精品解析：广东汕头市潮阳区河溪中学2025-2026学年第二学期5月期中考试数学试卷

河溪中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高一级数学科试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上.） 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分母不为零且偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数，则，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：B 2. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用代数形式的复数乘法计算得解. 【详解】. 故选：B 3. ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的含义即可. 【详解】根据交集的含义知， 故选：C. 4. 如图所示，中，，点是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图形，根据平面向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意知， . 故选：C 5. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正四棱柱的体对角线长等于其外接球直径求出球的半径，即可求得结果. 【详解】设正四棱柱的底面边长为，因为正四棱柱的高为6，体积为24， 所以，即，得，正四棱柱的各顶点都在一个球面上， 所以正四棱柱的体对角线长等于球的直径，即， 所以球的半径为，球的表面积. 故选:B. 6. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理判断． 【详解】由于在定义域上为增函数， ，，，， 故零点在上， 故选：C． 7. “，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】 利用含有一个量词的命题的否定的定义求解即可． 【详解】“，”的否定是“，，” 故选：C 8. 已知向量，若，若向量与向量互相垂直，则是（　　） A. B. 4 C. 7 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】若向量与向量互相垂直，则 ， 所以 ， 即 ，解得. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设、是空间中的两条直线，、是空间中的两个平面，下列说法错误的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则与相交 C. 若，，，则 D. 若，，，则与没有公共点 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用面面、线面、线线的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，，则与无公共点，即与平行或异面，A错； 对于B选项，若，，则与共面，即与相交或平行，B错； 对于C选项，若，，，与无公共点，即与平行或异面，C错； 对于D选项，由C选项可知D对. 10. △ABC的内角A、B、C的对边分别为，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则△ABC有两解 B. 若，则△ABC为直角三角形 C. 若，则 D. 若A=60°，，则△ABC面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理判断A，切化弦，结合正弦定理判断B，正弦定理判断C，由余弦定理、基本不等式、三角形面积公式结合起来判断D． 【详解】A．由正弦定理得，， 角可以是锐角也可以是钝角，有两解，A正确； B．已知，由正弦定理及商数关系得， 三角形中，所以，， 或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形，B错误； C．由正弦定理，，，C正确； D．由余弦定理，即，当且仅当时等号成立， ，所以最大值为，D正确． 故选：ACD． 11. 已知向量，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是（ ） A. 图像关于直线对称 B. 图像关于点对称 C. 最小正周期为 D. 在上单调递增 【答案】CD 【解析】 【分析】化简的解析式，然后根据三角函数的对称性、周期性以及单调性确定正确答案. 【详解】 ， ，取不到最值，所以A选项错误. ，所以图象关于对称，B选项错误. 的最小正周期为，C选项正确. ，故在上单调递增， 所以D选项正确. 故选：CD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，则__________. 【答案】32 【解析】 【分析】根据题中所给的分段函数运算求值. 【详解】由题意可得：，则 故答案为：32. 13. 水平放置的的斜二测直观图是如图中的，已知，，则边的实际长度是 _____. 【答案】5 【解析】 【分析】结合斜二测画法的性质将图还原后计算即可得. 【详解】把直观图还原为原图形，如图所示， 则， 所以. 故答案为：5. 14. 已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件，求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积． 【详解】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l， 由，得， 又表面积， 所以，解得，则； 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为． 故答案为：． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，直三棱柱所有的棱长都为1，，分别为和的中点． （1）证明：平面． （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理证明即可. （2）利用等体积法求即求，利用三棱锥求体积公式即可求解. 【小问1详解】 证明：连接，在中，D，E分别为和的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为为直三棱柱，所以平面， 又因为为边长为的正三角形，所以， 又. 16. 设内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理对已知式进行边角互化，可得，结合余弦定理即可求得； （2）结合已知条件求得，从而求得的面积. 【小问1详解】 由 ，得， 即， 即， 所以. 又，所以. 【小问2详解】 由，得 ， 所以. 所以的面积为. 17. 某变异病毒感染的治疗过程中，需要用到某医药公司生产的类药品．该公司每年生产此类药品的年固定成本为160万元，每生产千件需另投入成本为（万元），每千件药品售价为60万元，此类药品年生产量不超过280千件，假设在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完. （1）求公司生产类药品当年所获利润（万元）的最大值； （2）当年产量为多少千件时，每千件药品的平均利润最大？并求最大平均利润. 【答案】（1）3840万元；（2）当年产量为40千件时，每千件药品的平均利润最大为32万元． 【解析】 【分析】 （1）先由题意，得到，利润等于销售收入减去成本，由此即可得出函数关系式，再由配方法，即可求出最值； （2）由（1）得出平均利润为，化简整理，利用基本不等式，即可求出最值，以及此时的. 【详解】（1）由题可得， ， 当且仅当时，， 所以当年产量为200千件时，在这一药品的生产中所获利润最大为3840万元； （2）可知平均利润为 . 当且仅当，即时等号成立 所以当年产量为40千件时，每千件药品的平均利润最大为32万元． 【点睛】易错点睛： 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 18. 已知函数． 求函数的单调减区间； 将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递减区间；利用函数的图象变换规律，求得的解析式，由可得结合正弦函数的单调性，求得的值域． 【详解】函数， 当时,解得：， 因此，函数的单调减区间为． 将函数的图象向左平移个单位，可得的图象， 再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象， ，， 的值域为． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数的图象变换规律，正弦函数的值域，属于中档题．函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由 求得函数的减区间，求得增区间. 19. 已知定义域为R的函数，是奇函数． （1）求的值； （2）判断单调性并证明； （3）若，不等式恒成立，求k的取值范围． 【答案】（1）；（2）在上单调递减，证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由为上的奇函数可知，由此求解出的值，再将的值代入进行检验即可； （2）利用定义法证明的单调性，先任取，然后通过计算的值与比较大小，由此可得的大小关系，则单调性可知； （3）先根据函数的奇偶性和单调性将问题转化为“对恒成立”，然后对进行分类讨论：，再通过分离参数并结合基本不等式求解出关于的式子的最值，从而求解出的取值范围. 【详解】解：由于定义域为的函数是奇函数， 则即，解得，即有， 下面检验：， 且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，故符合； 在上是减函数.证明：设任意， ， 由于，则，即有，则有， 故在上是减函数； 不等式，由奇函数得到， ，再由在上是减函数， 则，即有对恒成立， 当时，，显然成立； 当时，， ，当且仅当时，取得等号，则； 当时，， 又，当且仅当时，取得等号，则； 综上可得的范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河溪中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高一级数学科试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上.） 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. ，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，中，，点是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 7. “，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知向量，若，若向量与向量互相垂直，则是（　　） A. B. 4 C. 7 D. 2 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设、是空间中的两条直线，、是空间中的两个平面，下列说法错误的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则与相交 C. 若，，，则 D. 若，，，则与没有公共点 10. △ABC的内角A、B、C的对边分别为，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则△ABC有两解 B. 若，则△ABC为直角三角形 C. 若，则 D. 若A=60°，，则△ABC面积的最大值为 11. 已知向量，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是（ ） A. 图像关于直线对称 B. 图像关于点对称 C. 最小正周期为 D. 在上单调递增 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，则__________. 13. 水平放置的的斜二测直观图是如图中的，已知，，则边的实际长度是 _____. 14. 已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，直三棱柱所有的棱长都为1，，分别为和的中点． （1）证明：平面． （2）求三棱锥的体积． 16. 设内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若，求的面积. 17. 某变异病毒感染的治疗过程中，需要用到某医药公司生产的类药品．该公司每年生产此类药品的年固定成本为160万元，每生产千件需另投入成本为（万元），每千件药品售价为60万元，此类药品年生产量不超过280千件，假设在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完. （1）求公司生产类药品当年所获利润（万元）的最大值； （2）当年产量为多少千件时，每千件药品的平均利润最大？并求最大平均利润. 18. 已知函数． 求函数的单调减区间； 将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域． 19. 已知定义域为R的函数，是奇函数． （1）求的值； （2）判断单调性并证明； （3）若，不等式恒成立，求k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $