2026届高考数学三轮冲刺重点考点：函数有关双重最值问题专项训练

**基本信息** 聚焦函数双重最值，以分段分析、数形结合、导数应用为核心方法，构建从定义到性质再到综合应用的逻辑链条，培养数学思维与直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|16题|分段求解、图像法、导数研究、不等式性质|从函数定义（如狄利克雷函数）到性质（单调性、值域），结合新定义函数与参数问题| |解答题|3题|分类讨论、导数应用|综合运用导数工具与最值思想，解决含参函数的双重最值问题|

2026届高考数学三轮冲刺重点考点： 函数有关双重最值问题 一、单选题 1．已知，其中，若，则正实数t取值范围（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．记实数的最小数为若则函数的最大值为（   ） A．4 B． C．1 D．5 3．定义，设函数，，记函数，且函数在区间的值域为，则的最大值为（） A．1 B． C． D．2 4．定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 5．已知函数定义域为，记的最大值为，则的最小值为 A． B． C． D． 6．设min{m，n}表示m，n二者中较小的一个，已知函数f(x)＝x2＋8x＋14，g(x)＝(x>0)，若∀x1∈[－5，a](a≥－4)，∃x2∈(0，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)成立，则a的最大值为 A．－4 B．－3 C．－2 D．0 二、多选题 7．历史上第一个给出函数的一般定义的是十九世纪德国数学家狄利克雷，在1837年他提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”狄利克雷在1829年给出了著名函数：,以下说法正确的是（    ） A．的图像关于轴对称 B．的值域是 C． D． 8．已知，下列选项正确的是（    ） A．当时，函数的值域为 B．若函数在上单调递增，则的取值范围是 C．若，则 D． 9．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍美好区间”特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“完美区间”下列结论正确的是（    ） A．是函数的“完美区间” B．若为的“完美区间”，则 C．二次函数存在“倍美好区间” D．函数存在“完美区间”，则实数的取值范围为 三、填空题 10．记，设，若对一切实数都成立，则实数的取值范围是 ． 11．记函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 12．若，记的最小值为，的最大值为，则 . 13．定义表示中的最小值，表示中的最大值．已知实数满足，，则的值为 ． 14．定义若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 15．设函数，对于任意的实数a，b，总存在，使得成立，则实数t的取值范围是 . 16．已知函数,当时，设的最大值为，则的最小值为 ． 四、解答题 17．已知函数. （Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当时，求证：； （Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值． 18．记函数在区间D上的最大值与最小值分别为与.设函数，.. (1)若函数在上单调递减，求的取值范围； (2)若.令.记.试写出的表达式，并求； (3)令（其中I为的定义域）.若I恰好为，求b的取值范围，并求. 19．定义． (1)写出函数的表达式； (2)已知函数，求的最小值； (3)已知函数，当时，的最小值为8，求实数的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A B D B C C ACD BD ACD 1．A 【分析】根据给定条件，分段求解不等式即可. 【详解】令，解得， 当时，，，即，且，解得； 当时，，，即，且，解得， 当时，， ，而为正实数，则此种情况无解， 所以正实数的取值范围为或. 故选：A 2．B 【分析】由题意在同一个坐标系中，分别作出三个函数的图像，再按要求得到的图象，结合图像易得函数的最大值． 【详解】    如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数的图象， 而的图象即是图中勾勒出的实线部分， 要求的函数的最大值即图中最高点的纵坐标. 由联立解得，，故所求函数的最大值为． 故选：B． 3．D 【分析】根据题意求出的解析式，结合图象即可求出的范围，进而可求. 【详解】令,即,解得, 令,即,解得或, 所以 又， 要使函数在区间的值域为, 当时,,当时,, 则当时的长度取得最大值2. 故选：D. 4．B 【分析】根据定义作出函数的解析式和图象，根据函数值域，求出对应点的坐标，利用数形结合进行判断即可． 【详解】 其中，， 即， 当时，当或时，由，得， 即或， 当时，当时，由，得， 由图象知若在区间，上的值域为，，则区间，长度的最大值为， 故选：． 【点睛】利用数形结合思想作出函数的图象，求解的关键是对最小值函数定义的理解. 5．C 【分析】由已知|f（x）|的最大值为M，得到|f（-1）|，|f（2）|，|f（1）|都不大于M，利用三角不等式得到所求． 【详解】解：因为函数定义域为，记的最大值为， 所以|f（）|，|f（2）|，|f（1）|都不大于M， 即, , , 所以 . 所以， 即M的最小值为：2； 故选C． 【点睛】本题考查了三次函数的性质以及绝对值三角不等式的运用求最值，属于中档题． 6．C 【分析】先求得函数的解析式，并求出它的值域.根据二次函数图像的特点，对分成和两类讨论，求出使得的值域是值域的子集成立的的范围，由此求得的最大值. 【详解】令，解得，故当时，，当时，，所以.所以当时，函数的值域为，当时，的值域为，所以的值域为.函数，它的图像开口向上，对称轴为，则当时，函数在上的值域为，是的子集，符合题意.当时，函数在上的值域为，它是的子集，故，解得.综上所述，满足题意的的取值范围是.所以的最大值为，故选C. 【点睛】本小题主要考查新定义最小值函数的理解，考查恒成立问题和存在性问题的求解策略，属于中档题. 7．ACD 【分析】根据定义结合分段函数的相关概念一一判定即可. 【详解】易知同为有理数或同为无理数， 所以，故A正确； 由题意可知，故B错误； 易知同为有理数或同为无理数， 所以，故C正确； 由题意可知均为有理数，所以，故D正确. 故选：ACD 8．BD 【分析】结合二次函数、指数函数、对数函数的性质求解判断A；根据分段函数的单调性求解判断B；转换问题为，即为，即可判断C；直接代值计算即可判断D. 【详解】对于A，当时，， 当时，， 当时，， 因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 则， 综上所述，函数的值域为，故A错误； 对于B，由A知，函数在上单调递增， 要使函数在上单调递增，则，解得， 则的取值范围是，故B正确； 对于C，因为，恒成立， 由A知，函数在上单调递增， 所以，即为， 即恒成立，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：BD. 9．ACD 【分析】对于A，根据单调性求在上的值域，结合定义判断结论， 对于B，根据定义，结合二次函数性质，列方程求，判断结论； 对于C，假设该函数存在“倍美好区间”，根据定义列方程求区间端点，判断结论； 对于D，设函数的“完美区间”为，由定义列方程求的范围，由此判断结论. 【详解】对于A，函数在单调递减，所以值域也是，故A正确； 对于B，因为函数的对称轴为，图象开口向上， 故函数在上单调递增，所以其值域为， 又因为为的完美区间， 所以，解得或，因为，所以，B错误； 对于C，若存在“倍美好区间”， 则设定义域为，值域为， 当时，易得在区间上单调递减， ，两式相减，得，代入方程组解得，，C正确； 对于D，的定义域为，假设函数存在“完美区间”， 若，由函数在内单调递减，则，解得； 若，由函数在内单调递增，则 即在有两解，，得， 故实数的取值范围为，D正确． 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 10． 【分析】根据题意对一切实数都成立，则利用定义求出的最小值，然后解出不等式即可. 【详解】因为， 所以， 所以，即， 当时取等号，即的最小值为6， 因为对一切实数恒成立， 所以， 解得， 因此实数的取值范围是， 故答案为： 11．/ 【分析】先将看作关于的函数，利用导数讨论其单调性后用表示其最大值，最后再利用导数求该最小值的最大值即可. 【详解】设，，则， 当，时，（不恒为零）， 所以是减函数，所以． 设，则， 当时，，单调递增， 所以． 故答案为：. 12．-1 【分析】利用导数研究的单调性并确定其值域，由二次函数性质确定值域，根据题设定义求A、B，即可得结果. 【详解】由二次函数性质知：， 而，则， 所以上，递增，上，递减， 当趋向负无穷时也趋向负无穷，当趋向正无穷时趋向0，而， 所以， 则可得，，，故. 故答案为：-1 13． 【分析】由题设分析出实数中2个为负数，1个为正数，然后利用基本不等式放缩求出最大值的最小值即可. 【详解】因为，， 所以实数中2个为负数，1个为正数， 不妨设，则， 因为，所以， 因为，，所以，即，解得， 所以的最小值为，即的值为， 故答案为： 14． 【分析】先表示出的解析式，然后作出的图象，根据图象求解出最大值；结合图象分析值域为时定义域的情况，由此确定出的取值情况，即可求的最大值. 【详解】当时，解得或， 所以， 作出的图象如下图所示： 由图象可知：当时，有最大值，所以； 当时，解得或或； 当时，或， 由图象可知：当，时，的值域为，此时的最大值为； 当时，的值域为，此时， 由上可知，的最大值为， 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：本题考查取最小值函数的应用，处理这一类函数时，图象法是首选方法，通过数形结合的思想能高效的将问题简化.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的数目；（2）求参数范围；（3）解不等式；（4）研究函数性质. 15． 【解析】分情况讨论不同取值时函数在，上的范围，从而确定的最大值，将对任意实数，，总存在实数，使得不等式成立，转化为恒成立，即可解决． 【详解】因为存在，使得成立， 所以， 因为对于任意的实数a，b， , 所以恒成立， 设的最大值为（b）， 令，二次函数的对称轴为， 当，即a>0时，单调递增， 此时， 当时，（b），当时，（b）， 从而当时，时（b）取最小值，（b）， 当时，在，上单调递减，在，上单调递减， ， 所以当时，. 当时，在，上单调递减，在，上单调递减， ， 所以当时，. 当a＜-8时，单调递减，， 当时，（b），当时，（b）， 从而当a＜-8时，时（b）取最小值，（b）. 综合得.所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查函数的图象和性质的应用，考查函数的单调性和最值，考查恒成立和存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题． 16． 【详解】设，则，由于，则，所以将以上三式两边相加可得，即，应填答案． 点睛：解答本题的难点在于分析函数的最大值是如何取得的，在一个就是如何构造绝对值不等式使得问题成立．求解时充分借助题设条件，先分出函数的最大值只有在中产生，如果直接求其最大值则很难奏效，这里是运用绝对值不等式的性质及不等式取等号的条件，也就是等且仅当时取等号，即取等号，这是解答本题的关键，也是解答本题的难点． 17．（Ⅰ）和. （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）. 【分析】(Ⅰ)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程； (Ⅱ)由题意分别证得和即可证得题中的结论； (Ⅲ)由题意结合(Ⅱ)中的结论分类讨论即可求得a的值. 【详解】（Ⅰ），令得或者. 当时，，此时切线方程为，即； 当时，，此时切线方程为，即； 综上可得所求切线方程为和. （Ⅱ）设，，令得或者，所以当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数； 而，所以，即； 同理令，可求其最小值为，所以，即，综上可得. （Ⅲ）由（Ⅱ）知， 所以是中的较大者， 若，即时，； 若，即时，； 所以当最小时，，此时. 【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 18．(1) (2)， (3)，=0 【分析】（1）先写出解析式，由在上单调递减列式解出的范围； （2）分和两类讨论，分别求出和，然后求出，再结合的单调性求出； （3）先分、、三类讨论，分别求出解析式，结合I恰好为探讨b的取值范围为，然后再分和求出，并计算其最小值. 【详解】（1）∵在上单调递减， ∴，解得 （2）， 当时，， ， ∴ 2） 当时，， ， ∴ 故， ∵在上单调递减，在单调递增， ∴ ， 故当时，得. （3）ⅰ）当时，， ⅱ）当，即时， ⅲ）当时，即（*）， ①若即， 由（*）知，但此时，∴不合题意. ②若即， 由（*）知， 此时，， ∴， 且 于是，当时， 当时， 即 从而可得当时， 【点睛】方法点睛:处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. 19．(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据新函数的定义，写出表达式． （2）由题意可知，再分类求出的最小值； （3）由（2）知可能是两函数的取大或取小型，利用假设法求出，再用新定义求解． 【详解】（1）根据已知． 可得． 化简得． （2）由题可知． 因为，当过时， 作出函数的大致图象， 当时，由可得， 所以． 当时， ． 综上，． （3）因为， 令，解得， 所以， 因为，所以． 因为，恒过定点， 所以，即， 所以实数的取值范围为． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $