浙江省杭州学军中学2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题

**基本信息** 以人工智能市场数据、盐水选种等真实情境为载体，通过基础概念辨析（如集合运算）、能力提升（如导数证明）、创新应用（如抛物线切线对称）的梯度设计，全面覆盖高二下数学核心知识，培养数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|集合、函数、数列、直线与圆|基础概念辨析，如等比数列求和、直线与圆位置关系| |选择题（多选）|3/18|统计、不等式、抛物线|结合AI市场数据考回归分析（第9题），体现数据观念| |填空题|3/15|二项式定理、解三角形、概率|解三角形面积计算，检测基本运算能力| |解答题|5/77|概率统计、数列、立体几何、导数、抛物线|盐水选种概率分布（15题）、三棱锥二面角（17题）、抛物线切线对称（19题），综合考查数学思维与表达|

高二下数学科目测试卷 命题人：封荣旭 审题人：龙崎钢 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集为，集合，，则 A． B． C． D． 2．若 ，则 A． B． C． D． 3．设等比数列的前项和为，若，则 A．24 B．32 C．36 D．108 4．直线绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆的位置关系是 A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心 C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点 5．“”是“”的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数的图象在点处的切线经过坐标原点，则 A． B． C． D． 7．甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，若甲和乙之间恰好有1人，且丙和丁不相邻，则不同排法共有（   ） A．16种 B．20种 C．24种 D．28种 8．已知直线BC垂直单位圆O所在的平面，且直线BC交单位圆于点A，，P为单位圆上除A外的任意一点，l为过点P的单位圆O的切线，则 A．有且仅有一点P使二面角取得最小值 B．有且仅有两点P使二面角取得最小值 C．有且仅有一点P使二面角取得最大值 D．有且仅有两点P使二面角取得最大值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．2025年1月20日，DeepSeek发布并开源DeepSeek-R1模型，这是继ChatGPT之后人工智能技术的又一次突破，对人工智能市场的发展产生了巨大的推动作用.以下是收集到的2015年至2024年人工智能的市场规模（单位：十亿美元）的数据： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 市场规模 6.4 9.5 13.8 20.1 29 40.7 58 80.4 110 150 设与的关系可以用线性回归模型进行拟合，4.8，则（    ） A．人工智能的市场规模与年份正相关 B．人工智能的市场规模的分位数为110 C．关于的回归方程为 D．人工智能的市场规模的年增长率约为 10．已知，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．当时， C．当时，的取值范围是 D．当，，时， 11．已知点在焦点为的抛物线上，其中是各项均不为零的数列且．若，则（    ） A． B．数列为等差数列 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的展开式中的系数为，则实数______. 13．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，， ，则的面积为________． 14．一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第次命中目标”，，，，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（17分） 盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良．现对一批某品种种子的密度（单位：）进行测定，测定结果整理成频率分布直方图如图所示，认为密度不小于的种子为优种，小于的为良种．自然情况下，优种和良种的萌发率分别为和． （1）估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （2）用频率估计概率，从这批种子（总数远大于）中选取粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为，求随机变量的分布列和数学期望（各种子的萌发相互独立）． 16．（1 5分） 已知等比数列的前项和，满足，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，记数列的前项和，求的最大值. 17．（15分） 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 18．（17分） 已知函数的定义域是，，导函数，设是曲线在点处的切线． （1）求的最大值； （2）当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； （3）若实数a满足当时，总有成立，则称a为函数的一个“T点”，求的所有T点． 19．（17分） 如图，O为坐标原点，设抛物线方程为，M为直线上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B. （1）已知当M点的坐标为时，，求此时抛物线的方程； （2）设点J为M关于直线AB的对称点，，证明：； （3）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $