内蒙古自治区乌兰察布市集宁一中榆树湾校区2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

2024-2025学年高二下学期集宁一中榆树湾校区 期中考试数学试题 一、单选题 1.已知，，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知函数，其中n是自然数，则的最小值为（ ） A. 50 B. 100 C. 110 D. 190 3.在平面直角坐标系内，将曲线：绕原点逆时针方向旋转角得到曲线，若是一个函数的图象，则可以为（ ） A. B. C. D. 4.(2023·衡水调研)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，点A，B，C是f(x)与g(x)图象的连续相邻的三个交点，若△ABC是钝角三角形，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 5.(2022·西安模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－loga(x＋1)恰有3个零点，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 6.设椭圆的一个焦点，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.在四边形ABCD中，AB∥CD，设(λ，μ∈R).若λ+μ=，则（ ） A. B. C. D. 8.定义在区间上的函数满足：①；②当时，，则集合中的最小元素是(　　) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多选题 9.已知函数的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 10.已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数f(x)的在[-1,2]最大值为0 B. 函数f(x)在[-1,2]上单调递增 C. 函数f(|x|)为偶函数 D. 若方程在R上有4个不等实根，则 11.已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（　 ） A. B. 函数在区间上单调递增 C. 将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数 D. 三、填空题 12.已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线交此抛物线于M、N两点，交y轴于点E，若，，则___________. 13.已知点A，B，C，D在球O的表面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=2，BC=4，AC与平面ABD所成角的正弦值为，则球O表面上的动点P到平面ACD距离的最大值为______. 14.已知，，x为的个位数，求 . 四、解答题 15.已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的单调递增区间． 16.若数列每相邻三项满足（，且），则称其为调和数列. (1)若为调和数列，证明数列是等差数列； (2)调和数列中，，，前项和为，求证：. 17.随着人们生活水平的不断提高，肥胖人数不断增多．世界卫生组织(WHO)常用身体质量指数(BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI＝.成人的BMI数值标准为：BMI≤18.4为偏瘦；18.5≤BMI≤23.9为正常；24≤BMI≤27.9为偏胖；BMI≥28为肥胖． 某研究机构为了解某快递公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工(编号1～8)的身高x(单位：cm)和体重y(单位：kg)的数据，并计算得到他们的BMI(精确到0.1)如表所示． (1)现从这8名员工中选取3人进行复检，记抽取到BMI值为“正常”员工的人数为X，求X的分布列及均值； (2)研究机构分析发现公司员工的身高x(cm)和体重y(kg)之间的线性相关程度较高，在编号为6的体检数据丢失之前，调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的经验回归方程为＝0.5x＋，且根据经验回归方程预估一名身高为180 cm的员工体重为71 kg，计算得到的其它数据如下：＝170，xiyi＝89920. ①求的值及表格中8名员工体重的平均值； ②在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63 kg，身高数据无误，请你根据调查员乙更正的数据重新计算经验回归方程，并据此预估一名身高为180 cm的员工的体重． 附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其经验回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－. 18.如图，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，点在椭圆C上，过原点O的直线与椭圆C相交于M，N两点，且|MF|＋|NF|＝4. (1)求椭圆C的方程； (2)如图，设P(1,0)，Q(4,0)，过点Q且斜率不为零的直线与椭圆C相交于A，B两点，证明：∠APO＝∠BPQ. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二下学期集宁一中榆树湾校区 期中考试数学试题 一、单选题 1.已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，所以， 因为，所以， 因为， 所以， 因为， 则． 故选：B． 2.已知函数，其中n是自然数，则的最小值为（ ） A. 50 B. 100 C. 110 D. 190 【答案】B 【解析】当时， 因为n为自然数，所以当或时由最小值。所以选择B. 3.在平面直角坐标系内，将曲线：绕原点逆时针方向旋转角得到曲线，若是一个函数的图象，则可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】曲线图像如图所示，其图像为轴右侧的半圆， 根据函数的定义在函数定义域内任意的值都有唯一的值与其对应， 反映到图像上就是在其定义域内作与轴垂直直线，与函数图像有一个交点， 因此四个选项仅逆时针旋转满足条件. 故选：C. 4.(2023·衡水调研)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，点A，B，C是f(x)与g(x)图象的连续相邻的三个交点，若△ABC是钝角三角形，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由条件可得，g(x)＝cos，又f(x)＝sin＝cos ωx，作出两个函数图象，如图， A，B，C为连续三个交点，不妨设B在x轴下方，D为AC的中点． 由对称性可得△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，AC＝T＝＝2CD， 由cos ωx＝cos，整理得cos ωx＝sin ωx，得cos ωx＝±， 则yC＝－yB＝，所以BD＝2|yB|＝， 要使△ABC为钝角三角形，只需∠ACB<即可， 由tan∠ACB＝＝<1，所以0<ω<. 5.(2022·西安模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－loga(x＋1)恰有3个零点，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】令g(x)＝f(x)－loga(x＋1)＝0，可得f(x)＝loga(x＋1)， 所以曲线y＝f(x)与曲线y＝loga(x＋1)有三个交点， 当a>1时，曲线y＝f(x)与曲线y＝loga(x＋1)只有一个交点，不符合题意； 当0<a<1时，若使得曲线y＝f(x)与曲线y＝loga(x＋1)有三个交点， 则解得<a<. 6.设椭圆的一个焦点，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】记椭圆的左焦点为，则，即，，， 即，即， 椭圆的离心率的取值范围是， 故选：A. 7.在四边形ABCD中，AB∥CD，设(λ，μ∈R).若λ+μ=，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵AB∥CD， ∴设，则，k>0， ∵， ∴， ∵λ+μ=， ∴1+k=，即k=， 即. 故选：C. 8.定义在区间上的函数满足：①；②当时，，则集合中的最小元素是(　　) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】由可知， 因为当时，，所以， 所以， 当时，令无解， 当时，，此时， 令无解， 令，则，， 所以当时，， 令解得， 所以集合中的最小元素是， 故选：C. 二、多选题 9.已知函数的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】对于A，因为函数的零点分别为，所以，， 所以即， 所以，故，故A正确； 对于B，由得， 所以函数与图象交点横坐标以及函数与图象交点的横坐标即为函数和的零点， 作图，由图象可知， 又由A得，所以， 所以，故B错； 对于C，由A得即，以及得： ，故C对； 对于D，由AB得，，， 所以，故D对. 故选：ACD. 10.已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数f(x)的在[-1,2]最大值为0 B. 函数f(x)在[-1,2]上单调递增 C. 函数f(|x|)为偶函数 D. 若方程在R上有4个不等实根，则 【答案】ACD 【解析】，时，当x=-1时函数取最大值0，∴A正确； f(x)在(-1,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，∴B不正确； 令， 所以g(x)为偶函数，所以选项C正确； 令，的根转化为y=h(x)与y=a图象的交点， 做出h(x)图象如图所示： 图像关于直线x=-1对称，当y=h(x)与y=a有四个交点时， 交点两两分别关于直线x=-1对称，所以， 所以选项D正确. 11.已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（　 ） A. B. 函数在区间上单调递增 C. 将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数 D. 【答案】AB 【解析】观察图象得，的周期，， 由，得，而，则， 因此， 对于A，，A正确； 对于B，由，得，而正弦函数在上递增， 因此函数在区间上单调递增，B正确； 对于C，将的图象向左平移个单位，所得到的函数，因为，，所以不是偶函数，C错误； 对于D，，D错误. 故选：AB. 三、填空题 12.已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线交此抛物线于M、N两点，交y轴于点E，若，，则___________. 【答案】 【解析】由抛物线的方程为，得， 由题意可得直线的斜率存在且不等于零， 则可设直线的方程为，， 联立，消得， 则恒成立， 则，故， 由直线，令，得，则， 由，得， 所以，所以， 由，得， 所以，所以， 所以 .故答案为：. 13.已知点A，B，C，D在球O的表面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=2，BC=4，AC与平面ABD所成角的正弦值为，则球O表面上的动点P到平面ACD距离的最大值为______. 【答案】3 【解析】如图，因为AB⊥平面BCD，CD,BD⊂平面BCD，所以AB⊥CD，AB⊥BD 因为BC⊥CD，AB∩BC=B，所以CD⊥平面ABC，所以CD⊥AC， 所以AD为球的直径，由AB=2,BC=4得AC=2, 作CE⊥BD，则∠CAE即为AC与平面ABD所成角, 所以sin∠CAE==，得CE=2, 设CD=x由等面积法得4x=2，解得x=4, 所以，即2R=6，R=3, 又平面ACD过球心，所以P到平面ACD的距离即为半径的长, 所以P到平面ACD距离的最大值为3. 故答案为：3. 14.已知，，x为的个位数，求 . 【答案】3 【解析】当时，，个位数为，有个， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 综上所述，可取， 且， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15.已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的单调递增区间． 【答案】解 （1）的最小正周期为. （2）由化简得，， 令得，所以在区间上的单调递增区间为. 16.若数列每相邻三项满足（，且），则称其为调和数列. (1)若为调和数列，证明数列是等差数列； (2)调和数列中，，，前项和为，求证：. 【答案】证明　(1)根据题意得： ∴∴∴数列是等差数列 (2)由(1)可得：∴∴ 要证： 当时，上式化为成立. 当时，即证 于是即证即证 令， 恒成立 ∴在上单调递增∴恒成立 即在上恒成立∴成立 ∴成立 17.随着人们生活水平的不断提高，肥胖人数不断增多．世界卫生组织(WHO)常用身体质量指数(BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI＝.成人的BMI数值标准为：BMI≤18.4为偏瘦；18.5≤BMI≤23.9为正常；24≤BMI≤27.9为偏胖；BMI≥28为肥胖． 某研究机构为了解某快递公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工(编号1～8)的身高x(单位：cm)和体重y(单位：kg)的数据，并计算得到他们的BMI(精确到0.1)如表所示． (1)现从这8名员工中选取3人进行复检，记抽取到BMI值为“正常”员工的人数为X，求X的分布列及均值； (2)研究机构分析发现公司员工的身高x(cm)和体重y(kg)之间的线性相关程度较高，在编号为6的体检数据丢失之前，调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的经验回归方程为＝0.5x＋，且根据经验回归方程预估一名身高为180 cm的员工体重为71 kg，计算得到的其它数据如下：＝170，xiyi＝89920. ①求的值及表格中8名员工体重的平均值； ②在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63 kg，身高数据无误，请你根据调查员乙更正的数据重新计算经验回归方程，并据此预估一名身高为180 cm的员工的体重． 附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其经验回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－. 【答案】解　(1)8名员工中BMI数值为“正常”的员工有5人，记抽到BMI值为“正常”的人数为X，则X的所有可能取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝. 故X的分布列为 则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (2)①调查员甲由经验回归方程＝0.5x＋预估一名身高为180 cm的员工的体重为71 kg， 由此计算＝71－180×0.5＝－19， 故＝＋＝0.5×170－19＝66. ②由①知更正前的数据＝170， ＝66.由＝0.5＝， 得x－82＝2×(xiyi－8)＝2×(89 920－8×170×66)＝320， 更正后的数据′＝＝170，′＝＝67，＝xiyi＋x8×8＝xiyi＋182×8， 8′·′＝8·′＝8(＋1)＝8＋8×170， 则＝＝ ＝0.5＋＝0.5＋0.3＝0.8， 故＝′－′＝67－0.8×170＝－69. 更正后该组数据的经验回归方程为＝0.8x－69. 当x＝180时，＝0.8×180－69＝75， 所以重新预估一名身高为180 cm的员工的体重约75 kg. 18.如图，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，点在椭圆C上，过原点O的直线与椭圆C相交于M，N两点，且|MF|＋|NF|＝4. (1)求椭圆C的方程； (2)如图，设P(1,0)，Q(4,0)，过点Q且斜率不为零的直线与椭圆C相交于A，B两点，证明：∠APO＝∠BPQ. 【答案】解　(1)如图，取椭圆C的左焦点F′，连接MF′，NF′，由椭圆的几何性质知|NF|＝|MF′|，则|MF′|＋|MF|＝2a＝4， 得a＝2.将点代入椭圆C的方程得＋＝1，解得b＝1. 故椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)证明　设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)． 由图可知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x－4)(k≠0)． 联立方程消去y得， (4k2＋1)x2－32k2x＋64k2－4＝0，Δ＝(－32k2)2－4(4k2＋1)(64k2－4)＞0，k2＜， 直线AP的斜率为＝.同理直线BP的斜率为.由＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝0. 由上得直线AP与BP的斜率互为相反数， 可得∠APO＝∠BPQ. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$