专题06因式分解 专项训练(12大核心题型精讲+分层训练突破)-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

**基本信息** 以“概念辨析-方法进阶-综合应用”为主线，系统覆盖因式分解全题型，提炼提公因式、公式法等核心方法，强化知识逻辑与解题迁移能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型梳理|13类题型|归纳提公因式、公式法等方法步骤|从定义到方法再到应用的递进| |核心题型精讲|每题型3道典例|拆解十字相乘、分组分解等技巧|结合例题展示方法适用条件| |分层精练|12道题|综合运用各方法解决实际问题|从基础巩固到综合拓展|

专题06因式分解 专项训练 题型梳理归纳 题型1.判断是否为因式分解 题型2.识别公因式并直接提公因式法分解因式 题型3.判断多项式能否用公式法分解因式 题型4.直接运用平方差、完全平方公式分解因式 题型5.判断因式分解是否分解彻底 题型6.先提公因式，再结合公式法分解因式 题型7.十字相乘法分解二次三项式 题型8.分组分解法 题型9利用因式分进行简便计算 题型10.因式分解方法的应用 题型11.已知因式分解的结果求参数 题型12.因式分解综合应用 题型13.分层精练12道题 核心题型精讲 题型1.判断是否为因式分解 1．下列各式从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，熟记定义，逐项判断即可得到结果. 【详解】解：∵ 选项A中，等式从左到右是整式乘法，结果是多项式，不是整式积的形式， ∴ A不是因式分解； ∵ 选项B中，等式右边出现，是分式不是整式，不符合因式分解要求， ∴ B不是因式分解； ∵ 选项C中，等式右边是，不是整式积的形式， ∴ C不是因式分解； ∵ 选项D中，左边是多项式，右边，是几个整式的积，符合因式分解的定义， ∴ D是因式分解. 2．下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，判断变形是否将多项式转化为几个整式乘积的形式，即可得出答案． 【详解】选项A和选项C是整式乘法，最终结果是多项式的和，不符合因式分解定义， 选项D的结果是两个部分相加的形式，不是几个整式的积，不符合定义， 选项B将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义， 故选：B． 【点睛】因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 3．下列因式分解是否正确？为什么？ (1)； (2)． 【答案】(1) 不正确，因为结果不是乘积的形式 (2) 正确，因为等式成立，且结果是整式乘积的形式 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据因式分解的定义：因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积的形式．据此判断因式分解是否正确即可． （1）根据因式分解的定义判断即可； （2）根据因式分解的定义和展开右边的式子验证是否等于左边即可判断． 【详解】（1）解：因为因式分解要求结果必须是整式的乘积，而右边 是和的形式． 故该因式分解不正确，因为结果不是乘积的形式； （2）解：因为等式的右边是整式的乘积， 且等式左边， 等式右边， 即等式左边右边， 故该因式分解正确． 题型2.识别公因式并直接提公因式法分解因式 1．将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 确定公因式需考虑系数、字母及多项式部分，注意与的关系，通过转换统一形式后提取最大公约数和最低次幂. 【详解】解：∵ ， ∴ 原式化为 . 系数和的最大公约数为，字母和的最低次幂为，多项式的最低次幂为， ∴ 公因式为 ， 故选：A. 2．分解因式：____________． 【答案】 【详解】解：． 3．已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】先将原式整理为，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当，时 原式 ． 题型3.判断多项式能否用公式法分解因式 1．下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查公式法分解因式，主要利用平方差公式和完全平方公式判断每个多项式是否符合公式形式． 【详解】解：∵ ① 不符合完全平方公式或平方差公式，故不能用乘法公式进行分解； ② ，符合完全平方公式，故能分解； ③ ，不符合平方差或完全平方公式，故不能用乘法公式进行分解； ④ ，符合平方差公式，故能分解； ⑤ ，符合完全平方公式，故能分解． ∴ 能用公式法分解的有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 2．多项式①；②；③；④；⑤中能用公式法分解因式的有________（填序号）． 【答案】③④⑤ 【分析】本题主要考查了公式法分解因式（平方差公式、完全平方公式），熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式的形式，逐一判断每个多项式是否符合公式法分解因式的条件． 【详解】解：①不符合完全平方公式形式，且无法用平方差公式分解，故不能使用公式法． ②可写为，平方和在实数范围内不能分解，故不能使用公式法． ③可写为，符合平方差公式，即，故能用公式法． ④可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． ⑤可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． 综上，能用公式法分解因式的有③、④、⑤． 故答案为：③④⑤． 3．观察下列式子因式分解的方法： ① ②（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） ③ (1)在②中，第三步到第四步用到的因式分解的方法是 　 　； (2)模仿以上方法，尝试对进行因式分解； (3)观察以上结果，直接写出因式分解后的结果； (4)根据以上结论，试求的值． 【答案】(1)提公因式法 (2) (3) (4)63 【分析】（1）依据题意，由因式分解的方法有：提公因式法、公式法、分组分解法等，可以判断得解； （2）仿照例子，即可变形得解； （3）依据题意，根据前面所得结果即可得解； （4）依据上述（3）结论，令，则可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，第三步到第四步提取了公因式，故采用的提公因式法． 故答案为：提公因式法． （2）解： （3）解：由（1）、（2）可得，． （4）解：由（3）， 当时，． 令， ． ． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要能读懂题意，学会转化． 题型4.直接运用平方差、完全平方公式分解因式 1．下列各式中，因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因式分解要求结果为几个整式的乘积，且需分解到不能再分解为止，再结合提公因式法、平方差公式逐项判断即可． 【详解】解：A．，原式未分解彻底，故选项 A错误； B．，故选项B正确； C．因式分解的结果需为几个整式乘积的形式，原式结果为，是和的形式，不符合因式分解定义，故选项C错误； D．，原式未分解彻底，故选项D错误． 2．，则的值为______． 【答案】 【分析】对所求多项式因式分解后，将已知条件整体代入计算即可得到结果． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 3．分解因式： (1)： (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式分解； （2）先提出公因式，再根据完全平方公式分解． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 题型5.判断因式分解是否分解彻底 1．下列分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积形式，且每一个整式不能再分解．根据提公因式法、公式法分解因式，即可获得答案． 【详解】解：A. ，正确，符合题意； B. ，故该选项因式分解错误，不符合题意； C. ，不能再分解，故该选项错误，不符合题意； D. ，故该选项因式分解错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握因式分解的常用方法是解题关键． 2．请直接写出最终结果． ①因式分解：_______ ②因式分解：_______． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法，因式分解，正确换元是解答本题的关键． ①将原式整理为，令，代入整理得，然后再分解即可； ②将原式整理得，令，将代入，展开，发现式子是一个完全平方公式． 【详解】解：① ， 令， 得 ． 故答案为：． ② ， 令， 得： ， 故答案为：． 3．因式分解：． 【答案】 【分析】先利用平方差公式展开，再利用完全平方公式以及平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 题型6.先提公因式，再结合公式法分解因式 1．对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的解码值．如当时，因式分解的结果为，则的值为，，，由此可以得到整式的解码值为．当时，整式的解码值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先按因式分解规则分解整式，确定因式个数，再根据定义取，计算每个因式的值后求和得到解码值，用到因式分解的提公因式法和平方差公式． 【详解】解：， 分解得到个整式， 根据定义取， 分别计算各整式的值：，，， 解码值为 ． 2．因式分解：________． 【答案】 【分析】先对原式变形构造公因式，再提取公因式，最后利用平方差公式进行二次因式分解，即可得到结果． 【详解】解： ． 3．计算． (1)解不等式组，并写出它的最大整数解． (2)已知，，求代数式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分别解两个不等式，求得公共解集，再求整数解； （2）将代数式因式分解为，再代入求值，即可求解． 【详解】（1）解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：，最大整数解为 （2）解：∵，， ∴ 题型7.十字相乘法分解二次三项式 1．若满足，则分解因式等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解含有字母参数的二元一次方程组，因式分解；根据已知条件可求出关于的表达式，代入二次三项式后进行分解因式即可得到结果． 【详解】解： 由得，可得， 将代入得，可得， 将代入得：． 故选：C． 2．求不等式的解集有如下方法： 根据“异号两数相乘，积为负”可得（1）或（2） 解得（1）无解  （2） 所以不等式的解集为 请用上述方法直接求出不等式的解集：___________． 【答案】 【分析】先对不等式左边因式分解，再根据“异号两数相乘，积为负”将原不等式转化为两个一元一次不等式组，分别求解不等式组后即可得到原不等式的解集． 【详解】解：， ， ∴（1）或（2）， 解得（1）；（2）无解； ∴不等式的解集为． 3．【阅读材料】将一张长方形纸片按如图所示分成6块，其中涂色部分是三块邻边长为，的长方形． (1)观察图形，代数式可因式分解为_________． (2)图中涂色部分面积之和记作，非涂色部分面积之和记作． ①用含，的代数式表示，； ②若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题意可得长方形纸片的面积为，或者表示为，即可求解； （2）①直接观察图形，即可求解；②根据，可得，从而得到，再进一步即可求解． 【详解】（1）解：观察图形得：长方形纸片分为2块是边长为的正方形，1块是边长为的正方形，3块是长为y，宽为的长方形， 所以长方形纸片的面积为， ∵长方形纸片的长为，宽为， ∴长方形纸片的面积为， ∴， 即代数式可因式分解为； （2）解：①根据题意得：； ②∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴，即， ∴． 题型8.分组分解法 1．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 【答案】C 【分析】通过展开等式右侧乘积，对比左右两边即可求出被盖住的数字． 【详解】设，，则， ， ， 解得， 所以式子中的，处对应的两个数字分别是16和2． 2．已知二次三项式有一个因式是，则m的值为____________． 【答案】 【分析】设另一个因式为，可得，根据整式的乘法运算法则即可求解． 【详解】解：设另一个因式为，可得， 则， ∴，解得， ∴另一个因式为，m的值为． 3．仔细阅读下面例题，解答问题： 例已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得 则，，解得：， 另一个因式为，的值为． 仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】另一个因式为，的值为 【分析】根据多项式乘法的逆运算，先设出另一个因式，再通过展开等式两边的多项式，利用对应项系数相等建立方程，求解得到另一个因式和的值． 【详解】解：设另一个因式为，则． ， ． ． 由， ， ． 把代入， ， ． 另一个因式为，的值为． 题型9.利用因式分解进行简便计算 1．计算的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果． 【详解】原式， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键． 2．计算的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 3．利用乘法公式简便计算：． 【答案】 【分析】利用平方差公式和完全平方公式对已知式子进行变形，简便计算，即可得解． 【详解】解：原式 ． 题型10.因式分解方法的应用 1．下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先对每个选项进行因式分解，然后再进行判断即可． 【详解】解：； ； ； ； 综上分析可知：整式中不含有这个因式的是，故B符合题意． 故选：B． 2．因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．运用分组分解法，先将多项式合理分组，再依次利用提取公因式法、平方差公式进行因式分解，直至分解为几个整式的积的形式． 【详解】解： 故答案为：． 3．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：_________ ②拆项法（写出计算过程）： (2)应用：若，求a、b、c的值． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】 （1）①先将原式变形为，前3项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可； ②将常数项变为，前三项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可； （2）将原式变形为 ，分组分解为，再利用非负数的性质即可求出，，． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：由得： ， 即， ∴ ， ∴． 题型11.已知因式分解的结果求参数 1.若多项式可分解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 通过展开因式分解形式并比较系数，求出和的值，再计算． 【详解】展开，与原多项式比较系数，得：，且 ， 解得：，， ∴； 故选：B． 2．若多项式有一个因式是，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求整式中的系数，解题的关键是正确设另一个因式． 由于是多项式的一个因式，根据因式定理，当时，多项式的值为零． 【详解】解：将代入多项式，得 ， 计算得 ， ， ， 解得． 故答案为：． 3．【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”． 【解决问题】 (1)当______时，多项式，所以可以因式分解为______； (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； (3)对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． （1）将代入即可； （2）由题意得，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式，设另一个因式为，则，再由系数关系求a、b即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 故答案为：，； （2）解：由题意可知， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：当时，， ∴多项式有因式， 设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 题型12.因式分解综合应用 1．能被下列数整除的是（   ） A．5 B．8 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据提公因式法对原式因式分解，根据化简结果判断能被哪个数整除． 【详解】解：对原式变形提取公因式， ∵，是8的整数倍， ∴原式能被8整除． 2．观察下列各式： ． ， ， ， 根据上述规律计算的值为________． 【答案】 【分析】先根据已知给出的式子总结出一般规律，再将所求式子对照规律变形计算，即可得到结果． 【详解】解：根据已知各式，总结规律得：， 令，，代入规律得：， ∴． 3．已知 ，，求： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2)48 【分析】（1）先对原式因式分解，再代入计算即可； （2）先对原式因式分解，再代入计算即可． 【详解】（1）解：， 把 ，代入， 可得原式； （2）解：， 把 ，代入， 可得原式． 分层精练 一、单选题 1．若三边a，b，c满足，则一定是（     ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查因式分解与三角形形状判断，先对已知等式因式分解，再结合三角形三边关系得到边的等量关系，即可判断三角形形状． 【详解】∵ 是的三边长， ∴ ，即 ， ∵ ∴ ∵ ∴ ，即 ∴ 一定是等腰三角形 故选：． 2．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的概念，把一个多项式化成几个整式的积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：A．，等式右边不是整式积的形式，故此项不合题意． B．，是整式的乘法，不是因式分解，故此项不合题意． C．，符合因式分解的定义，故此项符合题意． D．，是整式的乘法，不是因式分解，故此项不合题意． 3．若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 4．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：平方差公式为 ，逐一判断：对选项 A ，A错误； 对选项B ，括号内为平方和，无法因式分解，B错误； 对选项C ，C未分解彻底，C错误； 对选项D ，分解正确，D正确． 二、填空题 5．分解因式：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 6．若 ，则_________（请用“”“”或“”表示) 【答案】 【分析】本题考查代数式的大小比较以及完全平方公式的应用，解题的关键是对进行变形，然后通过作差法比较与的大小．先对进行变形，利用完全平方公式，再计算的值，根据其正负判断与的大小关系． 【详解】设，则． ， 将代入，得， ． 故答案为：． 7．分解因式：____． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，即可求解． 【详解】解： ． 8．计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解后，计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 三、解答题 9．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用十字相乘法因式分解即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可； （4）利用分组分解法进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 10．初二阶段大家学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等，因式分解也可进行多方面的应用． ①分组分解法： 例如：． ②拆项法： 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）： ②（拆项法）： (2)因式分解的综合运用 ①已知：a、b、c为的三条边，，则的周长为____； ②已知：a、b、c为的三条边，满足，试确定的形状，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)①7；②是等边三角形，理由见详解 【分析】（1）①读懂题意，利用分组法分解因式； ②读懂题意，利用拆项法分解因式； （2）①把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质分别列等式，求出a、b、c的值，再求和即可． ②把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质得出，即可解答． 【详解】（1）解：① ； ② ． （2）解：①∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，∵，∴三边能构成三角形， 因此三角形周长为． ②是等边三角形，理由如下： ∵， 将等式两边同乘2得：， 分组配方得：， 根据平方的非负性，得， 即， 因此是等边三角形． 11．解答下列问题： (1)已知、、是的三边长，且有，试判断三角形的形状． (2)已知关于，的方程组的解中，为非正数，为负数，求的取值范围． 【答案】(1)是等边三角形 (2) 【分析】（1）先将原式分解因式得出，从而求出，即可得出答案； （2）先解方程组得出，然后根据为非正数，为负数，得出，解不等式组即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：由方程组得：， ∵关于，的方程组的解中，为非正数，为负数， ∴， 解得：． 12．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：，． 另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值． 【答案】(1)， (2)另一个因式是，a的值是2 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． （1）设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得和的值． （2）设另一个因式是，则利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：设另一个因式是，则有： ， 则， 解得：， 则另一个因式是：，； （2）解：二次三项式有一个因式是，是正整数，设另一个因式是，则 ， 则， 解得，或（舍去，不符合题意）， 另一个因式是， 故另一个因式是，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06因式分解 专项训练 题型梳理归纳 题型1.判断是否为因式分解 题型2.识别公因式并直接提公因式法分解因式 题型3.判断多项式能否用公式法分解因式 题型4.直接运用平方差、完全平方公式分解因式 题型5.判断因式分解是否分解彻底 题型6.先提公因式，再结合公式法分解因式 题型7.十字相乘法分解二次三项式 题型8.分组分解法 题型9利用因式分进行简便计算 题型10.因式分解方法的应用 题型11.已知因式分解的结果求参数 题型12.因式分解综合应用 题型13.分层精练12道题 核心题型精讲 题型1.判断是否为因式分解 1．下列各式从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列因式分解是否正确？为什么？ (1)； (2)． 题型2.识别公因式并直接提公因式法分解因式 1．将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 2．分解因式：____________． 3．已知，，求代数式的值． 题型3.判断多项式能否用公式法分解因式 1．下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．多项式①；②；③；④；⑤中能用公式法分解因式的有________（填序号）． 3．观察下列式子因式分解的方法： ① ②（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） ③ (1)在②中，第三步到第四步用到的因式分解的方法是 　 　； (2)模仿以上方法，尝试对进行因式分解； (3)观察以上结果，直接写出因式分解后的结果； (4)根据以上结论，试求的值． 题型4.直接运用平方差、完全平方公式分解因式 1．下列各式中，因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 2．，则的值为______． 3．分解因式： (1)： (2) 题型5.判断因式分解是否分解彻底 1．下列分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．请直接写出最终结果． ①因式分解：_______ ②因式分解：_______． 3．因式分解：． 题型6.先提公因式，再结合公式法分解因式 1．对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的解码值．如当时，因式分解的结果为，则的值为，，，由此可以得到整式的解码值为．当时，整式的解码值是（     ） A． B． C． D． 2．因式分解：________． 3．计算． (1)解不等式组，并写出它的最大整数解． (2)已知，，求代数式的值． 题型7.十字相乘法分解二次三项式 1．若满足，则分解因式等于（    ） A． B． C． D． 2．求不等式的解集有如下方法： 根据“异号两数相乘，积为负”可得（1）或（2） 解得（1）无解  （2） 所以不等式的解集为 请用上述方法直接求出不等式的解集：___________． 3．【阅读材料】将一张长方形纸片按如图所示分成6块，其中涂色部分是三块邻边长为，的长方形． (1)观察图形，代数式可因式分解为_________． (2)图中涂色部分面积之和记作，非涂色部分面积之和记作． ①用含，的代数式表示，； ②若，求的值（用含的代数式表示）． 题型8.分组分解法 1．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 2．已知二次三项式有一个因式是，则m的值为____________． 3．仔细阅读下面例题，解答问题： 例已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得 则，，解得：， 另一个因式为，的值为． 仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 题型9.利用因式分进行简便计算 1．计算的值为（    ）． A． B． C． D． 2．计算的值为_____． 3．利用乘法公式简便计算：． 题型10.因式分解方法的应用 1．下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 2．因式分解：___________． 3．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：_________ ②拆项法（写出计算过程）： (2) 应用：若，求a、b、c的值． 题型11.已知因式分解的结果求参数 1.若多项式可分解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．若多项式有一个因式是，则的值为___________． 3．【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”． 【解决问题】 (1)当______时，多项式，所以可以因式分解为______； (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； (3)对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 题型12.因式分解综合应用 1．能被下列数整除的是（   ） A．5 B．8 C．10 D．11 2．观察下列各式： ． ， ， ， 根据上述规律计算的值为________． 3．已知 ，，求： (1)； (2)． 分层精练 一、单选题 1．若三边a，b，c满足，则一定是（     ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．分解因式：________． 6．若 ，则_________（请用“”“”或“”表示) 7．分解因式：____． 8．计算：_______． 三、解答题 9．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．初二阶段大家学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等，因式分解也可进行多方面的应用． ①分组分解法： 例如：． ②拆项法： 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）： ②（拆项法）： (2)因式分解的综合运用 ①已知：a、b、c为的三条边，，则的周长为____； ②已知：a、b、c为的三条边，满足，试确定的形状，并说明理由． 11．解答下列问题： (1)已知、、是的三边长，且有，试判断三角形的形状． (2)已知关于，的方程组的解中，为非正数，为负数，求的取值范围． 12．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：，． 另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $