河北唐山市曹妃甸区2025-2026学年第二学期期中质量检测高一数学试卷

**基本信息** 高一下学期期中数学试卷，涵盖统计、概率、立体几何等模块，以3D打印模型、文明城市竞赛等真实情境设计问题，注重数学眼光观察现实、思维推理与数据语言表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|分层抽样、分位数、复数、概率事件关系|基础题梯度分布，如分层抽样结合学生人数抽样情境，概率事件考查互斥与独立判断| |填空题|3题/15分|三角恒等变换、解三角形、立体几何体积与线线角|小综合设计，如结合体积最值求线线角余弦值，体现空间观念| |解答题|5题/77分|统计图表分析、解三角形（角平分线）、立体几何（线面角、二面角）|综合性强，文明城市竞赛统计题考查百分位数与方差计算，立体几何动态动点问题探究体积与截面面积，培养推理能力与数据意识|

曹妃甸区2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 0 10 答案 B C B C B C BC ABD 题号 11 答案 AC 【分析】先由条件得到tana=-2,结合二倍角公式，化弦为切，代入求出答案. 【详解】因为sina+2cosa=0,所以tana=-2, sin 2a+cos2 a=- 2sina cosa+cos a 2tana+1-4+13 sin2a+cos2a tan2a+1 4+1 5 故答案为：一 5 13.3 0.75 【分析】应用余弦定理结合正弦定理计算 【详解】sinB=sin4sinC由正弦定理得b2=ac,结合题设， 所以a2-ac-2c2=0→(a+c)(a-2c)=0→a=2c, 所以cosB=a2+2-B_2+2x2+c2-6x23 2ac 2ac 4c24 故答案为：4 14.26 26 【分析】由已知可得AC=√3BC=√10，由已知可得BD=CD=√5时，体积最大值，进而可求直线AC 与BE所成角的余弦值， 【详解】因为BD⊥CD,所以BC>BD,所以AC=√I3, 又因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥BC,所以BC=√13-3=√10， 又BD2+CD2=10≥2BDCD, 当且仅当BD=CD时等号成立， 所以r=×BDCDX5s55,当BD=CD=V5时取最大值， 32 6 取AC的中点F,连接BE,EF,FB,所以EF∥AC, 所以∠BEF(或其补角)为直线AC与BE所成的角， 1 因为=54D=分5=5，r-4C=,-5+ ,55 2 2 1325 所以cos∠BEF=BE2+EF2-BF22+ 44√26 2BE·EF 2x132 26, 2 直线AC与BE所成角的余弦值为V26 26 D 15.(1)a=0.030;第75百分位数为84. (2)5个 (3)总平均数z=62,总方差s2=23. 【分析】(1)根据各组的频率和为1列方程可求出a的值，再判断第75百分位数m∈(80,90)，然后列方程 可求得结果： (2)先根据频率分布直方图计算出成绩在[70,100]和[80,90)样本人数得成绩在[80,90)的比例系数，再根据 比例抽样即可： (3)先计算成绩在[50,60)和[60,70)的市民人数，再根据分层随机抽样的总平均数和总方差的公式计算即 可. 【详解】(1)(1)由每组小矩形的面积之和为1得， 0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1,所以a=0.030. 成绩落在[40,80)内的频率为0.05+0.1+0.2+0.3=0.65， 落在[40,90)内的频率为0.05+0.1+0.2+0.3+0.25=0.9， 显然第75百分位数m∈(80,90)，由0.65+(m-80)×0.025=0.75, 解得m=84,所以第75百分位数为84. (2)由频率分布直方图知，样本成绩为[70,80)[80,90)[90,100]的三组答卷的市民有 100×10×(0.03+0.025+0.01)=65个样本， 成绩在[80,90)的市民人数为100×10×0.025=25， 965x13=5个 所以用分层抽样的方法应在答卷成绩为[80,90)的中抽取市民人数为三、 (3)由频率分布直方图知，成绩在[50,60)的市民人数为100×0.1=10， 2 成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20， 所以总平均数：=10×56+20x65 =62 10+20 由样本方差计算总体方差公式，得总方差为 =10{107+(56-62]+20[4+(65-62]}=23. 10+20 16.()BC=6V7 (2)36 4 【分析】1)由已知可得m4+爱=1，进而可求4=骨，进而得D=6+AC),两边平方结合已知可 求A8=号，再结合余弦定星可求得BC: (2)设AC=2AB=2AD=21,由角平分线可求得BD=1,DC=2,利用角平分线可得+-1_P+4-, 2t2 4t2 可求t=√2，进而结合余弦定理，可求三角形的面积 【详解】(1)因为5sinA+cosA=2,所以25si sin 4+cos4)=2. 2 2 所议m4+山，0<A<元，所以A+,所以1不 6 3 D为BC的中点， ÷D=(a6+4C), 平方得而°=丽+2西C+4C）丽P+2州4Ceos4+C）=3 AC=2AB,|4B+24BAC|cos A+ACP=12, 六B+2f+4=12,0-号， 由余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2 4B-AC cosA=36 BC=67 7 (2)设AC=2AB=2AD=2t, :AD平分∠BAC,:B=BD-1 AC DC2 又BC=3,得BD=1,DC=2, ,'AD平分∠BAC,则cOS∠BAC=cOS∠CAD, 所以+-1_+4-1，解得1=5，则4B=万，4C=2W2, 2t2 4t2 3 1137 e4BC中，cos∠BAC=4B+HCC=。,则sin B1.C=164=g 2AB.AC 8 所以5.e=号4B4Csin∠B4C=x25x5x35_37 1 2 84 17.(1)66.8 (2)76.3 o号 【分析】(1)根据平均数等于各小矩形的面积乘以各组中值的和，即可求出： (2)先判断第三四分位数在[70,80)内，根据百分位数公式即可求出： (3)先根据分层抽样确定第5,6组人数，再根据古典概型的概率公式即可求出. 【详解】(1)本次考试成绩的平均数约为45×0.010×10+55×0.026×10+65×0.020×10 +75×0.030×10+85×0.08+95×0.006×10=66.8. 所以本次考试成绩的平均数66.8 (2)因为0.010×10+0.026×10+0.020×10=0.56<0.75， 0.010×10+0.026×10+0.020×10+0.030×10=0.86>0.75, 所以第三四分位数，即第75百分数在[70,80)内， 所以第三四分位数=70+0：75-0.56×10≈76.3， 0.86-0.56 所以估计第三四分位数约为76.3 (3)第5组人数为50×0.08=4，第6组人数为50×0.06=3， 被抽取的成绩在[80,90)内的4人，分别记为a,b,c,d: 成绩在[90,100]内的3人，分别记为A,B,C;则从这7人中随机抽取2人的情况为： (a,b),(a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(a,C),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(b,C), (c,d),(c,A),(c,B),(c,C),（d,A),(d,B)(d,C),（A,B),(A,C),(B,C) 共21种； 其中被抽到2人中至少有1人成绩优秀的情况为：（a,A),（a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C), (c,A),(c,B),(c,C),（d,A),(d,B),(d,C),（A,B),(A,C),(B,C)共15种. 故抽到2人中至少有1人成绩优秀的概率为P=15= -217 18.①)A=3 π 4 (2)9√5 【分析】(1)利用正弦定理将边向角转化，然后利用三角函数的公式变形可得答案： )由S此csm2红b:Dsn+4Dsn孕可得bc=36+3C,然后利用基本不等式可得答系 32 【详解】(1)由正弦定理，得√3sinC=√3 sin Acos B-sin Asin B, 得√5sin(A+B)=√5 sin Acos B+√5 cos Asin B=√5 sin Acos B-sin Asin B, 得√5 cos Asin B=-sin Asin B, 因为AB∈(O,r)sinB≠0，所以tan 4=V3,即A=2π 3 2因为5cs0sm0sn π1 π 所以bc=3b+3c. 因为bc=3b+3c≥6Vbc，即bc236(当且仅当b=c=6时，等号成立)， 新议Sc二8bc≥9W5.故△ABC面积的最小值为W 19.)证明见解折：2)9：(3) 【分析】(1)证明AE⊥平面PBC即可； (2)作EF⊥AB于点F,则F是AB的中点，连接DF,则∠EDF为DE与底面ABCD所成的角，即可求 解； (3)作FG⊥CD,垂足为G,则G为CD的中点，连接EG,则CD⊥EG,所以∠EGF为所求二面角的 平面角，即可求解。 【详解】(I)证明：因为PA⊥底面ABCD,BCc底面ABCD,所以PA⊥BC. 因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥AB,所以BC⊥平面PAB. 因为AEC平面PAB,所以BC⊥AE 因为E为PB的中点，PA=AB,所以AE⊥PB 又因为BC∩PB=B,所以AE⊥平面PBC. 因为PCC平面PBC,所以AE⊥PC (2)作EF⊥AB于点F,则F是AB的中点，EF1IPA,且EF=PA, EF⊥底面ABCD. 5 D B 连接DF,则∠EDF为DE与底面ABCD所成的角. 设PA=AB=a,在R1AEFD中，EF=a,PD5 2, 所以tan∠EDF= EF 5 FD 5 (3)解：作FG⊥CD,垂足为G,则G为CD的中点，连接EG,则CD⊥EG,所以∠EGF为所求二面 角的平面角. D 在RtEFG中，EFa,FG=a,所以n∠BGf=」 ΓFG2 【点睛】本题考查空间中直线与直线垂直的证明，考查线面角、面面角的求法，属于基础题 6 曹妃甸区2025-2026学年度第二学期期中考试姓名：____________________ 考生号：_____________________________ 高一数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后。用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3∶2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为（    ） A．600 B．800 C．1000 D．1200 2．已知一组数据8，4，7，6，5，3，9，10，则这组数据的25%分位数是（    ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 3．若，则（    ） A． B．1 C． D．2 4．掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，则（    ） A．与对立 B．与不互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 5．已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．某校科技社利用打印技术制作实心模型.如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台.其中半球的体积V为，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半.打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量m约为（   ）（，） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分。 9．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（    ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B．数据的平均数为90，方差为3；数据的平均数为85，方差为5，则的平均数为87，方差为10.2 C．数据的第70百分位数是23 D．已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 11．如图，在棱长为1的正方体中，、分别为棱、的中点，为线段上一个动点，则（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使平面平面 C．当点与重合时，二面角的正切值为 D．当点为中点时，平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则______. 13．记的内角，，所对的边分别为，，.已知，，则______. 14．在三棱锥中，平面，，且最长的棱长为，为棱的中点，则当三棱锥的体积最大时，直线与所成角的余弦值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的第75百分位数： (2)在样本答卷成绩为的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少个？ (3)已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差． 16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，D为BC边上的动点． (1)若D为BC的中点，，，求边BC； (2)若AD平分∠BAC，，，求△ABC的面积． 17．（15分）我校近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，今年5月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：    (1)利用组中值估计本次考试成绩的平均数； (2)从频率分布直方图中，估计第三四分位数是多少；（精确到0.1） (3)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率． 18．（17分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值． 19．（17分）在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，连接. （1）证明：； （2）连接，求与底面所成角的正切值； （3）求二面角的平面角的正切值. 高一数学 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $