江苏泰州市2026届高三考前自测数学试卷

高三数学试卷 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数满足，则 A．1 B． C． D．2 3．正六棱柱的底面边长为6，高为4．若挖去一个以正六棱柱上底面的中心为顶点，正六棱柱下底面为底面的正六棱锥，则剩余部分几何体的体积为 A． B． C． D． 4．将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象的解析式为 A． B． C． D． 5．“”是“数列为等差数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．已知向量，，均为单位向量，若，则与的夹角为 A． B． C． D． 7．若圆上存在两个不同的点，，直线上存在一点，使得，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知函数，的定义域均为，函数是奇函数，函数是偶函数．若，，则 A．100 B．225 C．400 D．2026 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是 A．若数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为9 B．若随机变量，，则 C．若一组样本数据，，…，的所有点都在直线上，则这组数据的样本相关系数0.5 D．已知，，，则 10．已知正项数列满足，则 A． B．存在等差数列满足条件 C． D． 11．已知函数存在极小值点，则 A． B．函数有唯一的极小值点 C． D．函数有且只有3条斜率为4的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知的展开式中的第5项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为________． 13．已知双曲线（，）的右焦点为，直线与双曲线的渐近线相交于点，点在第二象限．直线与抛物线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为________． 14．一个盒子中装有2个黑球和8个红球．随机地从盒子中取一个球，观察其颜色后放回，若出现连续两次取到红球，则停止取球，那么取球总次数的数学期望为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数． （1）若，求在处的切线方程； （2）若在处有极大值，求的值． 16．（15分）某趣味闯关游戏规则如下：选手每轮独立进行一次挑战，每轮挑战成功的概率为，失败的概率为，各轮挑战相互独立．规定：若选手某轮挑战成功得1分，挑战失败得0分．设选手进行轮挑战后，总得分恰好为分的概率为． （1）求； （2）若． （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）是否存在正整数，，使得，，成等差数列．如果存在，求，的值；如果不存在，请说明理由． 17．（15分）在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若为的中点，，，相交于点． （ⅰ）若，求面积的最大值； （ⅱ）若，求的余弦值． 18．（17分）已知椭圆：（，）的离心率为，短轴长为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，原点到直线的距离为，记直线，的斜率分别为，． （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）求的面积的最大值及此时直线的方程． 19．（17分）如图，在三棱柱中，侧面底面，，， ，是的中点，，． （1）证明：； （2）求四面体外接球的表面积； （3）动点在平面内，和均为锐角，．设平面与平面的夹角为，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $江苏省泰州市2026届高三四模 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1.