河北唐山市开滦第二中学2025-2026高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 该试卷覆盖高一数学核心知识，通过复数运算、向量应用、立体几何（如圆锥内接圆柱）、解三角形等试题，结合基础巩固与能力提升题（如解三角形面积最值），检测空间观念、运算推理等素养，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|复数模、向量共线、斜二测直观图、圆锥体积|立体几何题（如斜二测直观图）考查空间观念，基础题占比60%| |多选题|3题|圆柱性质、复数性质、解三角形外接圆|通过概念辨析（如直四棱柱与长方体关系）培养推理意识| |填空题|3题|向量数量积、正三棱柱最值、正三角形面积|正三棱柱最值题渗透转化思想，体现数学思维灵活性| |解答题|5题|复数运算、向量夹角、圆锥表面积、解三角形综合|圆锥内接圆柱表面积最值题综合空间想象与运算能力，解三角形面积最值题发展模型意识|

开滦二中2025-2026学年第二学期高一年级期中考试 数学 一、单选题 1．已知复数（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D．2 2．已知向量 ，若 ，则 （    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 3．在中，点D在边上，且.记，，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，水平放置的的斜二测直观图为，若，，则（    ）    A． B． C． D． 6．已知圆锥的表面积为9，它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 7．已知四棱锥的侧棱均相等，其各个顶点都在球的球面上，，，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列结论正确的是（　　） A．圆柱的每个轴截面都是全等矩形 B．长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体 C．四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体 D．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 10．已知复数，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则为纯虚数 D． 11．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且的面积为1，则下列命题正确的是（   ） A．的外接圆半径为1 B． C． D．可能为钝角三角形 三、填空题 12．已知向量满足，，，则______． 13．正三棱柱的底面边长为1，高为4，在棱上分别任取点E，F，则的最小值为_________． 14．中，，，，D为线段CB的中点，点E，F分别在线段BA，AC上．若为正三角形，则的面积为________. 四、解答题 15．已知复数． (1)求的实部与虚部； (2)若，求和的值． 16．已知向量，，，． (1)当时，求实数的值； (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 17．如图，一个圆锥的底面半径为1，高为4，在圆锥中有一个内接圆柱. (1)求圆锥的表面积与体积； (2)设圆柱的底面半径为，当为何值时，圆柱的表面积最大，最大表面积为多少. 18．在锐角中，角的对边分别为，S为的面积，且． (1)求的值； (2)求的取值范围． 19．若中角所对的边分别为，是内一点，如图1. (1)若，，求面积的最大值； (2)若为正三角形，，，连接并延长交于点，如图2. ①求；②求. 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开滦二中2025-2026学年第二学期高一年级期中考试 数学 一、单选题 1．已知复数（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用复数的四则运算化简复数，由即可得结果. 【详解】， 由. 故选：A 2．已知向量 ，若 ，则 （    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积运算律、数量积的坐标表示列式求解. 【详解】向量 ，由，得， 所以. 故选：C 3．在中，点D在边上，且.记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的加减运算，即可求得答案. 【详解】由题意知， 所以，即， 故选：A. 4．在中，角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用余弦定理并结合给定条件计算求解即可. 【详解】在中，对于， 利用余弦定理得. 故选：D 5．如图，水平放置的的斜二测直观图为，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜二测画法还原，再解三角形计算即可. 【详解】因为，，所以． 因为，所以，，所以． 还原直观图得到，如图所示．    因为，，所以． 故选：B 6．已知圆锥的表面积为9，它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知条件，求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积． 【详解】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l， 圆锥的侧面展开图是一个半圆，则，得， 又表面积，解得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为． 故选：B． 7．已知四棱锥的侧棱均相等，其各个顶点都在球的球面上，，，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由四点共圆，可得出，进而求出截面圆的直径，再根据体积可求出四棱锥的高，然后根据勾股定理，可求出外接球的半径，最后直接套表面积公式，可求得答案. 【详解】    如图，F为AC中点，由题意可知PF为四棱锥的高， ∵各个顶点都在球的球面上，， ∴四点共圆，且为直径， ∴， 又∵，，∴ 在，解得，同理可得. ∵三棱锥的体积为, ∴，解得， 设，则，在中，，解得. 球的表面积为. 故选：A 8．如图，在中，，为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，先由的面积求出及的值，再根据平面向量共线定理，向量的加法法则和平面向量基本定理求出，进而确定，求出，再利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】由，可得， 所以. 由可得. 因为为CD上一点，所以设， 则 . 因为， 所以，解得， 所以， 所以 (当且仅当，即时等号成立). 所以的最小值是. 故选：D 二、多选题 9．下列结论正确的是（　　） A．圆柱的每个轴截面都是全等矩形 B．长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体 C．四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体 D．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 【答案】ABC 【分析】根据圆柱、长方体、直四棱柱、圆锥、圆台、六面体等知识对选项进行分析，由此确定正确答案 【详解】由题意， 对于A，由矩形绕着它的一条边旋转一周形成一个圆柱， 可得圆柱的每个轴截面都是全等矩形，故A正确； 对于B，长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体，故B正确； 对于C，四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体，故C正确； 对于D，用一个平行于底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台， 故D错误； 故选：ABC. 10．已知复数，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则为纯虚数 D． 【答案】ACD 【分析】根据共轭复数及复数的乘法可判断；根据复数的分类可判断；根据纯虚数的定义可判断；表示点到的距离，数形结合即可判断. 【详解】，所以， 对于：，故正确； 对于：， 所以，或，或， 当时，不是实数，故错误； 对于：若，则，所以为纯虚数，故正确； 对于：对应的点表示圆上的点，对应的点， 表示点到的距离， 由图可知，故正确. 故选：. 11．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且的面积为1，则下列命题正确的是（   ） A．的外接圆半径为1 B． C． D．可能为钝角三角形 【答案】ABC 【分析】由正弦定理有结合面积公式计算判断A；由正弦定理结合判断B；由面积公式及基本不等式判断C；利用余弦定理及正弦定理判断D. 【详解】A：设的外接圆半径为， 因为的面积为， 所以，故A正确； B：由，即，B选项正确； C：由，则，当时取， 所以，当且仅当且时取等号，C选项正确； D：若为钝角三角形，设为钝角，，即得， 由C选项知，所以，即， 又因为，所以，所以与矛盾，假设不成立， 同理B，C也不可能为钝角，D选项错误. 三、填空题 12．已知向量满足，，，则______． 【答案】 【分析】由平方及化简得，再由得出，联立解得即可. 【详解】因为，所以， 即， 又，所以，① 由， 所以，② 由①②得：， 故答案为：. 13．正三棱柱的底面边长为1，高为4，在棱上分别任取点E，F，则的最小值为_________． 【答案】5 【分析】把正三棱柱的侧面沿剪开展在同一平面内，利用两点间线段最短求得答案. 【详解】将正三棱柱的侧面沿剪开展在同一平面内，连接，如图， 四边形是矩形，且， 所以． 故答案为：5 14．中，，，，D为线段CB的中点，点E，F分别在线段BA，AC上．若为正三角形，则的面积为_______. 【分析】设，根据角度关系与正弦定理可得，结合与可得，进而有求得的面积. 【详解】在中，，，， 设，则， 在中，因为，， 在中，，，则， 所以，又， 由题，为正三角形，所以，即， 所以，则，所以， 从而的面积为． 四、解答题 15．已知复数． (1)求的实部与虚部； (2)若，求和的值． 【答案】(1)的实部为，虚部为； (2)． 【分析】（1）利用复数的除法运算化简，再根据实部和虚部的概念求解； （2）利用共轭复数、复数的模长公式代入计算，根据复数相等列方程组，求解即可. 【详解】（1）因为， 所以的实部为，虚部为． （2）由（1）知，则，， 代入，得， 化简可得， 所以，解得. 16．已知向量，，，． (1)当时，求实数的值； (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由垂直关系的向量坐标表示可解； （2）由向量平行的坐标表示求出，再代入向量夹角公式可得. 【详解】（1）由题意可得， 因为，所以. （2）， 因为，所以， 所以， 所以， 即向量与的夹角的余弦值为. 17．如图，一个圆锥的底面半径为1，高为4，在圆锥中有一个内接圆柱. (1)求圆锥的表面积与体积； (2)设圆柱的底面半径为，当为何值时，圆柱的表面积最大，最大表面积为多少. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据圆锥的表面积及体积公式计算即可； （2）根据相似计算出圆柱的高，再写出表面积公式再结合二次函数得出最大值. 【详解】（1）如图：圆锥的母线； ； （2）记圆柱的表面积为，圆柱高为，则. ，即， 解得，其中； 所以， 当时，. 18．在锐角中，角的对边分别为，S为的面积，且． (1)求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理可得，然后利用同角关系式即得； （2）利用正弦定理及三角恒等变换可得，结合条件可得，进而即得范围，最后换元应用单调性可解. 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴（舍），. （2）∵， ∴， ∴ ∵为锐角三角形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 令， 单调递减，单调递增， 当，当， 19．若中角所对的边分别为，是内一点，如图1. (1)若，，求面积的最大值； (2)若为正三角形，，，连接并延长交于点，如图2. ①求；②求. 【答案】(1)3 (2)① ；② 【分析】（1）根据余弦定理可表示，在根据三角形面积公式及同角三角函数基本关系即可表示的面积，再求最大值即可. （2）①根据题给条件导出各角与的关系及找出与边长与的关系，再根据正弦定理即可求解. ②根据正弦定理表示出，再根据三角形面积公式及三角形同高其面积比即为底的比表示出，化简即可求出. 【详解】（1）如图设，， 由余弦定理，可得：， 所以 ，当时有最大值3. （2） ①设，则， 因为，，所以，， 则，. 设正三角形的边长为，在中，， 则中，由正弦定理可知，即 即，，解得，即. ②在中，由正弦定理可知，则， 那么. . 则. 试卷第10页，共15页 试卷第9页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $