江苏泰州市2026届高三考前自测数学试卷

高三数学试卷 （考试时间：120分钟；总分：150分) 命题人：张海泉杨元军李玉莲王光华 审题人：吴春胜张新志 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的。 1.设集合A={x2,B={xx<2},则AnB= A.{xx≤- B.xx21 C.{xl≤x<2 D.{xx≤-1或1≤x<2 2.己知复数z满足zi=1+i,则|z日 A.1 B.2 C.3 D.2 3.正六棱柱的底面边长为6，高为4.若挖去一个以正六棱柱上底面的中心为顶点，正六 棱柱下底面为底面的正六棱锥，则剩余部分几何体的体积为 A.725 B.1445 C.1805 D.2445 4.将函数fx)=si2r的图象向右平移刀个单位长度后所得图象的解析式为 A.y=sin(2x+) B.y=sin(2x-爱 C.y=cos(2x+) D.y=cos(2x+) 6 6 5.“a,+a=2a”是“数列{an}为等差数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 6.已知向量a,b,c均为单位向量，若a+b+c=0,则a与b的夹角为 A得 B.月 c D.3 4 7.若圆x+1)2+(y-2)2=1上存在两个不同的点M,N,直线4x+3y+1=0上存在一点P, 使得∠MPN=60,则实数t的取值范围是 A.[-12,8] B.（-o,-12]U[8,+∞) C.[-16,4] D.（-∞，-16]U[4,+o∞) 高三数学试卷第1页（共5页） 8.己知函数f(x),g(x)的定义域均为R,函数g(x-1)-1是奇函数，函数f(x-)是偶函 数.若g(x-1)=f(x)-2,f)=1,则g()+g(2)+8(3)++8100)= A.100 B.225 C.400 D.2026 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题正确的是 A.若数据x,x2,,xn的方差为3，则数据3x+1,3x2+1,,3xn+1的方差为9 B.若随机变量X~N(2,σ2)，P(X≤4)=0.8，则P(X<0)=0.2 C.若一组样本数据(：，出)，(x2,2),,(x,y)的所有点都在直线y=0.5x-2上，则这组 数据的样本相关系数0.5 D.已知P(A)=0.5,P(B1A)=0.4,P(B|A=0.6,则P(B)=0.5 10.已知正项数列a,}满足a=+匠 1,则 A.02026>a2025 B.存在等差数列{an}满足条件 C.4ai-4ana =1 D.a2-d<2 11.已知函数f(x)=(x-2)lnx存在极小值点x。,则 3 A.>2 B.函数f(x)有唯一的极小值点x cf-君 D.函数f(x)有且只有3条斜率为4的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2.已知(-) 的展开式中的第5项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的常数 项为」 13.已知双曲线 x2 y2 b2 =1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),直线x=-c与双曲线的渐近线相 交于点P,点P在第二象限.直线PF与抛物线y2=4x的一个交点为Q,若FP=3FQ,则 双曲线的离心率为 高三数学试卷第2页（共5页） 14.一个盒子中装有2个黑球和8个红球.随机地从盒子中取一个球，观察其颜色后放回， 若出现连续两次取到红球，则停止取球，那么取球总次数的数学期望为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数f(x)=x(x-C)2,ceR. (1)若c=1,求f(x)在x=2处的切线方程： (2)若f(x)在x=2处有极大值，求c的值. 16.(15分) 某趣味闯关游戏规则如下：选手每轮独立进行一次挑战，每轮挑战成功的概率为 p(0<p<),失败的概率为1-p,各轮挑战相互独立.规定：若选手某轮挑战成功得1分， 挑战失败得0分.设选手进行n轮挑战后，总得分恰好为n-1分的概率为an· (1)求a2: 2)若p号 (i)求an的最大值： (i)是否存在正整数P,9,使得，a,Q,成等差数列.如果存在，求P,9的值：如 8 果不存在，请说明理由. 高三数学试卷第3页（共5页） 17.(15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知2c=b+2 acos B. (1)求A: (2)若M为BC的中点，3AN=AB,AM,CN相交于点P. (i)若BC=2,求△APC面积的最大值： (i)若AM= 5 a,求∠MPN的余弦值. 18.(17分) 已知椭圆cx+兰=1a>0,b>0的离0竿月2’短轴长为2 (1)求椭圆C的标准方程： (2)设直线1与椭圆C交于A,B两点，原点0到直线/的距离为25 记直线OA,OB 的斜率分别为k,k2· (i)求证：kk,为定值： (i)求△AOB的面积的最大值及此时直线I的方程. 高三数学试卷第4页（共5页） 19.(17分) 如图，在三棱柱ABC-AB,C中，侧面ABB,A⊥底面ABC,AB=BB=2,AC=2√5， ∠BBA=60,D是A,B的中点，BC=4BE,DE⊥BC. (1)证明：AC⊥BB: (2)求四面体A-AED外接球的表面积S: (3)动点M在平面ABC内，∠MAB和∠MBA均为锐角，AM+BM=4.设平面BBM 与平面BAM的夹角为0，求cos0的最小值. D B 高三数学试卷第5页（共5页） 高三数学参考答案 一、进择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在知小腹你出的四个功中，只 为一项是符合题目要求的。 逍 2 3 4 5 6 7 个农 0 B D B C 二、选择題：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，打乡项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选销的得0分， 巡 9 10 1 答米 BD ACD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.45 13. 14. 45 16 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.解：(1)当c=1时，则∫(x)=x《x-)2. 放∫'(x)=(X-l）(3.x-l），2分 所以∫(x)在x=2处的切线的斜*为'(2)=5， 义∫(2）…2， 4分 所以./().x:2外到切线州为y-25(x-2), f0y=5x-.1 .6分 (2)因为∫(x)=x(x', 所以f'(x)=(x-c)2+x2(x-:=(,c(3x·) 由f(x)在x=2处有极人得'(2)=0， 即(2-c)(6-c)=0, 所以c=6或c=2, …… ic2时、 则/'()=(-23r-2). 9e(引u(2)时，八>0：当xe(后2]时.f<0 所以)在区阿(-如写引利K们(2m)上m调递圳，因)在区问（行2)上单调逸减。 此时∫(x)作x=2处行极小作，与∫(x)在x=2处有极大值矛历 .10分 当c=6时. 则'()=3(x-6)(r-2). 当.x∈(-∞2U(6+o)时，'(x)>0:当x∈(2,6)时，∫'(x)<0. 所以∫(x)在区间(-∞，2)和区间(6.+∞)上单调递增，在区间(2,6)上单调递减， 此时∫(x)在x=2处有极大值，满足条件. …12分 家上所述，C=6。… .13分 16.解：(1)因为a2表示选手进行2轮挑战后，总得分恰好为」分的概率， 即选手在2轮挑战中，恰好有一次成功和一次失败，2分 所以a3=C2p(1-p)=2p(门-p）..4分 (2)(i)因为an表示选手进行n轮挑战后，总得分恰好为n-1分的概率， 即选手在n轮挑战中，恰好有n1次成功和一次失败， 所以0n=Cg-y-'(l-p)=il-p)p-1, n 当p=2时，a,7 ， 6分 所以a-61经2兴2会 当n23时，0n-0-1<0,8分 即a>4,>a4>…>an, 高三数学答茶第2页（共10页） 当n=2时，a3=a, 综上所述，当n=1,2时、a,的最大值为 .10分 设存在正整数p,9,使得日9，“，成等差数列 即2a,号*4 所以2×卫=5+9 2P829 所以号品> 因为当n22时，数列2} n 递减， 3.5 15 又a,-8161 0= 416 所以p=1,2,3. …12分 当p=1时， 则号所以g 当p=2时， 则=3 所以q=3: 298 当p=3时， 则号日 所以9无解. 综上所述， p=1, p=2. (9=3或 9=3. …15分 17.解：(1)由正弦定理0b=c 及2r=b+2o5B得 sin A sin B sinC 2sin C=sin B+2sin Acos B. 由A+B+C=π得sinC=sin(A+B)=sin AcosB+cos Asin B, 所以2 sin Acos B+2 cos Asin B=sinB+2 sin Acos B. 所以sinB(2cosA-1)=0, 的三鼎学答米第3页（共10页） HBc(0.r)得sinB>0, 所以c0sA=2 2分 I闪为Ae(0.π)， 所以A= ，3分 (2)(i)过M作MQ∥AB,MQ与CN交于2， 因为M为BC的中点， 所以MQIlBN.MQ=二BN, 因为3AN=AB, M 所以MQIIAN,MQ=AN, 所以AP=PM, 所以SW=SurC 4 5分 因为BC=2,A=号 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos60°=b2+c2-bc, 所以bc≤4， 当且仅当b=c时等号成立， 所以5c=csin受=5bcs5. 2 34 所以△APC面积的最大值为5 .7分 )由AMaB+AC·AM名用 2 45a2=B+62+2bcos60P, 2 p3a2=b2+C2+bC,9分 又a2=b2+c2-bc, 所以3b'+c2-bc=b+c+bc, 所以b=C.1川分 ,·.以的儿体A行1计1n而1 因为A=子所以a=b=c 因为CN=CA+AN=AB-AC, 又1西-网号.-西+--，3分 所以cos∠MPN=cos<CN.AM>= AM.CN -V2 McN5ax迈 71 -a× 2 3 18.解：(1)由椭圆的离心率为 ,短轴长为2得 S= ,2b=2,a2=b+c2, 所以a=2,b=1,c=√5 所以椭圆C的标准方程为 4+y1. 44444444,3 (2)()当直线1的斜率不存在时， 因为原点0到直线1的距离为25 5 25 所以直线/的方程为x= 或x=25 5 当x25时， 5 .25 x= 由 5 得42525,25.25 +y=155 5,5 4 525 所以k6,=-0x凸-0-5 x5=-1. x-0.-02525 55 同理可得，当X三-25时、kk,=-.4分 5 当直线斜率存在时，设直线1的方程为y=r+m. 因为原点0到直线1的距离为25 凸二数学答关第5页（共0灭） 所以m=25 V+15 即4k2=5m2-4.… 6分 设A(x,y)B(x22), y=kx+m, 由 2+2=1得1+4k2)x2+8ox+4n2-4=0, 所以△=(86m2-40+42X4m2-4)=160+4k:-m)=16d6k+D>0. 5 8km 4m2-4 又4+名=1+4欢，名=1+4， 所以yy=(化+m)a+m)=k2xx2+m(x+x3)+m2 =k'x4m2-4 1+4k2+6n 1+4k+m2=m之4k: -8kn 1+4k2,8分 m2-4k2 所以k,=业=+4k=m2-4秋_m产-5m-4_4-4m2。 xx34m2-44n2-44m2-44m2-4 1+4k2 综上所述，kk,为定值. …0分 (i)当直线/的斜率不存在时，A8-45 145254 所以△AOB的面积为S6Mon=)× -X 2555 1分 当直线1的斜率存在时， 由(i)得1AB到=V-x)2+(y-y2)=V+kx-x =+kV+x)2-4x -++4胶 -8kn)-4× 4m2-44V+k2V+4k'-m 1+4k: 1+4k2 41+k16k+1) 13分 V5(1+4k2) 高=数学答米第6页（共10页） 令1=1+4k≥1.即k=. 4 a石x+341-3)2 2x3=5, 当且仅当1=2时.h8=厉×乞 所以△AOB的面积的最大值为(Soe:=2 5x25 、 =|..15分 5 此时-= 即k=2 所以m=l, 所以直线的方程为y三土X+或y三土7分 2 19.解：（1)连结AE,AD,AB, D 在平行四边形AAB,B中， B 因为AB=BB=2,∠BBA=60,D为AB,中点， 所以AD⊥AB,由AB∥AB,得AD⊥AB. 又平面ABB,A⊥底面ABC, 平面ABB,A∩底面ABC=AB,ADc而ABB,A, 所以AD⊥底面ABC, 因为BCC面ABC,所以AD⊥BC. 又DE⊥BC,AD,DEC而ADE,AD∩DE=D, 所以BC⊥平面ADE. 又AEC面ADE,所以AE⊥BC.… .2分 因为C=4证所以E=丽+4C, d 所以+40-(ac-=0. 4 西二数学答米第7页（共10贝) 即AC-3AB+2AB.AC=0, 因为AB=2,AC=25, 所以AB.AC=0, 即AC⊥AB. …4分 又平面ABB,A⊥底面ABC,平面ABB,A∩底面ABC=AB,ACc平面ABC, 所以AC⊥面ABBA, 因为BB,C面ABB,A, 所以AC⊥BB. 6分 (2)设0为AB的中点，在平面ABC内，作Oy⊥AB,以OB,O,OB为一组正交基底 建立如图所示的空间直角坐标系O-y2, (15 则A(-1,0.0), 22 0 B1,0.0,B,(0,0V3), 取AA的中点为F, 因为AD⊥AD,所以FA=FA=FD, 设四面体A-AED外接球的球心为G, 设向量GF=(0,l,0),… 8分 由4=BB=(-1,0,V3)得A(-2,0.V3). 所似r乳 因为GE=GA, 所u3{9g(3ji-r+9可 所以1=-3 2 3355） 所以G-22·) .10分 所以四面体A-AED外接球的半径为r=GA= +27+3. 442 所以外接球的表面积S=42=31π· 12分 (3)A(-1,0.0),B(10.0),B,(0,0.) 由AM+BM=4>AB=2知点M的轨迹方程为号+号=1. 3 设M0mL0,则m+=l. 43 因为∠MAB和∠MBA均为锐角，所以-1<m<I, 又BM=(m-1,n.0),BB=(-1.0.3). 设平面B,BM的一个法向量为m=(g,乙)· ∫元·BM=0,a∫m-0x+=0. 由 得 mBB=0-x+3z=0, 取乙=n.则元=(3m.50-mm）.13分 义AM=(m+1,n.0),AB=1.0.√5). 设平面B,AM的一个法向为m=(x·:)· 元·AM=0,m+0x3+y:=0, 由 m,·AB=0 得 x+3=0, 取乙3=-1，则2=(3n,-5(m+).-川).。14分 因为平面B,BM与平面B,AM的夹角为8， 2n2+3n2-3 所以cos0 V4n2+3m-1)2V4n2+3m+) w m +1 2 15分 Γ√15-6V15+6m√25-4m2 令V25-4m=1,则1∈(W21,5]. 所以cos日= -5，te2i,51. 8181 因为g(x)= 3-×在(51上单调递减， 8x8 所以cas=片 即c0s日的最小值为亏： 1江苏省泰州市2026届高三四模 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1.设集合A={x‖x≥1}，B={0x02},则AnB= A.{xx0-1 B.x x01 C.{xl≤0<2} D.{xx0-1或1≤x<2} 【答案】D 【解析】A=-o,-1U[1,+o）,B=(-o,2,AnB=（-o,-1][1,2) 2.己知复数z满足zi=1+i，则z= A.1 B.√2 c.5 D.2 【答案】B 【解折1z=1+仙+=1-i以：P-=万 i (-i训 3.正六棱柱的底面边长为6，高为4.若挖去一个以正六棱柱上底面的中心为顶点，正六棱柱下底面为底面的正 六棱锥，则剩余部分几何体的体积为 A.72√3 B.144W5 C.180W3 D.2445 【答案】B 【解折】正六边形底面积S=6.562=545 .正六棱柱体积 V=54v3×4=216V5 .挖去正六棱锥体积，=x54V5×4=725 2 .V=y-V2=144V5 4.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移 个单位长度后所得图象的解析式为 3 A.y=sin 2x π B.y=sin 2x+ 5π C.y=cos 6 D.y=cos 2x+ 6 【答案】D 【解析】向右平移 个位长度科=-写引m2x号) sin 7元-2x 6 5."a+a=2a"是"数列{an}为等差数列"的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】若{an}为等差数列，则a+a=2a 反之，取a,=1,a2=2,43=2,a4=4,a5=3,a1+a5=1+3=4=2a3,但 a2-a,=1,a3-a2=0,∴.{an}不一定为等差数列，故为必要不充分条件 6.已知向量a,b,c均为单位向量，若a+b+c=0,则a与b的夹角为 A年 B.T D. 3π 3 3 4 【答案】C 【解析】a+万=-，la+=卜=1.a++2a.万=l 1+1+2a.6=1今ā-6=-.设a与万的夹角为0，则cos0= ab 1 丽 2 →0=2 3 7若圆(x+12+(y-2)2=1上存在两个不同的点M,N,直线4x+3y+1=0上存在一点P,使得 ∠MPN=60°，则实数t的取值范围是 A.【-12,8] B.(-0,-12)U[8,+oo) c.[-16,4 D.-o0,-16]U[4,+o 【答案】A 【解析】圆心O(-1,2),半径r=1.设dp。=d,当d>1时，最大张角对应两条切线， ☑PN≤2a,sina三要存在∠MPN=60 则2a≥60°→a≥30°→ 1.1 ,2÷→d≤2. d21 当d≤1时，也成立，故只需直线4x+3y+t=0与圆心O(-1,2)的距离不大于2， 4-+3-2+1_+2≤2+2≤10今-12≤1≤8 V42+32 5 8.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,函数gx-1-1是奇函数，函数f(x-1)是偶函数.若 gx-1)=f(x)-2,f(1)=1,则g1)+g(2)+g(3)+…+g(100)= A.100 B.225 C.400 D.2026 【答案】A 【解析】令ux=gx-1-1,:ux为奇函数， g-x-1-1=-[g(x-1-1 ∴.gx-1+g(-x-1)=2,令t=x-1,则g(t)+g(-t-2)=2① 又'f(x-1)为偶函数，f(-x-1)=f(x-1,令t=x-1,则ft)=f(-t-2) 由g(x-1)=f(x)-2,得gt=f(t+1)-2, g(t)=f(t+1)-2=f(-t-3)-2=g(-t-4)② 在①式中令t变成-t-4,g-t-4)+gt+2)=2,结合②式，得 g(t)+g(t+2)=2③ 于是g(t+2)+gt+4)=2,g(t+4)=g(t,所以g(x)的周期为4. 又由③式，g1)+g(3)=2,g2)+g(4)=2,g1)+g(2)+g(3)+g(4)=4 100=25×4,g(1)+g2)+…+g(100)=25×4=100 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题正确的是 A.若数据x,x2,…,xn的方差为3，则数据3x+1,3x2+1,…,3xm+1的方差为9 B.若随机变量X~N(2,o2,P(X≤4=0.8，则P(X<0)=0.2 C若一组样本数据（x,y),x2,y2),…,xn,yn)的所有点都在直线y=0.5x-2上，则这组数据的样本相 关系数0.5 D.已知P(A=0.5,P(BA=0.4,PBA90.6,则P(B)=0.5 【答案】BD 【解析】设原数据方差为S2=3,则新数据方差s=32s2=9×3=27≠9，A错误 X~N2,02),0,4关于x=2对称，且正态分布连续， P(X<0=P(X>4=1-PX≤4)=1-0.8=0.2，B正确； 所有点都在y=0.5x-2上，且斜率0.5>0，r=1≠0.5，C错误， 由全概率公式，P(B)=P(A)P(BA+P(A PBA=0.5×0.4+(1-0.5)×0.6=0.2+0.3=0.5,D正确 10.己知正项数列{an}满足a1= n+va2+1 则 2 A.a2026>a2025 B.存在等差数列{an}满足条件 C.4a71-4an+an=1 nd 【答案】ACD 【群析】g-4,=a+00所以a>4sA对 2 由2a1=a+V@+l,2a1-a,=va+l,4a4-4a14,+a=a+1 4a元1-4a14n=l,C对： 若为等差数列，设公差为d,则d=an+1-an>0,4an+(an+1-an)=1 4d(a1+nd)=1,左边随n变化，不恒为1，矛盾，B错： 由C得a1-a,=4an -=(d-d.o+a. 4an 又am>≥a,>0所以0品<-e<+D发 11.已知函数f(x)=(x-2lnx存在极小值点七，则 3 A.0>2 B.函数fx)有唯一的极小值点七 e君 D.函数f(x)有且只有3条斜率为4的切线 【答案】BCD 【解折1方法一f八=(x-2到n时=人-2n-.<0 (x-2)nx,x>0 当x<0时，fx)=n-x)+x-2=1-2+n-x≥1-2+1+=2-1>0 xx f(x)在(-oo,0)上单调递增，f(x在(-oo,0)上无极值 当x>0时，(y=nr+-2=1nr-2+l,fy在(0，+o)上单调递塔注意到 33 且当0<x<x时，f'(x)<0,f(x)单调递减，当x>x时，f'(x>0,f(x单调递增，.x为f(x唯一 A错，B正确 对于C,由f'(x)=lnx,- 2+1=0→ln, 21 %-2-kj4 +c 对于D,当x<0时，令f川x)=1-2+ln(-x)=4,令-x=1,>0, 31t+2-3=0 t 令g川=+子-gW-子-学产g在0@2上年at(2a1e8 ∴g)mm=g(2)=lh2-2(0,）0且t→0时，g(4)→+0；1→+0时，g()→+∞，g()在(0,2)和 (2,+o)上各有一个零点4此时x<0,f)=4的两根为4,4，当x>0时令f川x)=1r-2+1 在(0，+0)上单调递增注意到x>0且x→0时，f'(x→-0；x→+0时，f'(x→+0，.x>0,3唯 的x∈(0，+0使f(x)=4,∴.函数f(x)有且只有3条，斜率为4的切线，D正确。 方法二：f(x)=(x-2)nx,定义域为(-o,0)U(0,+o）, 到=12r到是2令e=a12 0时，gxX+>0,x→0→8→-0，x→+0→gx→+ 所以g(x)=0在(0，+∞)上有唯一实根七，且∫”"(x)>0,所以七为极小值点. 当<0时g1-2xe-,-2÷g0,e-201÷gx0. g(-2)=lh2+2>0,x→-0→g(x)→+o∞，x→0→gx)→+o. 所以x<0时，g(x)>0,无导函数零点.故函数f(x)有唯一极小值点，B正确又 g(1=-1<0,8 “23 由0-i-侯-小-2 Xo 3(x-22_16x-25x,+24_2x,-33x。-8>0 又1<xX066xM 6xo 所以<-石C正晚 斜率为4的切线满足f八x到=4，即山+1-2=4 当x>0时，g(x)递增，且x→0*→g(x)→-0，x→+0→gx)→+0， 所以正半轴有唯一切点当x<0时，令u=-xu>0),1nu+1+2=4 u 即hlu=nu+2=3ru="-2 u2 u→0→huw)→+oo,h2)=ln2+1<3,u→+o0→h(u)→+oo. 所以h(W)=3有两个正根，对应x<0上两个切点 因此∫(x)共有3个斜率为4的切点.设切点横坐标为a,切线为y=4x+b. 当o-4a-326=o-如=a-23)-如a-4 a 0 正根a>0时，b=-a-4-4<0.负根a=-u时，b=u-4+4 a 两个发根分别为44，且付)=4-n2>3=2<3所以<出<1 又n2<2,A8=n8+-3h2+<<3所以4>8 4 4 42 49 4.9 6=-4+<6，=山，-4+>2 u 422 .故三条切线互不相同，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知 的展开式中的第5项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 【答案】45 由题知C=C号=””1，n-4n-5列=30.n=10设通 30 工=C(回气)=C(-旷名，令5--0为7=2所以常数项为c2-=45 13.已知双曲线 京存=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),直线x=-c与双曲线的海近线相交于点P, 点P在第二象限.直线PF与抛物线y2=4Cx的一个交点为Q,若FP=3FO,则双曲线的离心率为 【答案】√3 【解析】双曲线渐近线为y=±x,P在第二象限， r1eP-(0-印-()后8 (c bc =4c c b2 4b2 3'9023a=12 义c=d+,e-8+=丽 b2 a 14.一个盒子中装有2个黑球和8个红球.随机地从盒子中取一个球，观察其颜色后放回，若出现连续两次取到 红球，则停止取球，那么取球总次数的数学期望为 【学1将 【解析】方法一：设取球总次数为E(X), (x1+小+答2+X+]x)-8 21 方法二：设取到红球概率p= 84 ,取到黑球概率q= 105 105 设从无连续红球状态开始，到停止还需取球次数的期望为；设己经取到一次红球后，到停止还需取球次数 的期望为b a=1+ga+pb,b=1+g,a=1+2a+4b.b=1+a 14 5 -= a45 51 16 45 ∴.取球总次数的数学期望为 16 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 l5.已知函数f(x=x(x-c2,ceR (1)若c=1,求f(x)在x=2处的切线方程： (2)若fx)在x=2处有极大值，求c的值 【解析】(1)c=1时，f(x=xx-1)2,f'(x=(x-1+2(x-1)x=(x-1)(3x-1, k=f2)=5,切点（2,2)，∴.切线方程为：y=5(x-2)+2,即y=5x-8 (2)f'(x)=(x-c)+2(x-cx=(x-c3x-c,f'2)=(2-c(6-c=0, .c=2或6，当c=2时，f'(x)=x-2)3x-2), 在居2 上单调递减，(2，+∞）上单调递增 f(x)在x=2处有极小值，与条件矛盾，舍！ 当c=6时，f'(x)=3(x-6)(x-2), f(x)在(-o,2)上单调递增，(2,6)上单调递减 f(x)在x=2处有极大值，符合条件 综上：c=6 16某趣味闯关游戏规则如下：选手每轮独立进行一次挑战，每轮挑战成功的概率为p0<p<1)）,失败的概率 为1-p,各轮挑战相互独立.规定：若选手某轮挑战成功得1分，挑战失败得0分.设选手进行n轮挑战后，总得 分恰好为n-1分的概率为an, (1)求a4: 2若p=2 (①)求an的最大值； (D是否存在正整数p,9,使得 80,0,成等差数列如果存在，求P,9的值：如果不存在，请说明理由 【解析】(1)☑表示选手2轮挑战后恰好得1分的概率，P=p1-p)+(1-p)p=2p1-p) (2)①选手n轮挑战后总得分恰好为n-1分说明选手n轮中有一轮挑战失败，(n-1)轮挑战成功 .a=Cn 22 公-4-出是-票≤0银当n=1时服” 1 .a=a2>a3>a4>a5>…(an)ma=a1或a3= 2 回假设3正整数Pg使0,4，成等装复列期号一兰 5 当p=4时， 号这与円式子活.15ps8eN -28 当p=1或2时 是1是 。→q=3 29 59-39-1 55、1 当p=3时8+24→2089=5时京28 一十 =一→ > 631 g=6时，232g4,<a,<5→5<g<6此时无正整数解 综上：存在p=1,9=3或p=2,q=3符合条件 17.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c=b+2 acosB (1)求A; (2)若M为BC的中点，3AN=AB,AM,CN相交于点P. (①若BC=2,求△APC面积的最大值； (iD若AM= 二a,求∠MPN的余弦值， 【解析】 (I)由条件得2sinC=sinB+2 sinAcosB, .2(sinAcosB cosAsinB)=sinB+2sinAcosB cosAsinB =sinB.sinB0cosA- (2)①过M作MG/CN交AB于点G,:M为BC中点 BG=GN义ANAB,AN=NG克 P为4M巾点，Sm-5cw=45c=48 1 -bC· -bc 4 21 而b2+c2-2bc24→4+bc=b+c22bc.bc≤4 16 4 ,当且仅当b=c=2时取“：” 回w-西*c中a-84+2c +c+c=0+c-2c》-+e2=2冰 而b2+c2≥2bc当且仅当b=c时取“=” b=c,4上AABC为等边三角形 处理方式：设AB=3,AW=1,4C=3,CN=9+1-2x3x1x写=万 cos∠ACW 2x3xV727行sin∠4cv= 9+7-15 2V7<CAM= 6 ∴.cos∠CPM=cos 8<98-9 ∴.cos∠MPW=- √21 1 处理方式二：在等边△ABC中，AM⊥BC,设BC=2,AM=√5， p为中点PW=9CLC +1= cos∠MPN=-cos∠CPM=-PM=-V2 CP 7 1已知图C号+是=1a>06>0约俏心车为因 短轴长为2 (1)求椭圆C的标准方程： 2设直线1与椭圆C交于4，B两点，原点O到直线1的距离为25，记直线OA,OB的斜幸分别为 5 k.k (①求证：kk为定值 ()求△AOB的面积的最大值及此时直线1的方程 c 3 a2 a=2 【解析】方法一(1)由题意知2b=2 a2=b2+c2 6=1,C的标准方程为：子+y产=1 4 (2)①①当1斜率不为0时，设直线1的方程为x=y+t, A,),B(x2,y2) x2+42=4→(m2+4到产+2m0+2-4=0, x=my+t △=4m22-4m2+4:2-4）=16(m2-2+4>0 O到1的距离为d= -25 →4m2-5t2+4=0 Vm2+15 kk=4.五= yiy2 yy2 x x2 (my+t)(my2+t)m'yy2+mt(y+y2)+t2 t2-4 2+4 2-4 m2.24 -2mt +mt 2m?-4m2-2m7+m+4 m2+4 m2+4 t2-4 t2-4t2-4 412-4m2 4-(52-44-7-1 ②当1斜率为0时，设A 2V52W5 5,5 ，kk2=-1, 综上：kk2=-1为定值. (m①当1斜率为0时，S.4oB 145254 -X 2555 ②当1斜*不为0时，△=16mm++4(m+16 45、m2+16 A到=+m2y-为=+m. m2+4 5o=}+m.45.m+16254 m4+17m2+16 2 5m2+455Vm4+8m2+16 4 9m2 51+ ，要求(S.AoBm考察m2>0 m4+8m2+16 4 1+ 9 16 4×+9=4x1 m2+ 22+8V8+854 当且仅当m2=4,m=士2时取“：”，(S.4o08)mx=1 当m=2时，t=±2，当m=-2时，t=±2 ∴.直线1的方程为x±2y+2=0或x±2y-2=0 方法二0)由椭圆的离心率为5短轴长为2得9=5,26=2,0=62+c2所以4=2,6=1c=5 所以稀圆C的标准方程为+y=1。 4 (2)(①当直线1的斜率不存在时 因为原点O到直线1的距离 2w5 所以直线1的方程为=25成 2V5 5 当x= 2W5 时，由 5 学5 2V5 X= 25 2√5 所以k6,=当-0×h-0_ -x-5 =-1 x1-0x2-02W525 55 同理可得当x= 25时，kk=-1 当直线斜率存在时，设直线1的方程为y=kx+m 因为原点O到直线1的距离为 25 行等廊45m4 所以 m_2V5 5 y=kx+m, 设4,8由+y=1孕1+到r+8r+4m-4=0 所以A=8m2-41+42(4m2-4到=161+42-m)=1616+10. 5 又x+x2= 8km 4m2-4 +4k=1+4 所以yy2=(kx+m)(kx2+m=k2xx2+km(x+x2)+m2 1+4+kmx-8km =2x4m2-4 1+4环2+m2=m2-4k 1+4k2 m2-4k2 所以6k,=业=壮4长-4秋-5m-444m-1 xx24m2-4-4m2-44m2-44m2-4 1+4k2 综上所述，kk为定值 国当直线1的斜率不存在时A8=45 , 所应△40B的面积为&)452X5 -X 555 当直线1的斜率存在时， 由0得|AB=Vx-x,+-=+x-x=+kFVx+x)-4xx, 2 V1+k2 -8km 4× 4m2-4_4v1+V1+42-m2_4V1+k2)16k2+1 、1+4k2 1+4k2 1+4k2 V5(1+4k2） 令1=1+4k2≥1，即k2=1-1 则AB三2×Vt+3(4r-3) 2 25 当且仅当1=2时1BL=店×5. x25-1 所以△4OB的面积的最大值为So=)×N5×兰 5 此时=}，即k=士」 ，所以m=±1， 4 1 1 所以直线的方程为y=±。x+1或y=±三x-1 方法三：(1)感觉题面还是不够严谨！按椭圆标准方程默认α>b>0,由短轴长为2，得b=1. e=-a2-B-5a2-13 =2→a2=4 aa2’a2=41 .C. +y2=1. a0诺1r=:则4--29。-手 、4 4=-）gk点兰手-1 5 若1不竖直，设1：y=px+g,A(x,y),B(x2,》2), 25→g-4p+利 Vp2+15 5 联立 话+2=1→+4pr+8pm+4g2-=0 y=px+q x2 8pq 4g2-1 X1+X2= 1+4D=1+4p yiy2=(px+q)(px2+q)=p'xx2+pq(x+x2)+q" 4p2(g2-1-8p2g2 1+4p2 1+4p2 4p2+-4p 当，人均存在时，0，于是6，=业=94D 5 x4g-可44(p+1 45- ∴.kk为定值-1 m者国=3居-号 12544 S.AOB <1. 2555 若1：y=px+9,由上面方程得△=64p2g2-161+4p2(g2-1=161+4p2-g2) 9og -k-iF经4i206o可 5(1+4p2) 5-2-专o 1+4p2 令1=p≥0.则S80-6.1+1+16则 25(1+41)2 1-S-251+4-161+1+160.94- 25(1+4t)2 25(1+44) 20.5e≤1 当=时取等号.即p2=,g2 2-1p=29=1 1 5 1 ∴S=1,此时直线I的方程为y=2+ly= -y=+ly- 1 -1 即1：y=±。x±1. 2 19.如图，在三棱柱ABC-AB,C中，侧面ABB,A⊥底面ABC, AB=BB,=2,AC=2V3,∠B,BA=60°，D是AB的中点，BC=4BE,DE⊥BC (I)证明：AC⊥BB: (2)求四面体A-AED外接球的表面积S; (3)动点M在平面ABC内，∠MAB和∠MBA均为锐角，AM+BM=4.设平面BBM与平面 BAM的夹角为0，求cos0的最小值 D C 【解析】方法一(1)证明：：AB=BB=2,∠B,BA=60°，∴△AAB为等边三角形 AD⊥AB,→AD⊥AB,又侧面ABB,A⊥底面ABC,侧面ABBA底面ABC=AB :AD⊥平面ABC,AD⊥AC且AD⊥BC,又：BC⊥DE,AD DE=D .BC⊥平面ADE,.BC⊥AE,.BC·AE=0 而正=C+西，8C=4C-→44c+}4(4C-)=0 4 →12+44c-4=0=44C=04B14c AB∩AD=A,.AC⊥平面ABBA,∴.AC⊥BB (2)由AD⊥平面ABC→AD⊥AE,而AD⊥AD, ∴.二面角E-AD-A的平面角为<AE,DA> 而4C=25.8=2∠48C-号∠BaE-若<征.D4-0 6 记△ADE的外心为O,△AAD的外心为O2,∴.O为DE中点，O为A4中点，AE=√5 O,O2到AD的距离分别为m,n,∴m= 5 24D=1=V5 记四面体A,-AED的外接球半径为R :R2=m2+m2-2 mneos0,24+4 3+12.5x 2 2 十 2 3 31 sin20 4 1 4 4 31 .S=4π=31π 4 (3)取AB中点O,连接BO,则由△ABB为等边三角形，∴BO⊥AB, .B,O⊥底面ABC,如图建系， D B C A A1,0,0,B(-1,0,0),B(0,0,5 :MA+MB=44>AB=2,2a=4,a=2,c=1,b=√5 :以在精面于号=1上送动设M川，W,尊+号=1 4+3 BB=1,0V5),BM=0o,-V5,AB=(-1,0V5） 设平面BBM与平面BAM的一个法向量分别为n=(x,乃1，，n2=(x2,y2,22) EMBEDEquation.DSMT4 -82+V5z2=0 -E2=丽=(5y,510W .cose= 國 y631--y V什3+124y什31- 3x升2y3 V15+6V15-6s0 2} *3 +1 2 2 V225-36x V225-36x6V25-4x 令V25-4x=t,而0≤x≤4，.3≤t≤5 g-小骨月 t (当且仅当t=5,x,=0时取“=”) 方法二：(I)连结AE,AD,AB,在平行四边形AABB中， 因为AB=BB,=2,∠BBA=60°，D为AB1中点 所以AD⊥AB,,由ABIIAB得AD⊥AB 又平面ABB,A⊥底面ABC, D B B E 平面ABB AO底面ABC=AB,ADC面ABB,A,所以AD⊥底面ABC,因为BCC面ABC,所 以AD⊥BC 又DE⊥BC,AD,DEc面ADE,AD∩DE=D, 所以BC⊥平面ADE·又AEC面ADE,所以AE⊥BC. 因为BC=4BE,所以AE=3AB+4C, 4 4 所以任6+号C(C-到-0所以-3 u59 1273_V31 所以四面体A-AED外接球的半径为r=GA=4+4+42 所以外接球的表面积S=4πr2=31π (3)A(-1,0,0),B(1,0,0),B0,0,V5 由AM+BM=4>AB=2知点M的轨迹方程为女+上 =1, 43 设M(m,n,0),则m2+n =1, 43 因为∠MAB和∠MBA均为锐角，所以-1<m<1 又BM=(m-1,n,0),BB=-1,0V5), 设平面BBM的一个法向量为=(x,y,乙)， 由 丽=0得m-+=0 n·BB,=0 -x+V3z=0, 取名=n,则%=(V3n,v5(1-m),n 又AM=(m+1,n,0),AB=(1,0V3, 设平面BAM的一个法向量为n2=(x2,y2,乙2)， 由 匹=0有m+6+=0 n2·AB,=0x+V3z2=0, 取2=-n,则m,=（3n,-V5(m+1),-n 因为平面BBM与平面BAM的夹角为0， n'n2 2n2+3m2-3 所以cos0= nnz V4m2+3m-12V4m2+3(m+1 m2+3 m +1令V25-4m=1则1e(2i,] 15-6m15+6m √25-4m2 所以C0s0= 专可因为-是专在红可上车t 8t8 所以cos-号即os9的最小值为兮 5 方法三：(I)证明：建系，取底面ABC为xOy平面，侧面ABBA为xOz平面， B(0,0,0),A(2,0,0) ~BB=2,∠BBA=60,B(1,0,5,A(3,0,V5,D(2,0V5） 由AC=2W5,x-22+y2=12→x2+y2=4x+8 由DE18c,DE-年-258c=(xyo 8x=4x+8→x=2,y2=12 不妨取C(2,2V5,0,4C=(0,2V5,0,BB=1,0V5),AC.BB=0 ∴.AC⊥BB。 etoe4aa.g9 Lo(w..4ba间 设四面体A-AED外接球球心为O(p,9,r）,半径为R· O-0-5Q-0-0-0 o-+r+r-(gr g4+g-+g-39 十 十 4444 S=4元R2=31元 (3)设M(x,y,0) :∠MAB,∠MBA均为锐角，0<x<2 又4W+BW:4,所以M在以么B为焦点的猴图上，区-+上-1 4 3 平面BBM中，BB,=1,0,V5),BM=(x,y,0) 取法向量元=(-V5y,3x,y 平面BAM中，AB=(-1,0,5,AM=(x-2,y,0) 取法向量乃=（-5y,5(x-2,-y) n cos0= ,nn2=3x2-6x+2y2 m=3x2+4y2,=3(x-22+4y2 令=x-1,则1(-1,1，y2=3-32 4 3x2-6x+2y2=31+12-61+1+2y2=3+3>0 3r+42=3++43-=15+6 3x-2+4=3-+43--15-60 3+32 t2+2 ∴.c0s0= V15+6tV15-6t2V25-4t2 令u=t2,则u∈[0,1)，cos0= u+2 2√25-4u 令刘 u+2 2√25-4 ,h()= 29-2W>0,(叫在0，上单调递增， 2(25-4u)2 M=0→1=0→x=l(cos8)=2N233 21 当M1,±V3,0)时取到