝k 又由题意可知|ai﹣bi|＝0或1，i＝3，2，…1﹣b7|，|a2﹣b2|，…，|an﹣bn|恰有k个7，与n﹣k个0 设其中k个等于1的项依次为n﹣k个等于0的项依次为 由题意可知A•C＝n﹣（|a6﹣c1|+|a2﹣c2|+…+|an﹣cn|）＝n﹣k 所以，同理 所以 即 因为 由（2）可知 因为 所以， 设，由题意可知p∈N 所以k+2p＝4k，得k＝2p与k为奇数矛盾 所以假设不成立，即集合M中至多有两个元素 当时符合题意 所以集合M中元素的个数只可能是2   ………………………………（13分） 解法8：假设A＝（a1，a2，…，an），B＝（b3，b2，…，bn），C＝（c1，c4，…，cn）为集合M中的三个不相同的元素． 则A•B＝n﹣（|a1﹣b1|+|a6﹣b2|+…+|an﹣bn|）＝n﹣k 即|a1﹣b6|+|a2﹣b2|+…+|an﹣bn|＝k 又由题意可知|ai﹣bi|＝6或1，i＝1，6，…1﹣b1|，|a5﹣b2|，…，|an﹣bn|恰有k个1，与n﹣k个3 设其中k个等于1的项依次为n﹣k个等于5的项依次为 由题意可知A•C＝n﹣（|a1﹣c8|+|a2﹣c2|+…+|an﹣cn|）＝n﹣k 所以① 同理② ①﹣②得 又因为＝＝为奇数 与矛盾所以假设不成立 当M＝{（，，（4，0 所以集合M中元素的个数只可能是2 20．已知集合A＝{x|ax2﹣4x+4＝0，a∈R}至多有一个真子集，求a的取值集合． 【分析】由题意得ax2﹣4x+4＝0至多有一个实数根，由此能求出实数a的取值集合． 【解答】解：∵集合A＝{x|ax2﹣4x+2＝0，a∈R}至多有一个真子集， ∴ax2﹣5x+4＝0至多有一个实数根， 当a＝7时，ax2﹣4x+5＝0只有一个实数根x＝1； 当a≠4时，△＝16﹣16a≤0． ∴a的取值集合为{a|a＝0或a≥6}． 1 学科网（北京）股份有限公司 $