精品解析：江苏南京市第一中学2025-2026学年高二下学期数学5月基础题抢分赛

2024级高二数学基础题抢分赛（2） 时间：100分钟 满分：150分 一、单选题：本题共11小题，每小题5分，共55分． 1. 已知集合，则满足的集合C的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合、，再根据写出所有的满足条件的集合C，进而可得正确答案. 【详解】因为，， 且， 故集合可以为，，共6个． 故选：C. 2. 根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出，经查阅独立性检验的小概率值和相应的临界值，则下列说法正确的是（ ） A. 在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌 B. 若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌 C. 若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者 D. 吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1% 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用独立性检验的意义逐项判断即得. 【详解】由，得吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1%，D正确； 卡方检验仅说明吸烟与患肺癌两个变量间的关联性，无法量化个体情况，这两个变量间也无因果关系，ABC错误. 故选：D 3. 设，则“”是“都不为1”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】因式分解，根据实数运算性质可得. 【详解】因为， 所以且，即且，充分性成立； 反之，若都不为1，则且， 即，即，必要性成立. 所以，“”是“都不为1”的充要条件. 故选：C 4. 已知函数的定义域为，对任意均满足：，则函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用方程组法求解析式即可. 【详解】由①， 可得②， ①②得：，即. 故选：A. 5. 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的人数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】画出表示参加数学、物理、化学课外探究小组集合的Venn图，结合图形进行分析求解即可. 【详解】设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图． 因为全班共36名同学参加课外探究小组， 所以， 解得， 即同时参加数学和化学小组的有8人． 故选：B. 6. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先根据二次不等式的解集和韦达定理，来确定之间的关系，再代入分式不等式求解即可. 【详解】因为的解集为，所以的根为，且根据一元二次不等式的特征得：； 根据韦达定理得：，所以，代入不等式得：，因为，所以，等价于，解得解集为； 故选：. 7. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. [1，3] D. (1，3] 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 8. 一个袋中有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，即可得出. 【详解】记得分为X，则X的可能取值为5，6，7，8， 因为，， 所以. 故选：A. 9. 函数的最大值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于函数进行变形得，再利用基本不等式求最值即可． 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最大值为． 10. 已知函数，，对于任意的，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得在区间上的值域，根据的最小值求得的取值范围. 【详解】， ，， . 即在区间上的值域为. ， 所以， 解得或， 所以的取值范围是. 故选：C 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究函数单调性，从而比较大小. 【详解】设，则， 在时，，所以在上单调递增， 所以，则， 即，则， 设，则， 则当，，所以为减函数， 则当， ，所以为增函数， 所以，则； 设，，则， 所以在为增函数，则， 即，则，所以； 所以. 故选：D. 【点睛】思路点睛：两个常用不等式 （1）， （2）， 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 12. 关于概率统计，下列说法中正确的是（     ） A. 某人解答10个问题，答对题数为，若，则 B. 已知，若，则 C. 两个变量x，y的线性相关系数为r，若r越小，则x与y之间的线性相关性越弱 D. 若一组样本数据的样本点都在直线上，则这组数据的相关系数为1 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由，得，；根据二项分布的期望公式得，故A正确； 对于B，由，得正态分布的均值，标准差为，； ，；由正态分布的对称性可知，故B正确； 对于，两个变量x，y的线性相关系数为r，线性相关性的强弱由的大小决定，而不是r的大小，故错误； 对于，若一组样本数据的样本点都在直线上，说明与正相关，此时线性相关系数，故正确. 13. 已知，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理及多项式乘法法则求出展开式中含项的系数判断A，利用赋值法判断BC，对式子两边求导，令即可判断D. 【详解】A.的展开式中含的项为 ， 所以 ，A错误； B.令，得， 令，得， 则，B错误； C.令，得， 所以 ，C正确； D.等式两边对求导得： ， 令，得，D错误. 14. 已知正实数，满足，下列说法正确的是（     ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为6 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为，即，解得， 又因为正实数，，所以，则有，当且仅当时取得等号，故A正确； 对于B，由A知，，所以，当且仅当时取得等号，故B错误； 对于C，由题可得所以，解得， ， 当且仅当即时取得等号，故C正确； 对于D，， 当且仅当时取得等号，故D正确． 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 15. 已知集合，且，则_______． 【答案】1 【解析】 【详解】因为，所以，即中的所有元素都属于， 因为，，，所以， 即，得出或， 当时，，则，，满足， 当时，，则集合中的元素不满足互异性， 综上，. 16. 已知5名同学排成一排合影留念，若甲不站在两端，乙不站在正中间，则不同的排法共有_______种． 【答案】60 【解析】 【分析】分甲站在正中间与甲不站在正中间讨论即可求解． 【详解】若甲站在正中间，则共有种排法， 若甲不站在正中间，先排甲有种，再排乙有种，最后三人任意排有种， 则共有种排法， 综上，共有 种不同排法． 17. 在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】如图，以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则 ∴ ， ， ． 设平面的法向量为 ， 则即取 ，则 ，所以 ， 所以点C1到平面AD1C的距离为＝． 18. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数型函数以及一次函数的单调性，结合分段函数的性质求解即可． 【详解】由函数在上单调递减， 则，解得， 所以a的取值范围是． 19. 若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的分布直接求解． 【详解】方程在上有两个不相等的实数根， ，解得． 20. 已知正数x，y满足，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得 ，当且仅当时成立. 四、解答题：本题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 21. 已知集合，集合，． （1）若时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式、一元二次不等式求集合，再由集合的并运算求； （2）由题意，应用分类讨论确定集合，结合包含关系确定参数范围. 【小问1详解】 由，得，解得，即． 由，得且，则，即， 所以； 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以． 又，， ①若，则，由，得． ②若，则，满足． ③若，则，由，得， 综上，实数的取值范围为. 22. 已知函数，. （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； （2）若在定义域内单调递增，求的取值范围； （3）若在上存在零点，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）确定函数定义域为，对求导，根据曲线在处的切线斜率等于，且与直线垂直，得到关于的方程，即可求解； （2）由在定义域内单调递增，得上时，通过参数分离等价于在上恒成立；构造新函数求其最值，即可得到的取值范围； （3）化简得到的表达式，根据在上存在零点，得到方程在上有解，等价于与的图象在上有交点；构造新函数求其值域，即可得到的取值范围. 【小问1详解】 由，得的定义域为， . 当时， . 曲线在处的切线与直线垂直， ； ，即，解得． 【小问2详解】 由，得的定义域为， . 在定义域内单调递增， ； 即 在上恒成立，则在上恒成立. 令，则. 令，，得. 当时，，得在上单调递增； 当时，，得在上单调递减； 当时，取得极大值，也是最大值，即. . 【小问3详解】 由，得 . 令，得，即. 在上存在零点，等价于与的图象在上有交点； 令，则； 令，则 ，得； 当时，，得在上单调递增； 当时，，得在上单调递减； 当时，取得极大值，也是最大值，即. 当时，且； ，即的取值范围为． 23. 小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复． （1）求该同学第2天中午选择食堂就餐的概率： （2）记该同学第天选择食堂就餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②若存在n∈N*，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）①证明见解析② 【解析】 【分析】(1)由全概率公式：求解； (2) ①由全概率公式得的递推式，从而转化为等比数列问题；②通过求出的最小值，求得m的取值范围. 【小问1详解】 设为“第1天选择食堂”，为“第2天选择食堂”， 则为“第1天不选择食堂”， 根据题意，，，， 由全概率公式得：． 【小问2详解】 ①设为“第天选择食堂”，则，， 根据题意，， 由全概率公式得： ， 则． 因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列． ②由①得，， 当为正奇数时，，， 当为正偶数时，． 综上，当时，， 存在，使得成立，则，所以， 所以实数m的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二数学基础题抢分赛（2） 时间：100分钟 满分：150分 一、单选题：本题共11小题，每小题5分，共55分． 1. 已知集合，则满足的集合C的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 2. 根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出，经查阅独立性检验的小概率值和相应的临界值，则下列说法正确的是（ ） A. 在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌 B. 若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌 C. 若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者 D. 吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1% 3. 设，则“”是“都不为1”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知函数的定义域为，对任意均满足：，则函数解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的人数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. [1，3] D. (1，3] 8. 一个袋中有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 函数的最大值为（    ） A. B. C. D. 10. 已知函数，，对于任意的，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 12. 关于概率统计，下列说法中正确的是（     ） A. 某人解答10个问题，答对题数为，若，则 B. 已知，若 ，则 C. 两个变量x，y的线性相关系数为r，若r越小，则x与y之间的线性相关性越弱 D. 若一组样本数据的样本点都在直线上，则这组数据的相关系数为1 13. 已知，则（     ） A. B. C. D. 14. 已知正实数，满足，下列说法正确的是（     ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为6 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 15. 已知集合，且，则_______． 16. 已知5名同学排成一排合影留念，若甲不站在两端，乙不站在正中间，则不同的排法共有_______种． 17. 在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______． 18. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是___________． 19. 若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 20. 已知正数x，y满足，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 21. 已知集合，集合，． （1）若时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数k的取值范围． 22. 已知函数，. （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； （2）若在定义域内单调递增，求的取值范围； （3）若在上存在零点，求a的取值范围． 23. 小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复． （1）求该同学第2天中午选择食堂就餐的概率： （2）记该同学第天选择食堂就餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②若存在n∈N*，使得成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $