山东省青岛市2025--2026学年八年级数学下学期期末复习卷

**基本信息** 立足核心素养，融合文化传承（古钱币图形识别）与现实应用（共享电动车收费），梯度设计（从基础计算到旋转探究）突出思维能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|轴对称与中心对称、分式性质、平行四边形性质|第1题以古钱币邮票为情境，考查几何直观与抽象能力| |填空题|5/20|二次根式意义、旋转性质、角平分线作图|第15题结合尺规作图，体现空间观念与推理意识| |解答题|8/90|函数应用、几何探究、实际问题建模|第20题共享电动车收费函数，培养模型意识；第23题旋转面积探究，发展创新意识与推理能力|

山东省青岛市2025--2026学年八年级数学下学期期末复习卷 一、单选题（每小题4分，共40分） 1．古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是记录在《中国古代钱币》特种邮票中的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列分式中，与分式结果相等的是（   ） A． B． C． D． 3．若，那么下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线，四边形为平行四边形，顶点B恰好落在直线n上，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知的面积为8，在上截取，作的平分线交于点，连接，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 6．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，边的中点是坐标原点，将正方形绕点按逆时针方向旋转90°后，点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°．若E是BC边的中点，BD＝10，AC＝6，则OE的长为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 9．如图是由两个正五边形、两个正六边形拼成的轴对称图形，已知正五边形和正六边形的边长相等，则是（   ） A． B． C． D． 10．已知有一组代数式满足（n为正整数）的数量关系，如：，我把满足这种数量关系的代数式称为“衍生式”，现有一组“衍生式”，其中，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（每小题4分，共20分） 11．若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 12．已知关于x的一元二次方程，则它的解为_______． 13．如图，在中，，，．将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，连接，则的长度为______． 14．如图，在四边形中，，平分．将四边形绕点A按逆时针方向旋转一个角度，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是______． 15．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点；②作垂直于点；③以点为圆心，以为半径作弧，交于点，再以点为圆心，为半径作弧，交于点．若，则与的比值为_____． 三、解答题（共90分） 16．如图，已知，为射线上一点，请用尺规作图法，在内部求作，使且．（保留作图痕迹，不写作法） 17．因式分解 (1)； (2)． 18．先化简，再求值：，其中． 19．如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题： (1)将向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后得到，画出； (2)将绕点顺时针旋转一定的角度，得到点的对应点的坐标为，请画出旋转后的． 20．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费y（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： (1)分别求，关于x的函数关系式； (2)小明每天骑行A品牌或B品牌的共享电动车外出，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度相等，那么小明选择哪个品牌共享电动车更省钱？ 21．如图，平行四边形的对角线，交于点O，E是上的点，连接并延长，交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，求的值． 22．某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． (1)求A，B两种帐篷的单价各多少元？ (2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 23．【问题背景】如图1，在中，．将绕点逆时针旋转至，记旋转角，当线段与不共线时，记的面积为，的面积为．    【特例分析】如图2，当恰好过点，且点，，在同一条直线上时． （1）______°； （2）若，则______，______； 【推广探究】某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中，与之间存在一定的等量关系．再经过独立思考，获得了如下一些解决思路： 思路1：如图1，过点，分别作直线平行于，，两直线交于点，连接，可证一组三角形全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题； 思路2：如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，可证一组三角形全等，再根据旋转的相关性质解决问题； …… （3）如图3，请你根据以上思路，并结合你的想法，探究与之间的等量关系为______，并说明理由． 【拓展应用】在旋转过程中，当为面积的时，的值为______    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省青岛市2025--2026学年八年级数学下学期期末复习卷》参考答案 1．B 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解；A．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； C．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选B． 2．B 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分子分母同乘以一个非零数，分式的值不变是解题关键．根据分式的性质将各选项变形比较即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 3．B 【分析】根据不等式的性质判断即可． 【详解】A：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，a-3<b-3不成立，故此选项不符合题意； B：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，4a>4b成立，故此选项符合题意； C：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，-2a>-2b不成立，故此选项不符合题意； D：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不成立，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 4．C 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．过点作，得出，，进而得到，再根据平行四边形对边平行求解即可． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ， 四边形为平行四边形， ， ， 故选：C． 5．B 【分析】根据等腰三角形底边上的三线合一的性质可得AP＝PD，然后根据等底等高的三角形面积相等求出△BPC的面积等于△ABC面积的一半，代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵BD＝BA，BP是∠ABC的平分线， ∴AP＝PD， ∴S△BPD＝S△ABD，S△CPD＝S△ACD， ∴S△BPC＝S△BPD＋S△CPD＝S△ABD＋S△ACD＝S△ABC， ∵△ABC的面积为8， ∴S△BPC＝×8＝4． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形底边上的三线合一的性质，三角形的面积的运用，利用等底等高的三角形的面积相等求出△BPC的面积与△ABC的面积的关系是解题的关键． 6．C 【分析】根据旋转可得：CB'=CB=2，∠BCB'=90°，可得B'的坐标． 【详解】如图所示， 由旋转得：CB'=CB=2，∠BCB'=90°， ∵四边形ABCD是正方形，且O是AB的中点， ∴OB=1， ∴B'（2+1，2），即B'（3，2）， 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键． 7．A 【分析】不等式的解集，指直线落在直线下方时的自变量的取值范围，观察图象即可． 【详解】观察图象可知，当x＜﹣1时，直线y＝2x落在直线y＝k+b的下方， ∴不等式2x＜kx+b解集为x＜﹣1， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式之间的联系，根据函数图象即可得到不等式的解集是解题的关键． 8．B 【分析】根据平行四边形的性质得出OA＝3，OB＝5，进而利用勾股定理得出AB的长，利用三角形中位线得出OE即可． 【详解】解：∵▱ABCD，BD＝10，AC＝6， ∴OA＝3，OB＝5，AB∥DC， ∵∠OCD＝90°， ∴∠BAO＝90°， ∴AB＝， ∵E是BC边的中点，OA＝OC， ∴2OE＝AB， ∴OE＝2， 故选：B． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出OA=3，OB=5解答． 9．B 【分析】连接、、、，根据正多边形的性质和等边对等角的性质，得到，，，根据轴对称的性质，易证四边形是平行四边形，再结合平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接、、、， 由题意可知，，，，， ，， 同理可得， 由轴对称的性质可知，，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，找出角度之间的数量关系是解题关键． 10．C 【分析】题目主要考查代数式的规律问题，乘法运算及加减运算，理解题意，找出规律是解题关键 通过计算前几项发现周期性，利用周期性简化计算即可 【详解】解：∵ ∴ 由此发现周期为6， ， ∴每6项乘积为1， ∴前24项为4个完整周期，乘积为， 第25项为， 故总乘积为， ∵余3， ∴， ∴， 故选：C 11．且 【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式的有意义的条件，分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴且； 故答案为：且 12． 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 13． 【分析】先由含30度角的直角三角形的性质得到，由三角形内角和定理可得，由旋转的性质得到，证明是等边三角形，得到，则可证明是等边三角形，得到． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识点是解题的关键． 14．75 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义 ，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据角平分线的定义和旋转的性质的度数即可． 【详解】解：，平分． ， 又旋转的性质，可得， ， 即四边形旋转的角度是． 故答案为：75． 15．/ 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及其尺规作图，勾股定理，全等三角形的性质和判定，由角平分线的性质得到，设，则，，勾股定理求出，则由勾股定理可得，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可得平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴可设，， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴， 在中，由勾股定理得， 由作图方法可得，则， ∴， ∴． 故答案为：． 16．见解析 【分析】此题考查了尺规作垂直平分线，三角形，等边三角形的性质和判定，三线合一等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 以点C为圆心，为半径画弧交于点D，连接，然后作出的垂直平分线交于点P，即为所求． 【详解】如图所示，即为所求． 证明：由作图可得， ∵ ∴是等边三角形 ∴由作图可得， ∴ ∴即为所求． 17．(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用提取公因式法因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用公式法因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．， 【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可． 【详解】解： ． 当时， 原式． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，熟练掌握平移作图和旋转作图的方法是解题的关键． （1）按照平移要求作出点的对应点，再顺次连接即可作图； （2）由点的坐标可得绕点顺时针旋转，再根据旋转的不变性作出旋转后的点，再连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，即为所求： 20．(1)； (2)当骑行时间为时，A，B两种品牌的共享电动车收费相等，选A，B一样；当骑行时间小于时，选B品牌；当骑行时间大于时，选A品牌． 【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式，从一次函数图象获得信息解决实际问题，正确掌握相关知识是解决问题的关键． （1）是关于x的正比例函数，由图象知过，利用待定系数法分别求得函数解析式即可；是关于x的一次函数，由图象知过点，，利用待定系数法分别求得函数解析式即可； （2）根据图象可比较，的大小，需要分类讨论，即可解决问题． 【详解】（1）解：设， 过代入得， ， 解得：， ， 关于x的函数解析式为； 设当时，， 将点，代入得， ， 解得， 当时，， ； （2）解：由图象知，当骑行时间为时，A，B两种品牌的共享电动车收费相等，选A，B一样； 当骑行时间小于时，选B品牌： 当骑行时间大于时，选A品牌． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形判定与性质及直角三角形性质，解题关键是利用平行四边形性质找条件证全等、推边与角关系． （1）利用平行四边形的性质得、，结合对顶角相等，证，得，再由证四边形是平行四边形，从而得出结论． （2）由和，在中利用直角三角形性质得，结合勾股定理求，再根据平行四边形性质得与、与的关系，进而求出的值． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． （2）， ， ， ， 中，由勾股定理得 四边形是平行四边形， ，， ． 22．(1)A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元 (2)当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元，根据用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等建立方程求解即可； （2）设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元，根据购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元． 由题意得：， 解得： 经检验：符合题意， ， 答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元． （2）解：设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元． 由题意得：， 解得：． 又两种型号的帐篷均需购买， ． ， ， 随m的增大而减小 当时，W取最小值，， 此时， 答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元． 23．（1）60；（2）；；（3），理由见解析；拓展应用：或 【分析】（1）由旋转的性质和平行四边形的性质，等角对等边，可得是等边三角形，即可求解； （2）过点F作交延长线于点，设交于点N，通过证明，进而得出，再证明，可得，仅为求解即可； （3）分别根据思路1和2进行推理证明即可； 拓展应用：先根据面积之间的关系得出，继而得出，分别在图3和图2中进行求解即可． 【详解】（1）由旋转可得，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：60； （2）如图，过点F作交延长线于点，设交于点N，    ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 思路1：如图，过点，分别作直线平行于，，两直线交于点，连接， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵旋转， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴.    思路2：如图，过点作交延长线于点，过点作交延长线于点， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴；    拓展应用： ∵， ∴当为面积的时，， 由（3）思路2得，， ∴， ∴，即， ∴， 如图3，； 如图2,， 综上，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $