15.1.2 第2课时 线段的垂直平分线的有关作图 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

人教版（2024） 八年级上册 15.1.2 线段的垂直平分 第2课时 线段的垂直平分 线的有关作图 第十五章 · 轴对称 线段的垂直平分线的有关作图 知识目标 1.理解并掌握用尺规作线段的垂直平分线的方法；明确轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的定义及性质；学会过直线外一点作已知直线的垂线的步骤。 2.知道上述作图过程所依赖的几何定理。 能力目标 1.通过动手实践，熟练完成指定条件下的尺规作图任务，提升空间想象与精准绘图技能。 2.基于已学知识分析作图可行性，解释每一步设计的数学原理，培养从条件到结论的严谨思维习惯。 素质目标 1.树立“有理有据”的探究意识，尊重数学规律，反对盲目猜测；通过验证作图结果是否符合预期，形成批判性思维。 2.欣赏轴对称在生活中的应用美，激发创造性地运用对称原理进行图案设计的兴趣。 教学难点 教学重点 尺规作图的具体方法（尤其是垂直平分线、对称轴、过定点垂线的标准化步骤） 理解作图背后的几何本质 情景激趣 小小鲁班传人 师傅给了一根长24cm（代表古建中的一段微型横梁），需要在其正中心开一个榫眼，以便与另一根垂直的梁（柱子）完美卯合。 你能精准的找到中点吗？ 列举实例，复习旧知 探究:已知两个点A、B关于某条直线成轴对称，如何作出这条直线的对称轴。 A B 找所连线段的垂直平分线 分析: 方法一: 折叠法; 方法二: 尺规作图法。 列举实例，复习旧知 探究:已知两个点A、B关于某条直线成轴对称，如何作出这条直线的对称轴。——尺规作图法 A B 我们只要连接点A和点B,作出线段AB的垂直平分线，就可得到点A和点B的对称轴.为此作出到点A,B的距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线. 对于如图所示的五角星，可以选择一对对应点A和A′，连接AA′，作出线段AA′的垂直平分线l，则l就是这个五角星的一条对称轴. A A′ l 类似的，你能作出这个五角星的其他对称轴吗？ 新知探究 作线段的垂直平分线 1. 作线段AB的垂直平分线的作法： 如图， (1)分别以__________为圆心，________________为半径作弧，两弧相交于C，D两点； (2)作__________，CD就是线段AB的垂直平分线． 点A和点B 直线CD 2. 如图，已知线段AB，请用尺规作图法，求作线段AB的垂直平分线MN，并标出中点O.(保留作图痕迹，不写作法) 解：如图，直线MN，点O即为所求 经过已知直线上一点作已知直线的垂线 已知:直线AB 和AB 上一点 C(如图). 求作:直线DC,使DC⊥AB. 作法：(1)作平角ACB 的角平分线CD; (2)反向延长射线 CD. 直线 CD 就是要求作的垂线. 想一想：还有其他作法吗？ 经过已知直线外一点作已知直线的垂线 已知:直线AB 和AB 外一点 C(如图) 求作:直线CF,使CF⊥AB 作法：(1)以点 C为圆心，适当长为半径作弧,交直线AB 于点D,E; (2)分别以点 D 和点 E 为圆心，大于 的长为半径在AB 同侧作弧，两弧交于点 F； 直线CF 就是要求作的垂线 (3)作直线CF. 例1 作出如图15.1-28 所示的图形的对称轴. 典例分析 解：作法：如图15.1-28. (1)连接AB；(2)作线段AB的垂直平分线l，直线l即为所求作的对称轴. 解题秘方：先找到一对对称点，再作出连接它们的线段的垂直平分线. 归纳总结 1.如图，已知点P为△ABC边AC上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线： (1)如图①，作一条直线l，使得点B 关于l的对称点为P． (2)如图②，作一条过点C的直线m， 使得点P关于m的对称点落在BC上． （保留作图痕迹，不写作法） 达标练习 1.如图，已知点P为△ABC边AC上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线： (1)如图①，作一条直线l，使得点B 关于l的对称点为P． (2)如图②，作一条过点C的直线m， 使得点P关于m的对称点落在BC上． （保留作图痕迹，不写作法） （1）解 如图①，连接BP，作线段BP的垂直平分线l，则直线l即为所求. 达标练习 2.如图，已知点P为△ABC边AC上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线： (1)如图①，作一条直线l，使得点B 关于l的对称点为P． (2)如图②，作一条过点C的直线m， 使得点P关于m的对称点落在BC上． （保留作图痕迹，不写作法） （2）解 如图②，作∠ACB的平分线，则∠ACB的平分线所在的直线m即为所求． 达标练习 作一条线段的垂直平分线 图示 作法1 作法2 作法3 归纳总结 过一点作已知直线的垂线 图示 点在直线外 点在直线上 归纳总结 2. 如图，电信部门要在 S 区修建一座电视信号发射塔 . 按照设计要求，发射塔与两个城镇 A，B 的距离相等，到两条高速公路 m 和 n 的距离也相等 . 发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置 . 解：发射塔应修建在 AB 的垂直平分线与 m 和 n 所夹锐角的平分线的交点处. 如图，点 P 即为符合条件的发射塔修建处. 达标练习 课堂练习 3. 如图，在△ABC 中，边 AB，BC 的垂直平分线相交于点 P. 【教材P71习题15.1 第13题】 （1）求证 PA = PB = PC. （2）点 P 是否也在边 AC 的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？ 达标练习 课堂练习 证明：（1）证明：∵边 AB，BC 的垂直平分线交于点 P，∴点 P 在 AB 的垂直平分线上. ∴PA = PB. 同理，PB = PC. ∴PA = PB = PC. （2）解：由（1）知 PA = PC， ∴点 P 也在边 AC 的垂直平分线上. 由此可得出结论： 三角形三边的垂直平分线交于一点. 课堂练习 大于 eq \f(1,2)AB的长 $