第十四章 全等三角形 解题方法与章末核心要点分类整合课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了全等三角形的性质、判定、常见模型（平移、对称、旋转等）、角平分线及构造方法，通过模型分类与专题整合（如性质判定、尺规作图专题）构建知识网络，体现知识点间的逻辑联系。 其亮点在于以“模型应用-专题突破-中考链接”为主线，设计类比探究（如一线三等角拓展）、新定义证明（筝形）等活动，培养几何直观与推理能力。分层例题（基础模型到综合构造）满足不同学生需求，助力教师精准复习，提升学生知识巩固与问题解决能力。

重要模型 全等三角形的基本模型 第十四章 全等三角形 全等三角形的证明离不开模型，常见的模型有平移模型、对称模型、旋转模型、一线三等角模型、综合模型等. 模型一 平移模型 1 模型特征：沿同一条直线平移可得平移前、后的两个三角形全等.模型展示如图1： 2 解题思路：①利用等线段加(减)公共线段，得某一对应边相等；②利用平行线的性质得对应角相等. 如图2，B 是AD的中点，BC∥DE，BC=DE．求证：∠C=∠E． 例1 解题秘方：紧扣题干中的条件分析出图中全等的三角形，结合全等三角形的性质证明两个角相等. 证明：∵B是AD的中点，∴AB=BD. ∵BC∥DE，∴∠ABC= ∠D. 在△ ABC 和△ BDE 中， ∴△ABC≌△BDE(SAS).∴∠C= ∠E． 模型二 对称模型 1 模型特征：所给图形可沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合.模型展示如图3： 2 解题思路：①找公共角、对顶角、等角加(减)公共角等条件得对应角相等；②找公共边、中点、等线段加(减)公共线段等条件得对应边相等. 如图4，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD. 求证：AB=AC. 例2 解题秘方：先从结论入手，找两条线段所在的三角形，再从条件入手，分析证明两个三角形全等的条件，最后综合写出推理的过程. 证明：方法一 ∵ BE ⊥AC，CD ⊥ AB， ∴∠AEB= ∠ADC=90°. 又∵∠A= ∠A，BE=CD， ∴△ABE≌△ACD(AAS).∴AB=AC. 方法二 ∵BE⊥AC，CD⊥AB，BC=CB，BE=CD， ∴ Rt △BCE≌ Rt △CBD(HL). ∴∠CBD= ∠BCE，∠BCD= ∠CBE. ∴∠ABE= ∠ACD. 又∵∠A= ∠A，BE=CD， ∴△ABE≌△ACD(AAS).∴AB=AC. 模型三 旋转模型 1 模型特征：绕一点旋转前、后的两个三角形全等.模型展示如图5： 2 解题思路：等角加 (减)共顶点的公共角 得一组对应角相等. 如图6，△ABC，△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上.求证：△CDA≌△CEB. 例3 解题秘方：紧扣条件中的两个等腰直角三角形，为证明三角形全等提供了边、角相等的条件. 证明：∵∠DCE= ∠ACB=90°， ∴∠DCE- ∠ACE= ∠ACB- ∠ACE， 即∠DCA= ∠ECB. ∵△ABC，△CDE均是等腰直角三角形， ∴AC=BC，DC=EC.∴△CDA≌△CEB(SAS). 模型四 一线三等角模型 1 模型特征：在一条直线上有三个相等的角.模型展示如下： 模型展示 说明 一线三等角(一般情形) 【条件】∠ D= ∠ BAC=∠ E，AB=CA(或DB=EA或DA=EC) 【结论】△ ADB ≌△ CEA 【条件】∠ BAC= ∠ BDF=∠ CEF，AB=CA(或DB=EA 或AD=CE) 【结论】△ ADB ≌△ CEA 一线三垂直 【条件】∠ D= ∠ AEC=∠ BAC=90°，AB=CA(或AD=CE 或DB=EA) 【结论】△ ADB ≌△ CEA 图①中，DE=BD+CE；图②中，DE=CE-BD 2 解题思路：通过三角形外角的性质，使两个三角形中的角建立起联系，从而证明全等. [新视角 类比探究题](1)如图7 ①，已知：△ ABC 中，∠ BAC=90 °，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，求证：DE=BD+CE. 例4 证明：∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠BDA= ∠CEA=90°. ∴∠BAD+ ∠ABD=90°. ∵∠BAC=90°，∴∠BAD+ ∠CAE=90°.∴∠CAE= ∠ABD. 在△ADB和△CEA中， ∴△ADB≌△CEA(AAS).∴BD=AE，AD=CE. ∴DE=AE+AD=BD+CE. (2)拓展：如图7 ②，将(1)中的条件改为：△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，并且∠BDA= ∠AEC= ∠BAC=α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. 解：结论DE=BD+CE成立. 证明如下： ∵∠BDA= ∠BAC=α， ∴ ∠ DBA+ ∠ BAD= ∠ BAD+ ∠ CAE=180°-α. ∴∠ABD= ∠CAE. 在△ADB和△CEA中， ∴△ADB≌△CEA(AAS).∴BD=AE，AD=CE. ∴DE=AE+AD=BD+CE. (3)应用：如图7 ③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，∠ BAD> ∠ CAE， ∠ BDA= ∠ AEC= ∠ BAC，BC的延长线与直线m交于点 F，若BC=2CF，△ABC的面 积是16，求△ABD与△CEF的 面积之和． 解：∵∠BDA= ∠BAC，∴易得∠CAE= ∠ABD. 在△ABD和△CAE中， ∴△ABD≌△CAE(AAS). ∴ S△ABD=S△CAE.∴ S△ABD+S△CEF=S△CAE+S△CEF=S△ACF. ∵BC=2CF，∴易得S△ACF= S△ABC= ×16=8. ∴△ABD与△CEF的面积之和为8. 模型五 综合模型 平移+ 旋转 平移+ 对称 △ ABC ≌△ DEF △ ABC ≌△ DFE 如图8，点A，D，B，E在同一条直线上，若AD= BE，∠A= ∠EDF，∠E= ∠ABC.求证：AC=DF. 例5 解题秘方：先由等线段加公共线段得 出AB=DE，再结合已知中有关角的条件证明△ABC与△DEF全等，最后根据全等三角形的性质证明两边相等. 证明：∵AD=BE，∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE. 在△ABC和△DEF中， ∴△ ABC ≌△ DEF(ASA).∴ AC=DF. 章末核心要点分类整合 第十四章 全等三角形 1. 全等三角形是特殊的全等形，全等三角形的对应边相等、对应角相等. 2. 全等三角形的判定——SSS，SAS，ASA，AAS；对于直角三角形，有特殊的判定方法——HL. 3. 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 4. 角的平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 专题一 全等三角形的性质与判定 链接中考 >> 三角形全等的判定是几何中常见的证明，全等三角形的性质是解决线段相等或角相等的基本思路，是中考的热门考点，单独考查时，形式多种多样，填空题、选择题、解答题都有，但三角形全等往往成为其他综合证明题的一个工具. [中考·成都]如图14-1，△ABC≌△CDE，若∠D=35°，∠ACB=45°，则∠DCE的度数为________． 例1 100° 解题秘方：先利用全等三角形的性质，求出∠ CED= ∠ ACB=45°，再利用三角形内角和求出∠ DCE 的度数． 解：∵△ABC≌△CDE，∴∠CED= ∠ACB=45°.∵∠ D= 35°，∴ ∠DCE=180°- ∠D-∠ CED=180 ° -35 °-45 °=100°. [新视角条件选择题中考·武汉]如图14-2，四边形ABCD的对角线交于点O，AD∥BC． 若________，则AD=CB． 从①OA=OC，②∠ABC= ∠CDA，③AB=CD这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明 理由． 例2 解题秘方：根据平行线的性质得到相等的角，再从选项中选择合适的条件证三角形全等. 解：选择①OA=OC. 理由：∵AD∥BC，∴∠DAO= ∠BCO. 在△DAO和△BCO中， ∴△DAO≌△BCO(ASA). ∴AD=CB. 或选择②∠ABC= ∠CDA. 理由：∵AD∥BC，∴∠DAO= ∠BCO. 在△ADC和△CBA中， ∴△ADC≌△CBA(AAS). ∴AD=CB． 专题二 角的平分线的性质与判定 链接中考 >> 角的平分线的性质与判定都与点到直线的距离有关. 当图中出现垂线，或图中出现高时，可以设法运用角的平分线的性质证明两条线段相等. 在中考中单独考查时，一般都是以填空题、选择题的形式出现. [中考· 滨州]如图14-3，△ABC的两个外角的平分线 AD，CE相交于点O．若点O到BC的距离为3.5，AB= 4，则△ABO的面积为______． 例3 解题秘方：根据角平分线的性质，得到点O到AB的距离等于点O到BC的距离，再利用面积公式进行计算即可． 7 解：∵△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O， ∴点O到AB的距离等于点O到AC的距离， 且点O到AC的距离等于点O到BC的距离. ∴点O到AB的距离等于点O到BC的距离. ∵点O到BC的距离为3.5，∴点O到AB的距离为3.5. ∵AB=4，∴ S△ABO= ×4×3.5=7. [模拟·衡水]如图14-4，已知点D，E，F 分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，S△DCE=S△DBF，且∠BAD= 42°，则∠BAC的度数是_______． 例4 84° 解题秘方：本题考查了三角形面积公式、角平分线的判 定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键. 解：如图14-4，作DG⊥ AB 于点G，DH⊥AC于点H. ∵ S△DBF=BF·DG，S △ DCE=CE·DH，CE=BF， S△DCE=S△DBF，∴DG=DH. ∴AD平分∠BAC. ∴∠BAC=2 ∠BAD=2×42°=84°. 专题三 尺规作图——作一个角等于已知角和作角的平分线 链接中考 >> 新课标对于尺规作图的要求很高，近几年尺规作图在中考中的比例逐年增加. 本章考查作一个角等于已知角和作一个角的平分线，也有综合考查这两种作图的题目. [中考·青岛]已知：如图14-5，四边形ABCD，E 为DC边上一点．求作：四边形内一点P，使EP ∥BC，且点P 到AB，AD的距离相等． 例5 解题秘方：根据“同位角相等，两直线平行”，以点E为顶点作∠C的等角，即可作出BC的平行线，该线与∠BAD的平分线的交点即为所求. 解：作∠DAB的平分线AM，以E为顶点，ED为一边作∠DEN= ∠C，EN交AM于点P.如图14-5，点P即为所求． 专题四 利用分析法进行推理 专题解读>> 几何证明的基本方法是分析法，也称为逆推法. 例如要证明三角形全等，首先观察条件中哪些是直接条件，哪些是间接条件，在此基础上加以分析，完成解答. [新视角 新定义题]我们把两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.如图14-6，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD. 对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是点E，F. 求证：OE=OF. 例6 解题秘方：利用全等三角形的判定和角平分线的性质进行证明. 证明：在△ABD和△CBD中， ∴△ABD≌△CBD(SSS).∴∠ABD= ∠CBD. ∴BD平分∠ABC. 又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE=OF. 专题五 构造全等三角形的几种方法 专题解读>> 在某些图形中，解决问题时要证明三角形全等，而图形中没有全等的三角形，可通过作辅助线来构造全等三角形，常见的构造方法有“截长补短法”“作垂线法”“倍长中线法”等. 方法1 截长法 如图14-7，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O.求证：AE+CD=AC． 例7 解题秘方：借助角平分线，在AC上截取一段构造全等三角形，利用线段的等量关系证明结论. 证明：如图14-7，在AC上截取AF=AE，连接OF. ∵ AD 平分∠ BAC，∴∠ OAE= ∠ OAF=∠ BAC. 在△AOE和△AOF中， ∴△AOE≌△AOF(SAS).∴∠AOE= ∠AOF. ∵ CE 平分∠ ACB，∴∠ OCF= ∠OCD=∠ ACB， ∴∠OAF+ ∠ACO=(∠BAC+ ∠BCA)=(180°- ∠B)=60°. ∵∠ AOE 是△ AOC 的外角， ∴∠ AOE= ∠ OAF+ ∠ ACO=60°. ∴∠ AOF=60°，∠COD=60°.∴∠COF=60°= ∠COD. 在△COD和△COF中， ∴△COD≌△COF(ASA).∴CD=CF. 又∵AF+CF=AC，∴AE+CD=AC． 方法2 补短法(延长法) 如图14-8，在△AOB中，OA=OB，∠ AOB=90 °，BD 平分∠ ABO 交OA 于点D，AE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：BD=2AE. 例8 解题秘方：通过延长BO，AE 构造全等三角形，利用线段的等量代换证明倍分关系. 证明：如图14-8，延长BO，AE交于点F. ∵BD平分∠ABO，AE⊥BD， ∴∠ 1= ∠ 2，∠AEB= ∠FEB=90°. 在△ABE和△FBE中， ∴△ ABE ≌△ FBE(ASA).∴ AE=EF. ∴ AF=2AE. ∵ ∠ AOB= ∠ AED=90 °， ∴ ∠ AOF=90°=∠BOD，∠2+∠ODB=∠OAF+∠ADE=90°. ∵∠ODB= ∠ADE，∴∠ 2= ∠OAF. 在△OBD和△OAF中， ∴△OBD≌△OAF(ASA).∴BD=AF. 又∵AF=2AE，∴BD=2AE． 方法3 作垂线法 如图14-9，AD∥BC，CD⊥AD，AE平分∠BAD，E是DC的中点，问：AD，BC，AB之间有何关系？并说明理由. 例9 解题秘方：借助角平分线作垂线，利用角平分线的性质构造全等三角形解决问题. 解：AB=AD+BC. 理由：如图14-9，过点E作EF⊥AB于点F，连接BE. ∵ AE 平分∠ BAD，CD ⊥ AD，EF ⊥ AB，∴EF=ED. ∵E是DC的中点，∴ED=EC.∴EF=EC. ∵AD∥BC，CD⊥AD，∴DC⊥BC.又∵BE=BE， ∴ Rt △BFE≌ Rt △BCE(HL).∴BF=BC. 同理可证AF=AD， ∴AD+BC=AF+BF=AB，即AB=AD+BC. ∵∠ODB= ∠ADE，∴∠ 2= ∠OAF. 在△OBD和△OAF中， ∴△OBD≌△OAF(ASA).∴BD=AF. 又∵AF=2AE，∴BD=2AE． 方法4 倍长中线法 如图14-10，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD<(AB+AC). 例8 解题秘方：借助中线，将其延长一倍构造全等三角形解决问题. 证明：如图14-10，延长AD至E， 使DE=AD，连接CE，则AE=2AD. ∵在△ABC中，AD是BC边上的中线，∴BD=CD. 在△ ADB 和△ EDC 中， ∴△ADB≌△EDC(SAS).∴AB=EC.∵在△ACE中，CE+AC>AE，∴AB+AC>2AD，即AD<(AB+AC). 类型一 全等三角形的性质与判定 1. [期末·北京海淀区]如图，AE=AC，DE=BC，∠AED=∠ACB=105°，BC的延长线经过点E，交AD于点F，∠D=50°，∠AFE=80°，则∠CAD的度数是( ) A. 3° B. 4° C. 5° D. 6° C 2. [新视角条件选择题中考·淄博]如图，已知AB=CD，点 E，F在线段BD上，且AF=CE． 请从①BF=DE；② ∠BAF=∠DCE；③AF=CF中，选择一个合适的选项作为已知条件，使得△ABF≌△CDE．你添加的条件是________(只填写一个序号). 添加条件后，请证明AE∥CF． ①(或②) ①证明：在△ABF和△CDE中， ∴△ABF≌△CDE(SSS).∴∠B=∠D. ∵BF=DE，∴BF+EF=DE+EF，即BE=DF. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(SAS).∴∠AEB=∠CFD.∴AE∥CF. ②证明：在△ABF和△CDE中， ∴△ABF≌△CDE(SAS).∴∠B=∠D，BF=DE. ∴BF+EF=DE+EF，即BE=DF. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(SAS).∴∠AEB=∠CFD.∴AE∥CF. 类型二 尺规作图——作一个角等于已知角和作已知角的平分线 3.[中考·陕西]如图，已知∠AOB=50°，点C在边OA上. 请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P， 使得∠AOP=25°，且CP∥OB(保留作图痕 迹，不写作法). 解：如图，点P即为所求. 类型三 角平分线的性质与判定 4. [情境题 生活应用]如左图是一个可调节的平板支架，其结构示意图如右图所示，已知平板宽度AB为16 cm，支架脚BC的长度为12 cm，当∠ ABC=90 ° 时，可测得AC=20 cm，保持此△ABC的形状不变，当CB平分∠ACD时，点B到CD的距离是( ) A.8 cm B.8.6 cm C.9 cm D.9.6 cm D 5.[长沙市雅礼教育集团创新拔尖选拔赛]如图，CO，BO是△ABC的两个外角∠PCB，∠QBC的平分线，OM⊥AP，ON⊥AQ,且OM=ON.下列结论中，正确的有_______个. ①∠PAO=∠QAO； ②∠AOB=∠ACB； ③ 2 ∠COB =180°+∠CAB； ④∠PAQ +2 ∠COB=180°. 3 类型四 构造全等三角形解决问题 6. [新考法 构造全等三角形法]给出如下定义：两条线段相交于一点(交点不与端点重合)，连接不同线段的两个端点，再连接另两个端点所得图形称为“8字形”.如图，线段AD与BC交于点O，连接AB和CD， 所得图形即为“8字形”. (1)下列四个选项中，含有“8 字形”的有________． AD (2)如图，AD 与BC交于点E，连接AB 和CD，AB和CD的延长线交于点F，满足∠ABC=∠ADC=α ，AE=CF. ①如图①，当α=90°时，判断BE与BF的数量关系，并证明； 解：BE=BF.证明如下： ∵∠ABC=∠ADC=α=90°， ∴∠A+∠AEB=90°，∠C+∠CED=90°, ∠CBF=90°=∠ABE. 又∵∠AEB=∠CED，∴∠A=∠C. 在△ABE和△CBF中， ∴△ABE≌△CBF(AAS).∴BE=BF. ② 如图②，当90 °<α<180 ° 时，求证：BE=BF. 证明：如图，在CB上截取CG=AB. ∵∠ABC=∠ADC， ∴∠AFC+∠C=∠AFC+∠A.∴∠C=∠A. 在△ABE和△CGF中， ∴△ABE≌△CGF(SAS). ∴BE=GF，∠ABE=∠CGF.∴∠GBF=∠BGF. 如图，作FH⊥BG于点H， 则∠BHF=∠GHF=90°. 在△BHF和△GHF中， ∴△BHF≌△GHF(AAS). ∴BF=GF.∴BE=BF. 类型五 全等三角形的探究性问题 7. [新视角 项目探究题]【问题背景】如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120 °，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，试探究线段BE，EF，FD之间的数量关系． 【初步探索】小亮同学认为：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，如图①，先证明△ABE≌ △ADG，再证明△AEF≌ △AGF，则可得到BE，EF，FD之间的数量关系是_______________． EF=BE+FD 【探索延伸】如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF= ∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由． 解：结论仍然成立.理由如下： 如图①，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG. ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°， ∴∠B=∠ADG. 在△ABE和△ADG中， ∴△ABE≌△ADG(SAS).∴AE=AG，∠BAE=∠DAG. ∵∠EAF=∠BAD， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF= ∠BAD－∠EAF=∠BAD.∴∠EAF=∠GAF. 在△AEF和△AGF中， ∴△AEF≌△AGF(SAS).∴EF=FG. ∵FG=DG+FD=BE+FD，∴EF=BE+FD. 【结论运用】如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60 n mile/h 的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80 n mile/h 的速度 前进，1.5 h后，指挥中心观测到甲、乙两 舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹 角(∠EOF)为70°，试求此时两舰艇之间的距离. 解：如图②，连接EF，延长AE，BF交于点C. 由题意得∠AOB=30°+90°+(90°－70°)=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=12∠AOB. ∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°－30°)+(70°+50°)=180°， ∴符合【探索延伸】中的条件.∴EF=AE+BF， 即EF=1.5×(60+80)=210(n mile)． 答：此时两舰艇之间的距离是210 n mile． $