设集合A={x‖2，B={x<2,则AnB= A.{xx≤-I} B.{xx≥1 C.{xl≤x<2} D.{xx≤-1或1≤x<2} 【答案】D 【解析】A=（-o,-1[1,+∞)，B=(-o,2),AnB=（-o,-1[1,2) 2已知复数z满足zi=1+i,则= A.1 B.√ c.√5 D.2 【答案】B 【1=-01-iP+可-万 ii(-i) 3.正六棱柱的底面边长为6，高为4·若挖去一个以正六棱柱上底面的中心为顶点，正六棱柱下底面为底面 的正六棱锥，则剩余部分几何体的体积为 A.72V5 B.144V3 c.1803 D.244V5 【答案】B 【解折1正六边形底有积S=656=545、正六校往体积 =54V3×4=2163·挖去正六棱锥体积V,=号×54V3×4=72√3 3 .V=V-V2=1443 4将函数f(x)=sin2x的图象向右平移 3个单位长度后所得图象的解析式为 A=m2x+到 B.y=sin 3 C.y=cos 2x+ 6 D.y=cos 【答案】D 【解析】向右平移 个 3 个单位长度，得 =x-s2-) sin (x-0mo 5."a,+a=2a3"是"数列{an}为等差数列"的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】若{an}为等差数列，则a+a=2a 反之，取4=1，a2=2,4=2,a4=4,4=3,4+4=1+3=4=2a,但 42-4,=1,4-a2=0,∴{an}不一定为等差数列，故为必要不充分条件。 6已知向量a,b,c均为单位向量，若a+b+c=0,则a与b的夹角为 2π 3π >4 B. c. 3 3 D.4 【答案】C 【解析】a+b=-c,a+矿=-=l.d+矿+2a-万=1 ab 1 +1+2远61→ā6=设a与万的夹角为2则c0s日 la 20=2 3 7若圆(x+1)+(y-2)=1上存在两个不同的点M,N,直线4x+3y+1=0上存在一点P,使得 ∠MPN=60°，则实数t的取值范围是 A.[-12,8] B.(-0,-12)U[8,+o0) c.[-16,4] D.（-o,-16J[4,+o) 【答案】A 【解析】圆心O(-l,2),半径r=1·设d。=d,当d>1时最大张角对应两条切线， ∠MPW≤2a,sina= ·要存在∠MPN=60°’ d 则2a≥60→a≥30°→1≥1 →d≤2. d-2 当d≤1时，也成立，故只需直线4x+3y+t=0与圆心O(-1,2)的距离不大于2， d4x+3y+1=0 4(-10+3-2+4_+2s2.k+2≤10→-12≤1≤8. V42+325 8己知函数f(x,g(x)的定义域均为R,函数g(x-)-1是奇函数，函数f(x-1)是偶函数：若 8(x-1)=f(x)-2,f(1)=1,则g(1)+g(2)+8(3)+…+g(100)= A.100 B.225 C.400 D.2026 【答案】A 【解析】令u()=g(x-)-l,u()为奇函数， g(-x-1)-1=-[g(x-1)-1 ∴g(x-1)+g(-x-1)=2,令t=x-1则g()+g(-t-2)=2① 又“f(x-1)为偶函数，f(-x-1)=f(x-1),令t=x-1则f()=f(-t-2) 由g(x-1)=f(x)-2得g()=f(t+1)-2, g()=f(t+1)2=f(-t-3)2=g(-t-4)② 在①式中令t变成-t-4,8(-1-4)+g(t+2)=2,结合②式，得 g()+g(t+2)=2③ 于是8(t+2)+8(t+4)=2,∴g(t+4)=g(),所以g(x)的周期为4. 又由③式，g()+g(3)=2,g(2)+g(4)=2,∴g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=4 100=25×4,∴g(1)+g(2)+…+g(100)=25×4=100 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题正确的是 A若数据，，…，x。的方差为3，则数据3x+1,3x3+1,…,3xn+1的方差为9 B.若随机变量X~N(2,o2),P(X≤4)=0.8，则P(X<0)=0.2 C.若一组样本数据(x,),(x,2),…,(x,y)的所有点都在直线y=0.5x-2上，则这组数据的样本 相关系数0.5 D.己知P(4A)=0.5,P(BA)=0.4,P(BA=0.6,则P(B)=0.5 【答案】BD 【解析】设原数据方差为S=3,则新数据方差号=3g=9×3=27≠9，A错误 X~N(2,o2),0,4关于x=2对称且正态分布连续， P(X<0)=P(X>4)=1-P(X≤4)=1-0.8=0.2，B正确； 所有点都在y=0.5x-2上，且斜率0.5>0，r=1≠0.5，C错误； 由全概率公式，P(B)=P(A)P(BA)+P(AP(BA=0.5×0.4+1-0.5)×0.6=0.2+0.3=0.5,D正确 10已如正颈数列a}病是a+刊 则 2 A.a2026>02025 B.存在等差数列 {an}满足条件 C.4ap-4dmd=I D.-a<2 【答案】ACD 【解析】a-a,=Yd.-a>0所8a2m6>a2wm ,A对； 2 由2a1=an+√a+l,2an+1-an=√a+l,4a71-4a+1a,+a=a7+1 4a71-4an+1an=1,C对 若为等差数列，设公差为d,则d=an+1-an>0,4an1(a1-an)=1 4d(a+nd)=1,左边随n变化，不恒为1，矛盾，B错 自ewo动心-。t--经 又a>a>0所以02<1.-<0+小=方D对 an+l 11已知函数f(x)=(x-2)血x存在极小值点x则 A72 B.函数f(x)有唯一的极小值点 ef水-8 D.函数f(x)有且只有3条斜率为4的切线 【答案】BCD 【解折】方法一：f(x)=(x-2)血 (x-2)n(-x),x<0 (x-2)Inx,x>0 当x<0助.f)=h(←)+2=1-2+in(-21-2+1-2-10 X f(x)在（-∞，0)上单调递增，f(x)在（-o,0)上无极值 当0所f)=x+2=r名r)在0网）上年调建格注这到 r-}1-r0-1k0 的x))0 且当0<x<时，∫'(x)<0,f(x)单调递减：当x>x时，f'(x)>0,f()单调递增，为 f内唯的股小妆点南6引A每B亚蹄 C油2+10今、2 --2-居4x号 对打D当x<0时令了)=1子+(-)4冷-=>0 :ht+2-3=0 令8g间=+子-3g0-子-子80在0,2上单流B网)上单满路 ∴g()mm=g(2)=ln2-20,）0且t→0时，g()→+∞；t→+0时g()→+∞，∴g()在 (0,2)和(2，+∞）上各有一个零点4,5此时x<0,f'(x)=4的两根为-4，-4，当x>0时，令 f()=lx-2+1在O,+四）上单调莲8注意到x>0且x→0时了()-→cx→+0时. f'(x)→+0，x>0,3唯一的x∈(0，+∞)使f(x)=4,函数f(x)有且只有3条，斜率为4的 切线，D正确 方法二：f(x)=(x-2)nx,定义域为（-o,0)U(0,+∞)， =树12国是-g2.◆0向=H1月 x x2 当x≥0味8)-生2>0→0→g)→r→e÷g0因→+0. 所以8(x)=0在(0，+∞）上有唯一实根且∫”()>0，所以为极小值点 当<0时.g6)-2xe(-a-2到=g00.e(20=g0. g(-2)=ln2+2>0,x→-0→g(x)→+0，x→0→g(x)→+0. 所以x<0时，8(x)>0无导函数零点故函数f()有唯一极小值点x,B正确又 》o高号1-民小- 又1<6<36-26-255+24.2x-0-80 xo 6 6x0 6x0 所议f心化)水石C正确 斜率为4的切线满足(y)-4,即山+1-2=4 当x>0时，g(x)递增，且x→0→g(x)→-0，x→+0→g(x)→+0， 所以正半轴有鉴一切点当<0时.令u=-u>0),n+12=4 即o)=m+子-3o)-是. u→0*→h(u)→+oo,h(2)=ln2+1<3,u→+o→h(u)→+o. 所以h(u)=3有两个正根，对应x<0上两个切点. 因此∫(x)共有3个斜率为4的切点.设切点横坐标为a切线为y=4x+b· 当fo)=4时.na=-3+子b=fo)-4如=o-23+4a=a-4音 0 根0时，b=-Q-4-4<0·负根E时，b=4-4+ 丙发限行别为马地，且)-4n2>h0-2<:所以1 又n2<3A图)=n8+-3h2+<3所以么>8 42 49 49 b=41-4+-<号，b2=42-4+1> 4,>2·故三条切线互不相同，D正确， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知 的展开式中的第5项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 【答案】45 ”-4n-,n-4n-5)=30,n=10设通项为一 30 工=C(产(=C(少，令5-=0有，2所以带数项为c之-=45 r=2 x2 y2 13.已知双曲线 京方=1(a>0,b>0)的右焦点为F(6,0)直线x=-e 与双曲线的渐近线相交于点 P,点P在第二象限.直线PF与抛物线y2=4Cx的一个交点为Q,若FP=3F@,则双曲线的离 心率为 【答案】3 【解析】双曲线渐近线为y=士2x,P 在第二象限， ）eom-(0号p(s)e68 (c bc 代入y2=4cx, =4 3'9a23'a=12 又c2=a2+b2,e= a +a 14.一个盒子中装有2个黑球和8个红球.随机地从盒子中取一个球，观察其颜色后放回，若出现连续两次取 到红球，则停止取球，那么取球总次数的数学期望为 5 【答案】16 【解析】方法一：设取球总次数为E(X), ()-[(04+2+者(0+])-8 84 21 方法二：设取到红球概率P=105取到黑球概率9=105· 设从无连续红球状态开始，到停止还需取球次数的期望为α；设已经取到一次红球后，到停止还需取球次数 的期望为b 1 a=1+ga+pb,b=1+ga,a=1+2a+4b,b=1+1a 4 5 5 5 -a= 5 16 5 取球总次数的数学期望为16 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.已知函数f(x)=x(x-c),c∈R 1)若c=1,求f(x)在x=2处的切线方程： ②)若f(x)在x=2处有极大值，求c的值· 【解析】a)c=1时，f(x)=x(x-12,f'(x)=(x-1)2+2(x-)x=(x-13x-), k=f(2)=5,切点(2,2).切线方程为：y=5(x-2)+2,即y=5x-8 2)f'(x)=(x-c)2+2(x-c)x=(x-c)3x-c),f'(2)=(2-c)(6-c)=0, c=2或6，当c=2时，f"(x)=(x-2)3x-2), f()在 上单调递减：(2，+∞)上单调递增 f(x)在x=2处有极小值，与条件矛盾，舍！ 当c=6时，f'(x)=3(x-6)x-2), f(x)在（-∞，2)上单调递增；(2,6)上单调递减 f(x)在x=2处有极大值符合条件 综上：c=6 16某趣味闯关游戏规则如下：选手每轮独立进行一次挑战，每轮挑战成功的概率为p(0<p<),失败的概率 为1-卫，各轮挑战相互独立.规定：若选手某轮挑战成功得1分，挑战失败得0分.设选手进行n轮挑战 后，总得分恰好为n-1分的概率为am· (1)求a2: 1 (2)若卫=。 2 )求am的最大值； 5 四是否存在正整数八，g使得8a,a,成等差数列、如果存在，求p,g的值：如果不存在，请说明理由 【解析】Q)a,表示选手2轮挑战后恰好得1分的概率，P=p(1-p)+(1-p)p=2p(1-p) 2))选手n轮挑战后总得分恰好为n一1分说明选手n轮中有一轮挑战失败，(1-1)轮挑战成功 24a出子-票s0尚且收当 =1时取“”） a=4>4>a>4>a=4或4月 5 的假设3正整数，g使8“，“，成等差数列则8+=)( 22s 当p=4时，2”≤28这与()式矛盾1≤p≤3，peN +9-1→9=3 当p=1或2时，8+2 298→9=3 5+9-3→4=1 5=5>1 当p=3时8+24→089=5时232>8 631 9=6时，253284，<0，<5，→5<g<6,此时无正整数解 综上：存在p=1,9=3或p=2,9=3符合条件 17.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,己知2c=b+2 acosB (1)求A: 2)若M为BC的中点，3AN=AB,AM,CN相交于点P· )若BC=2,求△APC面积的最大值： 四若M= a求 2 ∠MPN的余弦值 【解析】 (a)由条件得2sinC=sinB+2sin4cosB, .2(sinAcosB+cosAsinB)=sinB +2sinAcosB 2cosAsinB=sinB.sinco=1 3 2)①过M作MG/CN交AB于点G,M为BC中点 BG=GN AN AB...AN=NG=BG 1 :p为 白互..S。APC2。= bc· bc 42216 而+c2-2c号=4曰4+bc=+c2≥2hc,bcs4 .S.me -16 4=4,当且仅当6=c=2时取“。” 间丽-：a0)→女-0+e2+2c司 5+c+c=b+e-2冰c}6+e=2% 而b2+c2≥2bc当且仅当b=c时取“=”， :b=C,A=行44BC为等边三角形 处理方式-：设AB=3,AN=l,4C=3,CN=9+1-2x3×1x=V万 cos∠ACW= 2x3x2sim/ACN- 9+7-15 2<CAM=I 6 5x5-1x5-45- cos∠CPM=cos+∠ACN22722W74W万=Y .cos∠MPW=- V21 7 处理方式二：在等边△ABC中，AM⊥BC,设BC=2,.AM=V3, :p为 AM中点PM=5 acos∠MPW=-cos∠CPM=-PM--V2i CP 7 18已知椭圆C: 云+尔-1(0>06>0)的离心率为之，冠轴长为2 y2 3 (Q)求椭圆C的标准方程： 25 ②)设直线，与椭圆C交于A,B两点，原点0到直线，的距离为S,记直线OA,OB的斜率 分别为k,k3 0求证：kk,为定值： )求△AOB的面积的最大值及此时直线I的方程 c- a 2 2b=2 a=2 【解析】方法一(1)由题意知 → b=1C 的标准方程为 a2=b2+c2 x2 y2=1 4 2)①当1斜率不为0时，设直线1的方程为x=y+t, A(x,),B(x,y2) g4→4442mwr4-0 △=4m22-4(m2+4)t2-4)=16(m2-t2+4)>0 0到，的距离为d=一=二→4m2-512+4=0 Vm2+15 kk=五.业= yiy2 yiy2 x x2 (my +t)(my2+t)m2yy2+mt(y+y2)+t2 t2-4 m2+4 t2-4 m2.2-4 -2mt mt.- +m-4m2-2m7+m+4 m2+4" m2+ 2-42-4 t2-4 42-4m242-(52-4）4-2 =-1 8,阳859月弯)贴 综上：kk=-1为定值 145254 的①当，斜率为0时，S40=2X5×55 包当，斜不为0时.4=16m+小-941o) 45 4B=1+m2y-为=V+m. m2+16 m2+4 .S. 5Vm2+16254 m4+17m2+16 5 m2+455Vm4+8m2+16 9m2 5+ 4+8m2+16 要求(So)n 考察m2>0 4 9 1+- 4x,+9=4x-=1 5 16 h2*8 m2+ 5V+ 8+854 当且仅当m2=4,m=2时取“=”，(S4o8)=1 当m=2时，t=+2,当m=-2时，t=+2 ·直线1的方程为x±2y+2=0或x±2y-2=0. 3 方法二：(1)由椭圆的离心率为 2 短箱长为2得三5,2边=2,4=6+c2所以 a2 a=2,b=1,c=V3」 所以椭圆C t? 的标准方程为年+少=1。 (2))当直线1的斜率不存在时， 因为原点0 25 到直线，的距离为 5, 所以直线， 的方程为x=2 5 或x=- 25 2V5 X= J 当 25 时，由 得 4+y2=1 2525 2W52W5 x= 5 5,5 B 5，-5 2W525 所以6=当-0x当-0 X 5 x5=-1 x-0x2-02W52W5 5 5 2 同理可得，当x= 5时kk=-1 当直线斜率存在时，设直线1的方程为y=c+m· m_2W5 因为原点 到直线，的距离为 2V5 5 ,所以、 k2+15,即 4k2=5m2-4 y=kx+m, 设 ,由 A(,),B(x2,y2) 4+2=1得 x （1+4k2）x2+8x+4m2-4=0 所以△=(8m-40+4状24m2-4）=160+42-m2）=1616+l0, 5 8km ++42本三4， 所以y2=(+m)(2+m)=k2xx2+k(x+x2)+m2 =2x4m2-4 1+42+m2=m2-4 1+4k+kmx--8km 1+4k2 m2-4k2 所烈6=业=45m利4m- xx34m2-44m2-4 4m2-4 4m2-4 1+4k2 综上所述， kk2为定值 当直线， 的斜率不存在时，A0=45 5 145254 所以△AOB 的面积为S4o8-2×5义55 当直线1的斜率存在时， 由0得AB=V任-x+-}=+2k-x=V1+FV:+x}-4x 2 =V1+k2 -8km 4× 4m2-4_41+21+42-m_4V+k2)16k2+1) 1+4k2 1+4k2 1+4k2 V5(1+4k2)） 令1=1+42≥1即2= 4’ 则A=xV+3)4-3》-2 业31=2味h房5 所以 △AOB 的面积饭大位为付m5x2g5-1 此时2= 1 4即k=土 2所以m=1’ 1 1 所以直线的方程为y= 2x+1或y=±2-1 方法三1)感觉题面还是不够严谨！按椭圆标准方程默认α>b>0，由短轴长为2，得b=1· e-9-a-b5a13a=4 a a=2’a2=4 .C: +y2=1. 4 e0gx=:则4-25-- 5 4 40w-场告手 5 若1不竖直，设1：y=px+9,A(x,y),B(:,2), lgl 5g- 4(p2+1 Vp2+1 5 5 y=px+g 话+y=1o)Fn+4g-=0 8pg. 4(g2-1 1+4p6=1+4p y2 =(px+q)(px2+q)=pxx2+pq(x+x2)+q2 4pg-小-8pg+g-g-p 1+4p2 1+4p2 于是6==92-4p 4p2+0-4p =-1 当 均存在时， k:k2 xx2≠0 kk2为定值1· m者，8=2写2写 -12544 若1：y=px+g,由上面方程得△=64p2g2-161+4p2)(g2-)=16+4p2-g2） 5 =ip-ir04+0+16 1+4p2 5(1+4p2） 5-2网--a 1+4p 1=p0则5a-6+1+16 25 (1+4t)2 1-3a-250+4-161+00+16）_94-1 25(1+4t)月 25(1+41)2 20,5S.408≤1 4+ 当t时取等号即Pg4 1 2 4 2=p=±29=1 1 ∴Sx=1此时直线， 多6一.x+1,y=x二，y=-21T二21 2 1 即：y=±。x±1 2 19.如图，在三棱柱ABC-AB,C中，侧面ABB,4⊥底面ABC, AB=BB,=2,AC=2V5,∠BBA=60°，D是AB,的中点，BC=4BE,DE⊥BC. I)证明：AC⊥BB: ②)求四面体A一AED外接球的表面积S； 6)动点M在平面ABC内，∠MAB和∠MBA均为锐角，AM+BM=4·设平面BBM与平 面BAM的夹角为0，求cos日的最小值 D B B E 【解析】方法一(1)证明：AB=BB=2,∠B,BA=60°，△AAB为等边三角形 ∴.AD⊥AB,→AD⊥AB,又侧面ABBA上底面ABC,侧面ABBA∩底面ABC=AB :AD⊥平面ABC,AD⊥AC且AD⊥BC,又BC⊥DE,AD∩DE=D ∴.BC⊥平面ADE.BC⊥AE,BCAE=O 百正=c+孤c=c-孤→日4C+西ac-到-0 x2+号BC-}4=0sBC-0B14C AB∩AD=A,.AC⊥平面ABBA,.AC⊥BB. ②)由AD⊥平面ABC→AD⊥AE,而AD⊥AD, 二面角E-AD-A的平面角为<AE,DA> 窗4C=28=2∠46c=号<B4E-名<E.04话-0 6 记△ADE的外心为O，△AAD的外心为O，O为DE中点，O,为A4中点，AE=V3 31 0,0到 AD 的距离分别为m,n,.m= 2,n=2AD=l=3 记四面体A一AED的外接球半径为R 3+-2.5x R2=m2+n2-2mmc0s0P4+4 X 22 2 331 sin20 一十一= 4 1 4=4 4 .S=4π. 31 =31π 4 3)取AB中点O,连接BO,则由△ABB为等边三角形，.BO⊥AB, .BOL底面ABC如图建系， D B A B A1,0,0),B(-10,0),B(0,0,3) MA+MB=4(4>AB=2),.2a=4,a=2,c=1,b=V3 ..M 年+号-1上运克设M化w年+号-1 在椭圆4+3 3 BB=(1,0,5),BM=(o,-V5,AB=（1,0,5) 设平面BBM与平面B,AM的一个法向量分别为=(x,片，乙)，n=(x2,y2,22) EMBEDEquation.DSMT 4 20元95%s1-为 -x2+322=0 i 3y6-31-x-y ∴.c0s0= 4y+3x+12.4y+31-x3 3x+2y-3 V15+6x0·9V15-6x0 +1 2 √225-36x V225-36x6 V25-4x 令V25-4x=1,而0≤x≤4,3≤t≤5 (档且仅当t=5,x=0时取“=”) 方法二：(I)连结AE,AD,AB,在平行四边形AABB中， 因为AB=BB=2,∠BBA=60°，D为AB中点， 所以ADL4B,由AB/IAB得AD⊥AB· 又平面ABB4⊥底面ABC, 平面ABB,A∩底面ABC=AB,ADC面ABBA，所以AD⊥底面ABC,因为BCC面 ABC,所以AD⊥BC. 又DE⊥BC,AD,DEC面ADE,ADODE=D, 所以BC⊥平面ADE·又AEC面ADE,所以AE⊥BC· 因为BC=4BE所以征-+4C, 4 所以 〔西+}C(ac-例-0.所=3 2 33W5√3 所以G-222) 1,27,3V31 所以四面体A-ABD外接球的半径为r=GA=V4+4+4=2 所以外接球的表面积S=4πr2=31π 3)A(-1,0,0),B(1,0,0),B(0,0,V3 x2,y2 由AM+BM=4>AB=2知点M 的轨迹方程为4+了1， m2 n2 设M(m,n,0)则4+3 =1, 因为∠MAB和∠MBA均为锐角，所以-1<m<1· 又BM=(m-1,n,0),BB,=（-1,0,V5, 设平面B,BM的一个法向量为八=(x,,名)， 元·BM=0,,(m-1)x+y=0, 由 历丽=0得仁5+5=0， 取名=n则乃=(V3m,50-m),) 又AM=(m+1,m,0),AB=(1,0,3, 设平面BAM的一个法向量为n=(x2,y,22）， n2·AM=0, (m+1)x2+y2=0, 由 乃·AB=0得 x2+V322=0, 取2，=-n则m=(N5m,5(m+),-n） 因为平面B,BM与平面BAM的夹角为O, 2n2+3m2-3 所以cos0= n2 V4n2+3(m-1)2V4n2+3(m+1)2 2 令 √15-6mV15+6mV25-4m2 2-4r,小可 商以m0-专eL]风为)是在不可]上阳球 所以(cos0)m=5即cos0的最小值为5 方法三(I)证明：建系，取底面ABC为xOy平面，侧面ABB4为xOz平面， B(0,0,0),A(2,0,0) BB=2,∠B,BA=60,B1,0V5)A(3,0V5),D(2,0V5 设c0)香0 由AC=2V3,(x-2)}+y2=12→x2+y2=4x+8 由DE1BC,DE=&-2￥5Bc=(0) 8x=4x+8→x=2,y2=12 不妨取C(2,2V5,0,AC=(0,25,0,BB,=(1,0V3),AC-BB=0 AC⊥BB。 ea4 cmo间4a同 设四面体A-AED外接球球心为O(P,9,P),半径为R· 0f=00→r-900-0f→p-qf-0E -2*wr-p-。*r -4+g-+9=3 2 R-0-层-j .S=4πR2=31π )设M(x,y,0). ∠MAB,∠MBA均为锐角，0<x<2 AM+BM=4,所以M在以AB为焦点的椭圆上， 又 4 3 平面BBM中，BB=(1,0,5,BM=(x,,0) 取法向量乃=（-5y,3x,y) 平面BAM中，AB=(10,V5),AM=(x-2,y,0) 取法向量乃=（-V5y,3(x-2),-y) 一 h1·n2 cos0= ，n2=3x2-6x+2y2 mn2 回=3x2+4,=3x-2}+4y 令1=x-1,则：=3- 3x2-6x+2y2=30t+12-6+1)+2y2=3+34>0 3x4=3++43-=15+6 30-2+4w=30-1+43-=15-6m 3+3 .'.cos0 = t2+2 √15+6tV15-6t225-4t2 令u=r2则w∈0，，cos0= u+2 2v25-4u 令h(四= u+2 2√25-4u ,h(u)= 29-2>0h0在0 2(25-4u)2 ,上单调递增， “w=0→t=0→x=l,(cos0)m三225= 当M1,3,0)时取到