江苏2025-2026学年高二下学期期末模拟数学试卷

**基本信息** 2026江苏高二期末数学模拟卷聚焦统计概率与函数导数，通过药物临床试验、网上买菜等真实情境，以基础判断、数据建模及“反比函数”创新定义，考查数学眼光、思维与语言，适配期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|散点图、条件概率、正态分布|第4题药物浓度回归考查数据建模| |多选题|3/18|回归方程、条件概率、函数极值|第9题AI利润分析关联科技热点| |填空题|3/15|随机变量期望、投篮概率|第13题投篮游戏体现概率应用| |解答题|5/77|独立性检验、函数单调性、创新定义|16题网上买菜情境融合独立性检验，19题“反比函数”定义创新考查逻辑推理|

2026下学期江苏高二期末考试 数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.下列说法正确的是（ ） A. 散点图无法判断两个变量是否相关; B.两个变量之间的相关程度越低，则其线性相关系数的数值越接近－1; B.残差点分布的带状区域的宽度越窄决定系数R2越小; D.对于分类变量X与Y的随机变量χ2越大，“X与Y有关系”的可信程度越大; 【答案】D 【解析】散点图可以大体判断两个变量是否相关,故A错误 由相关系数的性质知两个变量之间的相关程度越低，则其线性相关系数的数值越接近0，故B错误; 残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，则残差平方和越小，此时，R2的值越大,故C错误; χ2越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大，χ2越小，“X与Y有关系”的可信程度越小.故D正确 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为，所以， 则 故选：C 3. 在10件产品中有5件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到合格品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】记第一次取到不合格品为事件，第二次取到合格品为事件，则 ，，， 所以在第一次取到不合格品后，第二次取到合格品的概率为：. 4. 药物临床试验是验证新药有效性和安全性必不可少的步骤．在某新药的临床实验中，志愿者摄入一定量药物后，在较短时间内，血液中药物浓度将达到峰值，当血液中药物浓度下降至峰值浓度的20%时，需要立刻补充药物．已知血液中该药物的峰值浓度为120mg/L，为探究该药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度y（mg/L）与代谢时间x（h）的相关数据，如下表所示： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 120 110 103 93 82 68 59 47 38 根据表中数据可得到经验回归方程，则（ ） A. B. 变量y与x的相关系数 C. 当时，残差为-1.5 D. 代谢约10小时后才需要补充药物 【答案】C 【解析】因为样本中心点在直线上，所以，A选项正确； 血液中药物浓度y（mg/L）随代谢时间x（h）的增大而减小，所以变量y与x的相关系数，B选项错误； 当时，，残差为，C选项正确； 令，解得，D选项错误. 5.某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）近似服从正态分布.已知时，有，，.下列说法正确的是（ ） A. 该地小麦的平均株高约为10cm B. 该地小麦株高的方差约为10 C. 该地株高超过的小麦约占68.27％ D. 该地株高低于的小麦约占99.87％ 【答案】D 【解析】由题意可知，，，故A，B错误； 由题意得， 所以，故C错误；所以，故D正确； 6. 甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制(先胜3局者胜，比赛结束)，已知每局比赛甲获胜的概率为 ，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由甲第一局获胜并最终以获胜可知第1,4局甲胜，第2,3局甲胜了一场， 因为每局比赛甲获胜的概率为，所以甲输的概率为， 所以所求概率为，故选：C. 7. 如图，16个小黑点构成的正方形网格，从其中任选3颗互相连线，可以围成不同的三角形的个数为（两个三角形中至少有一个顶点不同即认为是不同的三角形）（ ） A. 576 B. 528 C. 520 D. 516 【答案】D 【解析】运用间接法，在从16颗棋子中任选3颗的方法数， 去掉有4颗棋子在一条直线上的10种情形下的方法数和恰有三颗棋子在一条直线上的4种情形下的方法数，即得可围成的不同的三角形的个数，为. 8. 现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（），则（    ） A． B． C． D．且 【答案】C 【解析】对于A，若数字9被选到，有两种情况： 第一次选数时，从1到10中选到9，概率为， 第一次选到10，第二次从1到9中选到9，概率为， 所以，选项A错误； 对于B，若数字8被选到，有以下几种情况：第一次就选到8，概率为； 发生后，下一次从1到8中选到8，概率为， 发生后，下一次从1到9中选到8，概率为， 这几种情况彼此互斥，所以，选项B错误； 对于C，根据条件概率公式，， 若发生，即数字9被选到，那么在选到9的情况下， 下一次从1到8中选到8的概率为，即， 若发生，即数字10被选到，那么在选到10的情况下，可以下一次从1到9中选到8， 也可以是下一次从1到9中选到9，再下一次从1到8中选到8， 即， 所以，选项C正确； 对于D，对于即选中的情况，设为选中数当中不小于的最小整数， 则 ， 当时，有，，， 结合知，， 所以最大数选取是任意的，始终有， 对于同时选中情况，不妨设，可理解为从中按规则取数， 选中的概率，则有， 可得，选项D错误. 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9.某AI软件公司开发了一款新型智能写作软件，现将该软件上市后的月份以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（   ） 月份 1 2 3 4 5 利润 5 8 10 12 15 A． B．每增加1个月份，月利润约提高2.8万元 C．10月份的利润约为26.4万元 D．5月份利润的残差为0.2万元 【答案】AD 【解析】依题意 ， 将 代入中，解得，故A正确； 可以估计每增加1个月份，月利润提高2.4万元，故B错误； 将代入中，得到，故C错误； 将代入中，得到，则所求残差为，故 D 正确． 故选：AD． 10.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)＝，P(B)＝，P(A＋)＝，则(　　) A P(B|A)＝ B. P(A)＝ C. P()＝P(|A) D. P(A＋B)＝ 【答案】BCD　 【解析】对于A，由P(AB)＋P(A)＝P(A)，得P(AB)＝，故P(B|A)＝＝，故A错误 对于B 由P(A＋)＝P(A)＋P()－P(A)，得P(A)＝，故B正确 对于C，由P(|A)＝＝，P()＝，故C错误 由P(B)＝P(AB)＋P(B)，则P(B)＝，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝，故D正确 11. 已知函数，则（ ） A. 只有2个极小值点 B. 曲线在点处的切线斜率为3 C. 当有3个零点时，的取值范围为 D. 当只有1个零点时，的取值范围为 【答案】ACD 【解析】因为， 当或时，则， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 当时，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 则在、处取得极小值，故有个极小值点，故A正确； 因为，所以曲线在点处的切线斜率为，故B错误； 记， 的图象如下所示： 其中的图象是由的图象向下或向上平移个单位得到； 因为，，，， 要使有3个零点，则或或， 即或或，解得或或， 综上可得的取值范围为，故C正确； 要使只有1个零点，则或，即或， 解得或，即的取值范围为，故D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.随机变量X的取值为0，1，2，若，，则__________. 【答案】 【解析】设， 根据题意得，解得. 则. 13. 某人进行投篮游戏，每次投篮的命中率为，且投篮结果互不影响，如果出现连续次命中，那么停止投篮，游戏结束．则当时，投篮2次游戏结束的概率为_____;当时，游戏结束时投篮总次数的数学期望为_____ 【答案】， 【解析】投篮2次后游戏结束的概率为; 当时，即出现连续次命中，那么停止投篮，游戏结束. 设投篮的总次数的数学期望，考虑第一次投篮的结果： ①第一次命中， 若第一次命中，第二次也命中（概率为），则投篮总次数为； 若第一次命中，第二次未命中（概率为），则游戏重置，投篮的总次数可看作； ②第一次未命中（概率为），则游戏重置，投篮的总次数可看作； 则，解得 14. 将一枚质地均匀的正八面体骰子连续抛掷2次，其八个面上分别标有八个数字，记录骰子与地面接触的面上的点数，用X，Y表示第一次和第二次抛掷的点数，则_____ 【答案】 【解析】设事件A为“” 当时，分两种情况： 第一次掷出4，第二次掷出大于等于4的数，即第二次可以是4，5，6，7，8，共5种情况; 第二次掷出4，第一次掷出大于等于4的数，即第一次可以是4，5，6，7，8，共5种情况， 两种情况都有第一次和第二次都掷出4，共1种情况， 所以事件A包含的基本事件数为 设事件B为“”，则事件AB为“且”， 有，和，两种情况. 由条件概率公式得 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（13分）高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，创新研发是高质量发展的前提，某公司研发新产品投入x（单位：百万）与该产品的收益y（单位：百万）的5组统计数据如表所示,且回归直线方程为=. x 5 6 8 9 12 y 16 20 25 28 m （1）求m的值 （2）若将图表中的点（8，25）去掉，样本相关系数r是否改变？说明你的理由. 参考数据：相关系数 【解】(1)由题意可知，， ，……….……….2分 所以样本中心为（8，），将点（8，）代入=，可得， 解得m=36. …………………………………………..………7分 (2)由（1）可得，样本中心为（8,25）， 所以……………………………………….10分 由相关系数公式知， ，将此图表中的点（8,25）去掉后，样本相关系数r不变………………………………………………13分 16.(15分)随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的市民 40 10 50 年龄超过45岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 (1)试根据的独立性检验，分析社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？ (2)M社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率 【解】（1）假设：M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关. 由给定的列联表，得：………………5分 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为是否喜欢网上买菜与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于……………7分 （2）设表示周在A平台买菜，表示周在B平台买菜， 由题可得，……………………………12分 由全概率公式，小张周二选择平台买菜的概率为： …………………………..15分 17.(15分)已知． (1)讨论的单调性; (2)若方程有两个不同的实数解．求的取值范围； 【解】（1）， 令，则，…………………………….…2分 令，解得；令，解得，……………………………5分 所以当时，h（x）单调递减；当时，h（x）单调递增……6分 （2）方程即，所以， 所以，故……………………………………8分 令，则，………………………………10分 令，解得；令，解得， 故当时，k（x）单调递减；时，k（x）单调递增．…………12分 ， 当时，；时，，……………………………14分 ，故．即m的取值范围为．……………15分 18.(17分)某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以或取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛中以取胜的选手积2分，失败的选手积1分．已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为． （1）若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？ （2）在第6场比赛中，当时，设甲所得积分为，求的分布列及期望 （3）在第6场比赛中，记甲取胜的概率为，求的最大值． 【解】(1)记比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级为事件，………………..1分 则；…………………………………………………..…….4分 (2)依题意的可能取值为， 所以，………..5分 ，……………………………..6分 ，………………………7分 …………………8分 所以的分布列为 所以的期望为………………………..9分 (3)依题意，， 则，……………………………….11分 令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，…………………………14分 所以在处取得极大值，即最大值 所以………………………………………17分 19．（17分）已知函数，若其定义域为，且满足对一切恒成立，则称为一个“反比函数”. (1)设，判断是否为“反比函数”，并说明理由； (2)若,求证:函数是“反比函数”； (3)已知“反比函数”满足对任意的，都有，且.  求证：对任意，关于的方程无解. 【解】（1）由于，故对有.所以是“反比函数”……3分 （2）由于，故. 若，则………………………………………………….………5分 设，则，所以对有，对有. 从而在上递减，在上递增，故………………….....7分 所以对，若函数是“反比函数”，则必须， 即证 从而此时函数是“反比函数”……………………………….11分 （3）设，则. 所以在上单调递增. 一方面，对，有. 所以对任意，有；…………………….12分 另一方面，对，假设，则根据及零点存在定理，存在使得. 再由条件，知，矛盾………………14分 所以对任意，有. 假设存在使得，则根据及零点存在定理，存在使得. 从而对任意，有. 但由，知，矛盾. 所以对任意，都有. 综合两方面可知，对任意的，都有. 所以对任意，关于的方程一定无解……………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026下学期江苏高二期末考试 数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.下列说法正确的是（ ） A. 散点图无法判断两个变量是否相关; B.两个变量之间的相关程度越低，则其线性相关系数的数值越接近－1; B.残差点分布的带状区域的宽度越窄决定系数R2越小; D.对于分类变量X与Y的随机变量χ2越大，“X与Y有关系”的可信程度越大; 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 在10件产品中有5件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到合格品的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 药物临床试验是验证新药有效性和安全性必不可少的步骤．在某新药的临床实验中，志愿者摄入一定量药物后，在较短时间内，血液中药物浓度将达到峰值，当血液中药物浓度下降至峰值浓度的20%时，需要立刻补充药物．已知血液中该药物的峰值浓度为120mg/L，为探究该药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度y（mg/L）与代谢时间x（h）的相关数据，如下表所示： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 120 110 103 93 82 68 59 47 38 根据表中数据可得到经验回归方程，则（ ） A. B. 变量y与x的相关系数 C. 当时，残差为-1.5 D. 代谢约10小时后才需要补充药物 5.某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）近似服从正态分布.已知时，有，，.下列说法正确的是（ ） A. 该地小麦的平均株高约为10cm B. 该地小麦株高的方差约为10 C. 该地株高超过的小麦约占68.27％ D. 该地株高低于的小麦约占99.87％ 6. 甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制(先胜3局者胜，比赛结束)，已知每局比赛甲获胜的概率为 ，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，16个小黑点构成的正方形网格，从其中任选3颗互相连线，可以围成不同的三角形的个数为（两个三角形中至少有一个顶点不同即认为是不同的三角形）（ ） A. 576 B. 528 C. 520 D. 516 8. 现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（），则（    ） A． B． C． D．且 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9.某AI软件公司开发了一款新型智能写作软件，现将该软件上市后的月份以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（   ） 月份 1 2 3 4 5 利润 5 8 10 12 15 A． B．每增加1个月份，月利润约提高2.8万元 C．10月份的利润约为26.4万元 D．5月份利润的残差为0.2万元 10.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)＝，P(B)＝，P(A＋)＝，则(　　) A P(B|A)＝ B. P(A)＝ C. P()＝P(|A) D. P(A＋B)＝ 11. 已知函数，则（ ） A. 只有2个极小值点 B. 曲线在点处的切线斜率为3 C. 当有3个零点时，的取值范围为 D. 当只有1个零点时，的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.随机变量X的取值为0，1，2，若，，则__________. 13. 某人进行投篮游戏，每次投篮的命中率为，且投篮结果互不影响，如果出现连续次命中，那么停止投篮，游戏结束．则当时，投篮2次游戏结束的概率为_____;当时，游戏结束时投篮总次数的数学期望为_____ 14. 将一枚质地均匀的正八面体骰子连续抛掷2次，其八个面上分别标有八个数字，记录骰子与地面接触的面上的点数，用X，Y表示第一次和第二次抛掷的点数，则_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（13分）高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，创新研发是高质量发展的前提，某公司研发新产品投入x（单位：百万）与该产品的收益y（单位：百万）的5组统计数据如表所示,且回归直线方程为=. x 5 6 8 9 12 y 16 20 25 28 m （1）求m的值 （2）若将图表中的点（8，25）去掉，样本相关系数r是否改变？说明你的理由. 参考数据：相关系数 16.(15分)随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的市民 40 10 50 年龄超过45岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 (1)试根据的独立性检验，分析社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？ (2)M社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率 17.(15分)已知． (1)讨论的单调性; (2)若方程有两个不同的实数解．求的取值范围； 18.(17分)某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以或取胜的选手积3分，失败的选手积0分；而在比赛中以取胜的选手积2分，失败的选手积1分．已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为． （1）若进入决赛的9名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？ （2）在第6场比赛中，当时，设甲所得积分为，求的分布列及期望 （3）在第6场比赛中，记甲取胜的概率为，求的最大值． 19．（17分）已知函数，若其定义域为，且满足对一切恒成立，则称为一个“反比函数”. (1)设，判断是否为“反比函数”，并说明理由； (2)若,求证:函数是“反比函数”； (3)已知“反比函数”满足对任意的，都有，且.  求证：对任意，关于的方程无解. 学科网（北京）股份有限公司 $