黑龙江牡丹江市第一高级中学2026届高三下学期热身训练(一)数学试题

牡丹江市第一高级中学2026届高三热身训练一 数 学 2026.5.25 胸藏数学底气，落笔皆是佳绩!放平心态作答，所愿皆能成真！ 注意事项： 1.答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效． 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.复数，则复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【详解】由题意知，，则， 在复平面内对应的点为，在第一象限. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C【详解】，又，则 3. 已知是单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】因为是单位向量，且,所以 4. 双曲线的渐近线方程为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【详解】由题意得，则. 5. 知一组数据：4，6，a，10，12的平均数为8，则该组数据的第40百分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【详解】由题意可得 ，解得，将数据按升序排列可得 ， 因为为整数，所以该组数据的第40百分位数为. 6. 函数，，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】当时，，即解得或（舍）， 当时，，即，， 方程无实数解，综上. 7. 已知圆柱和圆锥的高均为3，侧面积之比为，底面半径之比为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【详解】设圆锥、圆柱的底面半径为，，则圆锥的母线长为， 则圆锥、圆柱的侧面积分别为、， 则，得，则圆锥的体积为. 8. 某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成（如图1）.运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线上选取一点P作为起跑点，沿直线加速后从点Q切入弯道内侧分道线，即与内侧分道线相切.以半圆的圆心O为原点，建立平面直角坐标系（如图2）.若，，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】因为是圆的切线，所以，且， 由勾股定理可得，因此点的坐标为， 因为，所以圆的切线的斜率为， 所以圆的切线的方程为，化简，得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，表示不同的平面，l表示直线，则下列条件能得出的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABC 【详解】根据面面垂直的判定定理，， ，推出，正确. 已知，由线面平行的性质，可得内存在直线满足； 又，因此 ，结合面面垂直判定可得，正确. 已知， ，由面面平行的性质，推出，正确. 若 ， ，则与可以平行，也可以相交，且相交时不一定垂直，无法推出，错误. 10. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上只有一个零点 C. 在上单调递增 D. 点是图象的一个对称中心 【答案】BD 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变， 可以得到，再将所得图象向右平移个单位长度， 可得到函数的图象． 对于A选项，函数的最小正周期为，A选项错误； 对于B选项，，，解得， 只有一个零点，B选项正确； 对于C选项，，，而在上不单调， 故在上并不单调，C选项错误； 对于D选项，，D选项正确． 故选：BD. 11. 已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是坐标原点，P是椭圆C上任意一点，点，则下列结论正确的有（ ） A. 的周长为6 B. 的面积为时， C. 周长的最小值是 D. 面积的最大值为 【答案】ACD 【详解】由题意得，，故的周长为，故A正确， 当的面积为时，有，即，故B错误， 周长为, 当三点共线，在之间时的周长最小，此时 , 故周长的最小值为，故C正确， 直线的方程为，即， 设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立，得， 则 ，解得， 当时，直线与椭圆切点到直线的距离最大，即， 故面积的最大值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等差数列的前n项和，若，，则______． 【答案】70 【详解】设等差数列的首项为​，公差为，通项公式为， 由，得：  ① 由，得： ② 联立解得，，   . 13. 如图，已知斜四棱柱，底面是正方形，，则图二所示的几何体的体积为__________. 【答案】 ； 14. 投掷一枚质地均匀的骰子，直到掷出数字1或6为止，则在掷出1或6之前，数字2，3，4，5每个都至少出现一次的概率为_________． 