河北唐山市乐亭县2025-2026学年第二学期期中质量检测高一数学试卷

**基本信息** 以果切消费统计、菱形折叠等真实情境与问题为载体，考查复数、统计、立体几何等知识，注重空间观念、数据意识与逻辑推理能力的综合测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数、统计、立体几何|多选题9题辨析线面关系，培养逻辑推理| |填空题|3题15分|向量、外接球|14题结合四面体结构求外接球体积，考查空间想象| |解答题|5题77分|统计、解三角形、立体几何|15题以果切消费为背景计算百分位数与方差，体现数据意识；19题通过四棱锥求线线垂直、二面角及线段比例，综合空间观念与运算能力|

乐亭县2025-2026学年度第二学期期中质量检测姓名：____________________ 考生号：_____________________________ 高一数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后。用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．复数，其中i为虚数单位，则z的虚部为（    ） A． B． C． D．1 2．某县教育局为了解本县今年参加大联考的学生的成绩，从5000名参加今年大联考的学生中抽取了250名学生的成绩进行统计，则下列表述错误的是（　　） A．5000名学生是总体 B．抽取的250名学生的成绩是总体的一个样本 C．样本量是250名学生的成绩 D．每一名学生是个体 3．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知，表示两条不同直线，表示平面，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．已知平面平面，直线，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．函数，若，则a的值为（    ） A． B． C．1 D．5 7．已知向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 8．如图1，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C之间的距离为，如图2，则二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分。 9．若是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列说法正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，，且，则 10．在棱长为的正方体中，均为所在棱的中点，则下列论述正确的有（    ） A．经过直线与点的平面与正方体的截面是一个正六边形 B．与直线、、都相交的直线有三条 C．在侧面内（包含边界），若//面，则点轨迹的长度为 D．过的平面截正方体内切球的截面面积的最大值为 11．有一组互不相等的数组成的样本数据、、、，其平均数为（，、、.....、），若插入一个数，得到一组新的数据，则（    ） A．两组样本数据的平均数相同 B．两组样本数据的中位数相同 C．两组样本数据的方差相同 D．两组样本数据的极差相同 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为______. 13．已知向量的夹角为，且，则_____________． 14．已知在四面体中，，，则该四面体外接球的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分）果切是一种新型水果售卖方式，商家通过对整果进行清洗､去皮､去核､冷藏等操作后，包装组合销售，在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下，果切更能满足消费者的即食需求. (1)统计得到10名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为：，求这10个数据的第70百分位数与方差； (2)统计600名中国果切消费者的年龄，他们的年龄均在5岁到55岁之间，按照分组，得到频率分布直方图.估计这600名中国果切消费者年龄的中位数及平均数（结果保留整数）. 16．（15分）在中，内角所对的边分别是，已知. (1)求的值； (2)求的值. 17．（15分）在△ABC中，内角所对的边分别是，已知, ，. (1)求：的值； (2)求：的面积. 18．（17分）如图，在四棱柱中，已知侧棱底面，侧面是正方形，与交于点，，，，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 19．（17分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，，. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值； （3）设Q为线段PD上的点，且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为，求的值. 高一数学 第 1 页 （共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $乐亭县2025-2026学年度第二学期期中质量检测 高一数学参考答案 1.A(基础题) 2.C(基础题) 3.A(基础题) 【详解】因为在直观图中，A'B=√5，则OA=AB'=√5，所以oB=√5+5=V0, 所以原图形是一个底边长为√5，高为210的直角三角形， 故原图形的面积为}x5×20=55. 故选：A. y B A 4.D 【详解】若m/la,nlla,则m∥n,异面或相交，故A错误； 若n/1o,m⊥n,则n//a或相交，故B错误： 若m⊥，m⊥n,则n/1a或nca,故C错误： 若La,n⊥a,则l∥n,故D正确. 故选：D 5.A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质分析判断. 【详解】设&∩B=m,在平面a内作a⊥m, 因为平面a⊥平面B,所以a⊥B, 因为l⊥B,所以a∥1， 因为lta,aca, 所以l/1a, 第1页共11页 a m 而当平面⊥平面B,直线l丈，l11时，1与平面B可能垂直，可能平行，可能相交不垂直， 所以“1⊥B”是“1/1a”的充分而不必要条件， 故选：A 6.A 【分析】分a≥0和a<0代入函数解析式求出即可. 【详解】由已知可得，当a≥0时，代入己知函数可得f(a=a(a+4=5pd+4a-5=0, 解得a=1或a=-5(舍去)，所以a=1: 当a<0,代入已知函数可得f(a)=a(a-4=5ba2-4a-5=0, 解得a=-1或a=5（舍去)，所以a=-1: 综上所述，a的值为±1. 故选：A 7.A 【分析】由投影向量的定义，结合向量数量积和模的坐标运算求解， 【详解】由cosa,司点-a方名、56 阿月同5方--(1-3. 故选：A 8.A 【分析】E为AC中点，连接DE,BE,确定∠DEC为二面角B-AC-D的平面角，再利用余弦定理计算 得到答案 【详解】如图所示：E为AC中点，连接DE,BE,则AC⊥DE,BE⊥AC, 平面ACD∩平面ACB=AC,且DEC平面ACD,BEC平面ACB, 故∠DEB为二面角B-AC-D的平面角， 第2页共11页 Di--- B 在△ABE中，AC=2N2,DE=BE= 10,1016 在BDE中， cos∠DEC=3331 10 2×3 3 故选：A 9.BD 【分析】对于A,垂直于同一平面的两个平面有可能相交或平行，据此可以判断A;对于B,由面面平行的性 质定理可以判断B:对于C,由线面平行的判定定理可知，若m/1B,，则不在平面B,但题目所给条件没 说，据此可以判断C；对于D,由线面垂直的判定定理可以判断D. 【详解】对于A,若a⊥B,B⊥y,则a与Y相交或a/1y,所以A不正确； 对于B,若x/1P,B1/y,由面面平行的性质定理可得x/Iy,所以B正确； 对于C,若mc,ncB,且m/1n,则/1PB或mCB,所以B不正确； 对于D,若l⊥，l⊥n,CB,nCB,且m⌒n=A,由线面垂直的判定定理可得，所以B正确. 故选BD, 10.AC 【分析】对于A,设G,S分别为AB,BC的中点，根据空间中的平行关系可得E,F,I,S,G,H六点共面，再 计算可得各边相等且各角相等，故可判断A的正误，对于B,利用构造法可得与直线AD、Ⅲ、CD都 相交的直线有无数条，故可判断B的正误，对于C,根据面面平行可判断P的轨迹，计算其长度后可判断 C的正误，对于D,求出内切球的半径后可判断D的正误. 【详解】 第3页共11页 D F C 对于A,设G,S分别为AB,BC的中点，连接HE,HG,GS,SY,IF,HI,FG,ES, 由正方体的性质可得EFA,C1,AC∥HI,因此EF∥I,故E,F,I,H四点共面， 同理E,F,I,S四点共面，故E,F,I,,H五点共面， 而E,H,G,S也四点共面，故E,F,I,S,G,H六点共面， 设正方体的棱长为a,则Br==S=SG=GH=B=V5。 2, 而EF∥AC,FI∥AB,®4BC为正三角形，故EF,FI所成的角即为∠CAB, 故∠EI为60°或120°，但∠EFI为钝角，故∠EFI=120°， 同理∠FIS=∠ISG=∠SGH=∠GHE=∠HBF=120°， 故六边形EFISGH为正六边形，故A正确 对于B,由正方体的性质可得4D,CD为异面直线， 故过AD且与CD平行的平面有且只有一个即为平面AB,CD, 若在HI存在相异点U1,U,在直线DC上存在一点V, 满足AD1IUV,AD/U严，则UV/UV,当UV∩U,V=V,矛盾： 若在HI存在相异点U,U2,在直线DC上存在相异点V,V, 满足AD1∥UY,AD/UV,,则U,V1/UY,故U,V,U,共面， 故HⅢ，CD共面，矛盾 故Ⅲ，CD上至多各存在一点U,V,过它们的直线与AD平行， 现在HI上任意取一点M(若U存在，则M异于U),则M不在平面ABCD中， 因为直线AD与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N, 此时M与AD必定相交，当M取不同的位置就确定不同的平面， 从而与CD有不同的交点N,故有无数条直线与AD,CD,HI都相交，故B错误. 第4页共11页 D B M H D 对于C,取B,C的中点为W,Z为BB的四等分点且BZ=二BB,Y为BB的中点， 41 连接EW,EZ,WZ,CY,则YB∥CI,YB=C,I,故四边形YBIC为平行四边形 故YC∥BI,而WZI/YC1,故WZIIBI, 而WZC平面ABI,BIC平面ABI,故WZI∥平面ABI, 由正方形的性质可得EWAB,,而ABAB,故EW1AB,同理可得WE∥平面ABI, 而WZ∩EW=W,WZ,EWC平面EWZ,故平面EWZI∥平面ABI, 而EZC平面EWZ,故EZ∥平面ABI,故P的轨迹为WZ, 15 而wWZ=1+ ,故C正确。 42 D B D B 对于D,过AI的平面截正方体内切球的截面面积的面积取最大值时该截面过球心， 而内切球的半径为1，故截面面积的最大值为π×1=π，故D错误。 故选：AC 【点睛】思维点睛：空间几何体的截面问题，可利用基本性质构建截面，也可以利用空间点线面位置关系 的性质来处理，而空间中的动点的轨迹问题，往往转化为不同几何对象的交来处理 11.AD 【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用方差公式可判断C选项； 利用极差的定义可判断D选项. 【详解】由已知可得，+x3+…+,=9 对于A选项，萧数据的平均数为（阳+@）=a,与原数据的平均数相等，A对： 第5页共11页 对于B选项，不妨设：<5<<，则原数据的中位数为x, 若a长，则中位数为uxa号+水与： 若a>,则中位数为(s+mina,)>,B错： 对于c选项，新数据的方差为-Lc-a+(%-a+(6-+a-a] <6-a+k-a时+6-aj门=s2,c错： 对于D选项，不妨设x<x2<<x,,则x<a<x,,故新数据的极差仍为6，-：，D对. 故选：AD. 12.(1,0) 【分析】根据题意，利用向量的数量积和向量的投影向量的计算公式，准确计算，即可求解 【详解】由向量a=(1,0),b=(1,2),可得=1，a.b=1, ab a 则向量6在向量a方向上的投影向量为同司，0)， 故答案为：(1,0) 13.2 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算，得到--2=0，进而求得向量的大小，得到答案。 【详解】因为a-b=5,可得a+6-2a=3, 又因为同=1且向量a6的夹角为60，所以1+-2x13, 可得-5-2=0，解得=-1或=2， 因为≥0，所以=-1（舍去），所以=2. 故答案为：2. 14.32W3元 【分析】依题意可得AB⊥AC,取BC的中点D,连接AD、PD,即可得到PD⊥BC,ADL PD,从而 得到PDL平面ABC,四面体P-ABC外接球的球心在PD上，设球心为O,外接球的半径为R,连接OA, 利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出外接球的体积 【详解】因为(AB+AC=AB+AC,所以AB+AC+2AB.AC=AB+AC, 第6页共11页 则2AB.AC=0,所以AB⊥AC, 因为PA=PB=PC=BC=6,取BC的中点D,连接AD、PD, 则AD=BC=3,PD1BC,且PD=√PB-BD=3N5, 所以AD+PD2=AP2,则∠ADP=90°，所以AD1PD, AD∩BC=D,AD,BCC平面ABC,所以PD⊥平面ABC, Rt△ABC的外接圆圆心即为斜边BC的中点D, 所以四面体P-ABC外接球的球心在PD上，设球心为O,外接球的半径为R,连接OA, 则A02=0D2+AD2,即R2=(3V5-R)+32,解得R=23, 所以外接球的体积V4R=32V3元 2--1 故答案为：32√3元 15.(1)第70百分位数为6.5：方差3.6 (2)a=24:ō=25 【分析】(1)百分位数先排序，再利用分位数公式求解即可. (2)根据频率直方图结合中位数和平均数的求法计算求解 【详解】(1)按从小到大顺序：1,3,4,4,5,6,6,7,7,7， 由于10x7096=7,放第70百分位数为生7=65： 平均数x=1+3+4×2+5+6×2+7x3-5, 10 2=0-5+3-5+2×4-5+5-5)+2x(6-5+3x(7-13.6 10 (2)由0.020×10=0.2<0.5，(0.020+0.03510=0.55>0.5，可得15<a<25, 0.055+15≈24， 所以0.20+(a-15)x0.035=0.5,解得a=03 所以这600名中国果切消费者年龄的中位数为24. 其平均数 ō=10×0.020×10+20×0.035×10+30×0.025×10+40×0.015×10+50×0.005×10=25， 第7页共11页 16.(1)6 (245 6 【分析】（1)根据给定条件，利用余弦定理求解即得. (2)利用同角公式、二倍角公式及差角的正弦公式计算即得. 【详解】(1)在ABC中，由a:b:c=1:√2：3，令a=k,b=√2k,c=V3k(k>0), 由余弦定理得c0sA=5+(5)2-26 2.2k.3k 3 （2）在e1BC中，由sim2A+cos2A=1及cosA=6,得mA=5, 3 2W2 cs2A=2co4-1=3 1 则sin2A=2si1 AcosA= 3 所以n21孕=sn21cos牙cos21s255}54V2 4 43232 6 17.(1)6 R6 2 【分析】(1)利用正弦定理化简已知条件，求得C,利用余弦定理求得b. (2)先求得siB,然后利用三角形面积公式求得三角形ABC的面积， 【详解】(1)己知bsin A=3 csin B,由正弦定理得ab=3bc,a=3c 由于a=3,所以c=1, 因为B=a2+c2-2acc0sB=9+1-2x3x1×号=6， 所以b=√6： (2)由于csB=2>0,所以B是锐角， 3 所以smB=V1cosB=5 3 则c=asmB=×3x1x55 1 1 2 2 32 18.(1)证明见解析 (2 3 【分析】(1)根据空间向量法结合线面平行判定定理证明： (2)应用空间向量法求出线面角正弦值. 【详解】(1) 第8页共11页 依题意，以点B为原点建立空间直角坐标系（如图）， 可得A(2,0,0),B(0,0,0),B(0,2,0),C(0,0,1),C1(0,2,1),D1,0,1),O1,1,0) 因为AD=(-1,0,1),OC=(-1,-1,1),OC1=(1,1,1), 设n=(xy,)为平面C0C的法向量， 0c.i=0 -x-y+z=0 则 即{ OC=0-x+y+=0' 不妨令x=1,可得n=1,0,1)为平面C0C1的一个法向量， AD.n=0,则AD⊥n,又AD丈平面COC1, 则AD/平面COC1; (2)因为0C=(-1,1,1),AB,=(-2,2,0),AC=(-2,0,1), 设=(a,b,c)为平面ABC的法向量， AB·m=0「-2a+2b=0 则 即 AC·m=0-2a+c=0’ 不妨令a=1,可得m=4,1,2)为平面AB,C的一个法向量， 则cos(OC,m)= 0Cm。2 0Cm3, 则直线0C与平面A8C所成角的正弦值为√ 3 19.1)质见解折：（3)：（3)号 33 【分析】(1)以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证 明BD⊥PC (2)求出平面APC的法向量和平面P℃D的法向量，利用向量法能求出二面角A-PC-D的余弦值， 第9页共11页 (3)设Q为线段PD上的点，ga,b,c), 2=元，0≤A≤1，求出40=(0，V5,2-2,由平面P1C PD 的法向量m=(N反，-10)，且直线4Q和平面PMC所成角的正弦值为5，利用向量法能求出结果。 3 【详解】解：(1)证明：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD, AB∥CD,AB⊥AD,PA=AB,AB=2,AD=√2，CD=1. ∴.以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， 则B(2,0,0),D0,√2,0)，P(0,0,2),C1,√2,0)， BD=(-2,√2,0)，PC=1,√2,0) .BD.PC=0,.BD⊥PC. （2)由(1)知，A(0,0,0),AF=(0,0,2),AC=(1,V2,0),PD=(0,V2,-2),DC=1,0,0), ii.AP=2z=0 设平面APC的法向量n=(x,y,),则 i.AC=x+√2y=0 取x=√2，得=(2，-l,0), mDC=a=0 设平面PCD的法向量m=(a,b,c),则 i.PD=2-2c=0 令c=1,得m=(0,V2,1, 设平面APC与平面DPC的夹角为0，则cos9cosm01=m-:m-5点 Imlln 3.33 所以平面APC与平面DPC夹角的余弦值为√ 3 (3)解：设Q为线段PD上的点，Q(a,b,c), P2=1,0≤元≤1， PD 则(a,b,c-2)=(0,√22，-22) 解得a=0,b=√21，c=2-22, ∴.Q(0,V21,2-2),AQ=(0,V21,2-2), 平面PAC的法向量n=(W2,-1,0), 且直线A0和平面PAC所成角的正弦值为 3 第10页共11页 .AO √21 √2 405V2+2-2列3’ 解得元=2或2=2（舍）， 3 品号 z本 P D.y 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面角的正弦值的两线段比值 的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题. 第11页共11页