第十七章 因式分解 解题技巧与章末核心要点分类整合 课件 2025--2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了因式分解的定义、步骤、基本方法（提公因式法、公式法）及特殊方法（换元法、分组分解法等），通过章末核心要点分类整合和专题梳理，将知识点串联成逻辑网络，帮助学生建立完整的知识体系。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过数形结合（如卡片拼图分解因式）培养几何直观，借助换元法等特殊方法训练推理能力，设计分层练习（基础题到探究规律题）满足个性化需求。这种设计有效巩固知识，助力教师精准教学，提升复习效率。

方法技巧 因式分解的特殊方法 第十七章 因式分解 一般利用提公因式法和公式法分解因式，但有些多项式只用这两种方法不易分解或无法分解，这就需要利用其他方法进行分解，下面介绍了几种其他方法. 方法一 换元法 把(m2-2m)(m2-2m+2)+1 分解因式. 例1 解：设m2-2m=x， 则(m2-2m)(m2-2m+2)+1=x(x+2)+1 =x2+2x+1=(x+1)2=(m2-2m+1)2 =［(m-1)2］2=(m-1)4. 分解因式： (1)ad+bd-ax-ay-bx-by； 例2 方法二 分组分解法 解：ad+bd-ax-ay-bx-by=(ad-ax-ay)+(bd-bx-by) =a(d-x-y)+b(d-x-y)=(d-x-y)(a+b)； (2)4xy+1-4x2-y2. 解：4xy+1-4x2-y2=1-(4x2-4xy+y2) =1-(2x-y)2=(1+2x-y)(1-2x+y). 方法三 补项法 把x4+4分解因式. 例3 解：x4+4 =x4+4x2+4-4x2 =(x4+4x2+4)-4x2 =(x2+2)2-(2x)2 =(x2+2x+2)(x2-2x+2). 方法四 拆项法 把3y3-4y+1分解因式. 例4 解：3y3-4y+1=3y3-3y-y+1 =(3y3-3y)-(y-1)=3y(y2-1)-(y-1) =3y(y+1)(y-1)-(y-1)=(y-1)［3y(y+1)-1］ =(y-1)(3y2+3y-1). 方法五 先局部，再整体的方法 把(x-y)2-8(x2-y2)+16(x+y)2分解因式. 例5 解：(x-y)2-8(x2-y2)+16(x+y)2 =(x-y)2-8(x+y)(x-y)+16(x+y)2 =[(x-y)-4(x+y)]2 =(x-y-4x-4y)2 =(-3x-5y)2=(3x+5y)2. 把x-y 和x+y 分别看成一个整体，配凑成完全平方式 章末核心要点分类整合 第十七章 因式分解 1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作多项式的因式分解. 2.因式分解的方法：(1)提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c). (2)公式法：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)； ②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2. 3. 因式分解的步骤：一提，有公因式的先提公因式；二 套，套用公式；三查，检查因式分解的结果是否彻底. 专题一 因式分解的定义 链接中考 >> 因式分解与整式乘法主要从形式和结果两个方面区分，中考一般以选择题形式出现. [中考·济宁]下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是( ) A. x2-x-1=x(x-1)-1 B. x2-1=(x-1)2 C. x2-x-6=(x-3)(x+2) D. x(x-1)=x2-x 例1 解题秘方：紧扣因式分解的定义及因式分解与整式乘法之间的关系去识别. 答案：C 解：A. 右边不是整式的乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意；B. 形式上符合因式分解，但等号左、右两边不相等，不符合题意；C. 符合因式分解的定义，符合题意； D. 从左到右是整式的乘法，不符合题意. 专题二 利用提公因式法和公式法进行因式分解 链接中考 >> 因式分解与整式乘法是方向相反的变 形，因式分解的主要步骤有：一提、二套、三查. 因式分解是中考的热门考点，考查的形式主要是填空题. 分解因式： (1)[中考·湖南] a2+13a=_____________； (2)[中考·青岛] 3x2-3y2=_____________； (3)[中考·东营] 2m3-12m2+18m= _____________. 例2 解：(1)原式=a(a+13)； (2)原式=3(x2-y2)=3(x+y)(x-y)； (3)原式=2m(m2-6m+9)=2m(m-3)2. a(a+13) 3(x+y)(x-y) 2m(m-3)2 专题三 利用因式分解化简求值 链接中考 >> 在一些计算题或代数式的求值运算中，可以利用因式分解简化运算，并能将不能直接求解的问题转化为利用已知条件可以求解的问题. [中考· 内江]已知实数a，b满足a+b=2，则a2-b2+4b=________ . 例3 解题秘方：利用平方差公式因式分解，将已知式子的值整体代入，即可求解. 解：因为a+b=2，所以a2-b2+4b=(a+b)(a-b)+4b=2(ab)+4b=2(a+b)=4. 4 专题四 数形结合思想 专题解读>> 数形结合思想大致体现为两种情形：第一种情形是“以数解形”，有些图形直接观察找不出规律，可以将图形的边长、角度、面积等用数或字母表示出来，从而发现图形的规律；第二种情形是“以形助数”，把抽象的数学语言转化为直观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法. [重庆市江津区期末]运用数形结合思想可以使数与形之间相互转化. 一次实践课上， 某同学用如图17-1 ①所示的A， B，C三种卡片若干，拼成如图 17-1②所示的图形. 借助图形， 分解因式：3a2+5ab+2b2= _______________. 例4 (3a+2b)(a+b). 解题秘方：根据所给图形，得出大长方形的长和宽即可求解，能用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解题的关键. 解：图17-1 ②中一共用了3 张A卡片、5 张B卡片、2 张C卡片，组成的是一个长方形，长为3a+2b，宽为a+b. 因为3 张A卡片、5 张B卡片、2 张C卡片的面积之和为3a2+5ab+2b2，所以3a2+5ab+2b2=(3a+2b)(a+b). 类型一 巧用因式分解与整式乘法的关系求字母的值 1. [福建省厦门市高中自主招生]因式分解x2+mx-12=(x+p)(x+q)，其中m，p，q 都是整数，则这样的m的最大值是( ) A.1 B.4 C.11 D.12 C 类型二 选择合适的方法分解因式 2. 分解因式： (1)x3-16x； (2)(x-1)2-4； (3)16(a+b)2-9(a-b)2； 解：原式=x(x2-16)=x(x+4)(x-4)； 原式=(x-1+2)(x-1-2)=(x+1)(x-3)； 原式=［4(a+b)+3(a-b)］［4(a+b)-3(a-b)］=(7a+b)(a+7b)； (4)(a+b)2+6(a+b)+9； (5)b3-6b2+9b； (6)a4-2a2+1. 解：原式=(a+b+3)2； 原式=b(b2-6b+9)=b(b-3)2； 原式=(a2-1)2=［(a+1)(a-1)］2=(a+1)2·(a-1)2. 类型三 巧用因式分解计算 3. 用简便方法计算下列各式： (1)5392-439×539； (2)40×172-80×17×57+40×572； 解：原式=539×(539-439)=539×100=53 900； 原式=40×(172-2×17×57+572)=40×(17-57)2= 40×1 600=64 000; 26 (3)1002-992+982-972+962-952+…+22-1. 解：原式＝(100+99)×(100-99)+(98+97)×(98-97)+(96+95)×(96-95)+…+(2+1)×(2-1)=100+99+98+97+96+95+…+2+1=(100+1)×50=5 050. 27 类型四 巧用因式分解化简求值 4. [新考法 整体代入法]已知一个长方形的长为a，宽为b，周长为16，相邻两边长的平方和为34. (1)求此长方形的面积； 解：由题意得2a+2b=16，a2+b2=34， 所以a+b=8.所以(a+b)2=a2+b2+2ab=64,易求得ab=15. 所以S长方形=ab=15.故此长方形的面积为15. (2)求ab3+2a2b2+a3b 的值. 解：ab3+2a2b2+a3b=ab(b2+2ab+a2)=ab(a+b)2=15×64= 960. 类型五 巧用因式分解解决整除问题 5. [母题 教材P136 复习题T7]试说明：不论n 取何正整数，(n+5)2-(n-1)2一定是12 的倍数. 解：因为(n+5)2-(n-1)2＝(n+5+n-1)(n+5-n+1)=6(2n＋4)=12(n+2)，且n为正整数， 所以不论n取何正整数，(n+5)2-(n-1)2一定是12的倍数. 类型六 巧用因式分解判断三角形的形状 6. 已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a4-b2c2=b4-a2c2.试判断△ABC的形状，并说明理由. 解：△ABC是等腰三角形.理由：∵a4-b2c2=b4-a2c2， ∴a4-b4+a2c2-b2c2=0.∴(a2+b2)(a2-b2)+c2(a2-b2)=0. ∴(a2-b2)(a2+b2+c2)=0.∴(a+b)(a-b)(a2+b2+c2)=0. ∵a，b，c是△ABC的三边长，∴a2+b2+c2＞0,a+b＞0. ∴a-b=0，即a=b.∴△ABC是等腰三角形. 类型七 巧用因式分解解决实际问题 7. [期中·重庆铜梁区]在小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为(6a-4b) m，宽为(5b-a) m的长方形空地上，修建一横一竖、互相 垂直的通道，横向通道的宽度为a m， 纵向通道的宽度为b m，若修建通道的 造价为50 元/m2. (1)通道的面积共有多少平方米？ 解：a(5b-a)+b(6a-4b)-ab=5ab-a2+6ab-4b2-ab= (-a2-4b2+10ab) m2. 因此，通道的面积共有(-a2-4b2+10ab) m2. (2)若ab=8，a-2b=4，为了打造这块长方形空地，修建通道需要花费多少元？ 解：因为ab=8,a-2b=4，所以-a2-4b2+10ab=-(a2-4ab+4b2)+6ab=-(a-2b)2+6ab=-42+6×8=32. 32×50=1 600(元).因此，修建通道需要花费1 600元. 类型八 巧用因式分解探究规律 8. [新视角 规律探究题]数学小组在研究式子M2-N2时，发现当M，N是具有某种关系的两位数时，具有一定的运算规律： 112-112=0； 212-122=1×3×99； 322-232=1×5×99； 422-242=2×6×99；… 根据上述规律解决下列问题： (1)填空：522-252=_____×7×99； (2)若两位数M的十位上的数字为a，个位上的数字为b，写出你发现的规律，并加以证明； 3 解：发现的规律：(10a+b)2－(10b+a)2=(a－b)(a+b)× 99．证明如下：左边=(10a+b+10b+a)(10a+b-10b-a)= (11a+11b)(9a-9b)=99(a+b)(a-b)＝右边，故此等式成立． (3)小智发现某一式子M2-N2 (M≠N)的结果恰好是一个整数的平方，直接写出M的值． 解：M的值为65.点拨：因为M2－N2(M≠N)的结果恰好是一个整数的平方，所以由(2)知99(a－b)(a+b)是一个整数的平方．因为99(a－b)(a+b)=9×11×(a－b)(a+b)，1≤b<a≤9，且a，b为整数， 所以易得解得所以M=6×10+5=65． $