【详解】定义状态i（）表示在停止事件（掷出1或6）发生之前， 已经观察到不同的数字来自集合的个数， 设为从状态i出发最终成功的概率（即最终在掷出1或6之前已经收集全4个数字）， 显然，当时，已经收集全4个数字，此后无论掷出什么，只要首次掷出1或6时即成功，因此， 对于状态i（），考虑下一次掷骰子的结果，有三种可能： ①掷出数字1或6（概率为），此时停止，但由于尚未收集全4个数字（），因此失败，成功的概率为0， ②掷出一个已经出现过的属于的数字（概率为），状态保持不变， ③掷出一个未出现过的属于的新数字（概率为），状态转移到， 因此，从状态i出发，最终成功的概率满足方程： ， 化简得，移项得， 即． 利用，依次计算得 ， ， 因此，所求概率为． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积． 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得， 整理得：， 因为，所以，故， 因为，所以． 【小问2详解】由余弦定理，得，即， 整理得，又，， 所以，所以， 故的面积为． 16 我国人工智能大模型发展迅猛，其中语言模型（处理、理解和生成人类语言）和多模态模型（处理、理解和生成文本、图像、音视频等）是其中两个重要的领域，某研究机构对2025年某区域的企业发布的所有大模型中随机抽取了14款进行标准化测试，由测试数据得到下面的散点图： (1)用频率估计概率，根据2025年该区域的企业发布大模型的分布情况，估计该区域2026发布的大模型是多模态模型的概率； (2)若t为时间变量，y为分数，根据多模态模型数据（，2，3，4，5，6，表示2025年1月份，表示2025年6月份，…），计算得，，. （i）建立y关于t的线性回归方程； （ii）根据语言模型的数据建立的回归方程为，该区域的某家企业在2026年4月发布了1款标准化测试得分为68分的大模型，定义统计量，Q值越小的大模型发生的可能性越大，则该款大模型更有可能是语言模型还是多模态模型，并说明理由. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，, . 【详解】（1）由2025年的数据可知，随机抽取了14款大模型，其中多模态模型有6款，用频率估计概率，多模态模型的频率为，所以该区域2026发布的大模型是多模态模型的概率为. （2）(i)  因为，，， 表示2025年1月份，表示2025年6月份，所以 所以， 所以，根据， 所以y关于t的线性回归方程为： (ii) 已知2026年4月，则，计算多模态模型的预测值和残差，，残差为：，所以.再计算语言模型的预测值和残差，，残差为：，，所以，所以根据值越小的大模型发生的可能性越大，所以该款大模型更有可能是语言模型. 17. 如图，在四棱锥中，，，两两垂直，，，且. （1）证明：平面平面. （2）设，三棱锥的体积为. （i）求的单调区间； （ii）当取得最大值时，求直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】因为，且，面，所以面， 因为面，所以平面平面. 【小问2详解】（i）由可知，当时，，因为，所以， 可知， 因为，所以，可知，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 则的单调递增区间为，单调递减区间为. （ii）由（i）可知函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 即函数在时取得极大值，也是最大值， 则， 以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 设面的法向量为，可知，即， 令，解得，可得面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18．已知抛物线：的焦点为F，顶点为，点在上. (1)求的方程； (2)已知点在上，过M且斜率为2的直线交于点Q，令. （i）求点P的坐标（用t表示）； （ii）设直线与的另一个交点为N，焦点F到直线的距离是否存在最大值?若存在求其最大值.若不存在，请说明理由. 【详解】（1）将点代入得，所以：. （2）（i）过M点斜率为2的直线， 直线方程，由得， 可得，设，由得， 即，解得，所以. （ii）因为，所以直线方程为， 解方程组，得，所以， 直线：，整理得，因此直线过定点.又，所以，所以点F到直线的最大距离为. 19.已知函数. （1）若有3个零点，求的取值范围； （2）设为的极值点，. （i）证明：； （ii）数列满足， 证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $牡丹江市第一高级中学2026届高三热身训练一 数学2026.525 胸藏数学底气，落笔皆是佳绩放平心态作答，所愿皆能成真！ 注意事项： 1.答题前，考生须将自已的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形 码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域 内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效. 4保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是符合题目要求的. 1.复数：=-2+31，则复数号对应的点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合M={xx-3≤0}，N={xx>},则M∩N=() A.[-1,+o∞) B.（0,3) c.(1,3] D.（-1+o) 3.知a,b是单位向量，且<a,b>- ,则a-6=（) 2 1 A. B-1 c.5 D._V3 2 2 1 4双曲线CX-a>0.b≥0的渐近线方程为V三士，x,则C的离心率为( -2 B c v5 D.5 4 2 5知一组数据：4,6，a,10,12的平均数为8，则该组数据的第40百分位数为() A.6 B.7 C.8 D.9 x(x+4),x≥0， 6.数f(x)= 若f(a)=12,则实数a=() x(4-x),x<0, A.1 B.2 C.-1 D.-2 7.已知圆柱和圆锥的高均为3，侧面积之比为1：3，底面半径之比为1：2，则圆锥的体积为() A.27π B.36π C.72π D.108元 8.某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成 (如图1).运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线AB上选 外侧分道线 取一点P作为起跑点，沿直线P⑨加速后从点Q切入弯道内侧分 内侧分道线 道线，即P9与内侧分道线相切.以半圆的圆心O为原点，建立平 面直角坐标系（如图2）.若OA=40,PQ=9,则直线P9的 图1 图2 方程为() A.40x+9y-1640=0 B.40x-9y-1640=0 C.9x+40y-369=0 D.9x-40y-369=0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项 第1页/共3页 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若，B,Y表示不同的平面，1表示直线，则下列条件能得出⊥B的是() A.1cB,1⊥a B.l⊥B,1/1ax c./1y,B⊥Y D.⊥y,B⊥Y 10,将函数()=s血+引的图象上所有点的横坐标缩短为原来的}，纵坐标保持不变，再将所得图象向 右平移亚个单位长度， 得到函数g(x)的图象，则下列结论中正确的是() 6 A.8(x)的最小正周期为4π B. g(x)在 3 上只有一个零点 C.8(x)在 0π 上单调递增 5π D.点 0 是g()图象的一个对称中心 2 1.己知椭圆C:+y =1,E,E分别是椭圆C的左右焦点，O是坐标原点，P是椭圆C上任意一 43 点，点A(1,1),则下列结论正确的有() A.△FPF的周长为6 B.△PF的面积为√5时，∠EPE- 6 C.△FPA周长的最小值是3+√5 D.△FPA面积的最大值 5-2 D C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. A 12.记Sn为等差数列{a}的前n项和，若4，+4=6,2a+a4=8,则S0= 13.如图，已知斜四棱柱ABCD-AB,CD,底面A1BCD是正方形， AB=2,AA,=10,∠AAB=120°，∠AAD=90°，则图二所示的几何体的体积为 14.投掷一枚质地均匀的骰子，直到掷出数字1或6为止，则在掷出1或6之前，数字2， D. 3,4,5每个都至少出现一次的概率为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2c-b)cosA=a.cos B. (1)求角A的大小： (2)若a=√3，b+c=2√3，求△ABC的面积 16.我国人工智能大模型发展迅猛，其中语言模型（处理、理解和生成人类语言）和多模态模型（处理、 理解和生成文本、图像、音视频等)是其中两个重要的领域，某研究机构对2025年某区域的企业发布的 所有大模型中随机抽取了14款进行标准化测试，由测试数据得到下面的散点图： 分数/分 70 65 60 55 5o以 40 35 3 4 6 7 8 9101112月份 *多模态模型 ●语言模型 (1)用频率估计概率，根据2025年该区域的企业发布大模型的分布情况，估计该区域2026发布的大模型是 第2页/共3页 多模态模型的概率： (2)若t为时间变量，y为分数，根据多模态模型数据(，)(i=1,2,3,4,5,6,(=1表示2025年1 月份，5=6表示2025年6月份，…)，计算得y=53,∑f=352, 之5-(y-)=116 ≥1 ()建立y关于t的线性回归方程： (i)根据语言模型的数据建立的回归方程为y=6.5nt+50.3,该区域的某家企业在2026年4月发布了1 款标准化测试得分为68分的大模型，定义统计量0= 残差 预测值 Q值越小的大模型发生的可能性越大，则 该款大模型更有可能是语言模型还是多模态模型，并说明理由 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b= -0w-可 a=y-bi, 6-讨 26-02=22-i,h2≈07. i=1 17.如图，在四棱锥E-ABCD中，AB,AD,AE两两垂直，BC∥AD,AB:BC:AD=3:2:6,且 AB+AE=6. (1)证明：平面ACE⊥平面ABCD D (2)设AB=t,三棱锥A-BDE的体积为V(t) (i)求V(t)的单调区间： (ii)当V(t)取得最大值时，求直线BD与平面CDE所成角的正弦值. 18.已知抛物线T:y=2x(p>0)的焦点为F,顶点为O,点A(4,4)在T上 (1)求T的方程： (2)已知点M(t2,2t)(t>0)在T上，过M且斜率为2的直线交OA于点Q,令 MO=OP (i)求点P的坐标（用t表示）： (i)设直线OP与T的另一个交点为N,焦点F到直线MN的距离是否存在最大值？若存在求其最大值.若 不存在，请说明理由， 19.己知函数f(x)=√xlnx-a(x-1),a∈R (1)若f(x)有3个零点，求a的取值范围： (2)设x,x为f(x)的极值点，x<x (i)证明：f(x)+f(x)>0: (数列a}满是a∈d,fa)=fa), 证明： -a> 台√f(a)Vf(a) 2(a-a) 第3页/共3页