江苏常州市2025-2026学年七年级下学期期末数学模拟试卷

**基本信息** 以文化传承与生活实践为情境载体，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，全面考查七年级下册数学核心知识与抽象、推理、应用等素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|轴对称、不等式性质、图形分割、钟面对称、古代数学问题、假命题反例、三角板角度、幂的运算|第1题结合《国家宝藏》博物馆标志考轴对称（文化情境），第5题“绳索量竿”体现古代数学传承| |填空题|8/16|不等式组解集、整式运算、逆命题、科学记数法、三角形高、垂直平分线、利润问题、亏数概念|第16题引入“亏数”新定义，考查数学抽象与应用能力| |解答题|9/68|实数运算、整式化简求值、方程（组）与不等式组求解、几何证明、规律探究、对称作图、实际应用、几何综合|第21题“连续整数平方和”规律探究（推理意识），第25题平行线间角关系分层设问（空间观念），第23题超市购物方案（模型意识）|

江苏省常州市2025-2026学年七年级下学期期末数学模拟试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．《国家宝藏》节目通过演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让馆藏文物一个个鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．用不等式的性质说明图从左至右的变化中所体现的数学事实，正确的是（　　） A．如果a+c＞b+c，那么a＞b B．如果a＜b，那么a+c＜b+c C．如果a﹣c＞b﹣c，那么a＞b D．如果ab＞bc，那么a＞b 3．如图，长为y（cm），宽为x（cm）的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm，下列说法中正确的有（　　） ①小长方形的较长边为（y﹣12）cm； ②阴影A的较短边为（x﹣4）cm； ③若x为定值，则阴影B的周长为定值； ④当x＝16且y＝25时，阴影A和阴影B的面积和为140cm2． A．①② B．①③ C．①③④ D．①④ 4．如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（　　） A．点B B．点C C．点D D．点E 5．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”题目大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短了5尺．设竿长为x尺，绳索长为y尺，则符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 6．要说明命题“若|a|＞b，则a＞b”是假命题的反例可以是（　　） A．a＝4，b＝2 B．a＝﹣2，b＝1 C．a＝﹣1，b＝﹣2 D．a＝2，b＝0 7．将一副三角板按如图所示摆放，两个三角板的斜边重合，则∠1的度数为（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 8．已知N2＝3m×9n×27k，其中m，n，k，N是正整数，则下列说法中正确的是（　　） A．m是偶数 B．m+k是偶数 C．m+n+k是偶数 D．m是奇数，n+k是偶数 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．不等式组的解集是 　 　 ． 10．若2m＝a，2m+n＝ab3，则用含b的式子表示2n＝　 　 ． 11．请写出命题“如果a＞b，那么b﹣a＜0”的逆命题：　 　 ． 12．通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000074m/s，比蜗牛爬行的速度还慢．将数据“0.000074”用科学记数法表示为　 　 ． 13．在△ABC中，BE为△ABC的高，∠A＝50°，∠CBE＝20°，则∠ABC＝　 　 °． 14．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长是 　 　 ． 15．一箱某品牌秋月梨的原价为60元，中秋节当天，商家为回馈新老客户，按原价的九折销售，仍可获利20%，则每箱该品牌秋月梨的进价为　 　 元． 16．自然数15的所有因数为1，3，5，15，这些因数具有关系1+3+5＝9＜15；自然数8的所有因数为1，2，4，8，这些因数具有关系1+2+4＝7＜8．像15，8这样的数叫作亏数．若亏数n的所有因数为1，a，5，n（按从小到大排列），则n的值为　 　 ． 三、解答题（本大题共9小题，共68分.第17、18、19、23、24题每题8分，第20、21、22题每题6分，第25题10分） 17．计算： （1）30+3﹣1； （2）（a+3）（a﹣2）． 18．先化简，再求值：4（x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3），其中． 19．（1）解方程组； （2）解不等式组． 20．如图，点O为直线AB上一点，OF⊥OE，∠DOE＝55°，OF平分∠AOD，∠D＝110°．证明：CD∥AB． 21．发现：任意五个连续整数的平方和是5的倍数． 验证：（1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？ （2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数． 延伸：任意三个连续整数的平方和能被3整除吗？如果不能，余数是几呢？请给出结论并写出理由． 22．如图为由等边三角形组成的网格纸． （1）先画出△OAB关于直线m对称的△OAC，再画出△OAC关于直线n对称的△ODC； （2）在（1）的条件下，△ODC可以看作由△OAB绕　 　 顺时针旋转n°（0＜n＜360）得到，则n的值为　 　 ． 23．某同学在A，B两家超市发现他看中的随身听单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听单价比书包单价的4倍少8元． （1）该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？ （2）某天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物每满100元返30元购物券（不足100元不返券，购物券全场通用），该同学只带了400元钱，他能否在这两家超市都可以买下看中的这两样商品？在哪一家购买更省钱？ 24．若方程mx+ny＝6有两个解和，求m+n的值． 25．如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE； （3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数． 参考答案 一．选择题（共8小题） 1．【解答】解：选项B不能找到这样的一条直线，使得这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故B不是轴对称图形； 选项A、C、D均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 2．【解答】解：由如图可得a+c＞b+c，由如图可得a＞b， 那么如果a+c＞b+c，那么a＞b， 故选：A． 3．【解答】解：①小长方形的较长边为（y﹣12）cm 由图可知，大长方形的长y等于小长方形的较长边加上3个小长方形的较短边（较短边为4cm），即y＝小长方形较长边+3×4，所以小长方形较长边＝y﹣12，故①正确． ②阴影A的较短边为x﹣4×2＝（x﹣8）cm，并非（x﹣4），故②错误． ③若x为定值，阴影B的周长为定值 阴影B的长为3×4＝12cm，宽为[x﹣（y﹣12）]cm，周长＝2×[12+（x﹣（y﹣12））]＝2×（x﹣y+24）．因为x为定值时，y不确定，所以周长不是定值，故③错误． ④当x＝16且y＝25时，小长方形较长边为25﹣12＝13cm，阴影A和阴影B的面积和为25×16﹣13×4×5＝140cm2，故④正确． 故选：D． 4．【解答】解：由题意可知，点A关于钟面中心O的对称点为点D． 故选：C． 5．【解答】解：设竿长为x尺，绳索长为y尺， ∵用绳索去量竿，绳索比竿长5尺； ∴y＝x+5， ∵将绳索对半折后再去量竿，就比竿短了5尺， ∴， ∴， 故选：B． 6．【解答】解：∵当a＝﹣2，b＝1时， ∴|a|＝|﹣2|＝2，2＞1，即|a|＞b成立， 又∵﹣2＜1，即a＞b不成立， ∴此例可作为原命题的反例，故B 符合题意，其他选项不符合题意， 故选：B． 7．【解答】解：∠1＝30°+45°＝75°， 则∠1的度数为75°， 故选：C． 8．【解答】解：∵3m×9n×27k＝3m×32n×33k＝3m+2n+3k＝N2， ∴m+2n+3k一定是偶数，而2n是偶数， ∴m+3k是偶数， 即m+k是偶数， 故选：B． 二．填空题（共8小题） 9．【解答】解：不等式组的解集是x＞3． 故答案为：x＞3． 10．【解答】解：∵2m＝a， ∴2m+n＝2n×2m＝2n×a＝ab3， ∴2n＝b3， 故答案为：b3． 11．【解答】解：命题“如果a＞b，那么b﹣a＜0”的逆命题是“如果b﹣a＜0，那么a＞b”． 故答案为：如果b﹣a＜0，那么a＞b． 12．【解答】解：0.000074＝7.4×10﹣5． 故答案为：7.4×10﹣5． 13．【解答】解：依照题意画出图形，如图所示. ∵BE为△ABC的高， ∴∠AEB＝90°． 在△ABD中，∠AEB＝90°，∠A＝50°， ∴∠ABE＝180°﹣∠AEB﹣∠A＝180°﹣90°﹣50°＝40°． 当△ABC为钝角三角形时，∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE＝40°﹣20°＝20°； 当△ABC为锐角三角形时，∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+20°＝60°． ∴∠ABC＝20°或60°． 故答案为：20或60． 14．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm， ∴DA＝DC，AC＝6cm， ∵△ABD的周长为12cm， ∴AB+BD+AD＝12cm， ∴AB+BD+DC＝AB+BC＝12cm， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝12+6＝18（cm）， 故答案为：18cm． 15．【解答】解：设每箱该品牌秋月梨的进价为x元， 根据题意得：60×0.9﹣x＝20%x， 解得：x＝45， ∴每箱该品牌秋月梨的进价为45元． 故答案为：45． 16．【解答】解：因为n为亏数， 所以1＜a＜5＜n，1+a+5＜n，5a＝n， 当a＝2时，n＝10， 当a＝3时，n＝15， 当a＝4时，n＝20，20不止4个因数， 所以n的值为10或15． 故答案为：10或15． 三．解答题（共9小题） 17．【解答】解：（1）原式 ； （2）原式＝a2﹣2a+3a﹣6 ＝a2+a﹣6． 18．【解答】解：4（x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3） ＝4（x2﹣2x+1）﹣（4x2﹣9） ＝4x2﹣8x+4﹣4x2+9 ＝﹣8x+13， 当x时，原式＝﹣813＝﹣4+13＝9． 19．【解答】解：（1）解方程组， 把①代入②，得3×2y﹣2y＝4， 解得y＝1， 把y＝1代入①，得x＝2×1＝2， 所以方程组的解是； （2）， 解不等式①，得x＞﹣2， 解不等式②，得x＜3， 所以不等式组的解集是﹣2＜x＜3． 20．【解答】证明：∵OF⊥OE， ∴∠FOE＝90°， ∵∠DOE＝55°， ∴∠DOF＝35°， ∵OF平分∠AOD， ∴∠AOD＝2∠DOF＝2×35°＝70°， ∴∠AOD+∠D＝70°+110°＝180°， ∴CD∥AB． 21．【解答】解：（1）∵（﹣1）2+02+12+22+32＝1+0+1+4+9＝15＝5×3 ∴结果是5的3倍． （2）设五个连续整数的中间一个为n，则另四个整数为：n﹣2，n﹣1，n+1，n+2 ∴它们的平方和为（n﹣2）2+（n﹣1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2 ∵（n﹣2）2+（n﹣1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2＝5n2+10＝5（n2+2） ∴它们的平方和是5的倍数 延伸：不能被3整除，余数为2 设中间的整数为n， ∵（n﹣1）2+n2+（n+1）2＝3n2+2 ∴不能被3整除，余数为2 22．【解答】解：（1）如图，△OAC和△ODC即为所求． （2）由图可知，△ODC可以看作由△OAB绕点O顺时针旋转120°得到， ∴n＝120． 故答案为：点O；120． 23．【解答】解：（1）设该同学看中的随身听的单价是x元，书包的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：该同学看中的随身听的单价是360元，书包的单价是92元； （2）根据题意得：在超市A买下看中的这两样商品，费用为452×80%＝361.6（元）； 在超市B买下看中的这两样商品， ∵360÷100＝3 （组）……60（元）， ∴费用为360﹣30×3+92＝362（元）． ∵361.6＜362＜400， ∴在这两家超市都可以买下看中的这两样商品，在超市A购买更省钱． 24．【解答】解：由题意， ①×2+②×3，得5m＝30，解得m＝6， 把m＝6代入①，得﹣12+3n＝6，解得n＝6， 所以m+n＝12． 故答案为：12． 25．【解答】（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN， ∵MN∥PQ，AD∥MN， ∴AD∥MN∥PQ， ∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB， ∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA， 即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，∵CD∥AB， ∴∠CAB+∠ACD＝180°， ∵∠ECM+∠ECN＝180°， ∵∠ECN＝∠CAB ∴∠ECM＝∠ACD， 即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE， ∴∠MCA＝∠DCE； （3）∵AF∥CG， ∴∠GCA+∠FAC＝180°， ∵∠CAB＝60° 即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°， ∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA， 由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP， ∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN， ∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF， 又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN， ∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°， ∴∠GCA﹣∠ABF＝60°， ∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°， ∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA ＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF ＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF ＝120°． 学科网（北京）股份有限公司 $