15.卷9 九上第4章 二次函数 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（湘教版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了二次函数的概念、图像性质、表达式变换及实际应用，通过基础题到综合题的层次设计，结合解析中对顶点坐标、对称轴、平移规律的推导，帮助学生构建从定义到性质再到应用的完整知识网络。 其亮点在于融入跨学科问题（如物理饮水机电功率抛物线）和项目式学习（无人机灌溉建模），通过数形结合题培养几何直观，用规律探究题发展推理意识。分层设计涵盖基础巩固、能力提升和拓展创新，助力学生精准突破薄弱点，也为教师提供清晰的复习路径和学情诊断依据。

数 学 九年级全一册 湘教版 1 2 3 卷9 九上第4章提优验收卷（B卷） 考查内容：二次函数 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.[2026浙江杭州萧山区月考]抛物线与 轴的交点坐标为( ) C A. B. C. D. 【解析】当时，，所以抛物线 与轴的交点坐标为 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 2.[2026北京东城区月考]已知二次函数，当函数值随 的增大而增 大时， 的取值范围为( ) D A. B. C. D. 【解析】，， 抛物线开口向下，对称轴为轴， 当 时，随的增大而增大，当时，随 的增大而减小，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 3.[2026湖南永州月考]抛物线与抛物线 具有的相同性质是( ) D A.开口向上 B.开口向下 C.有最高点 D.对称轴是 轴 【解析】抛物线的开口向上，对称轴为轴，有最低点；抛物线 的开口向下，对称轴为 轴，有最高点，故两个抛物线具有的相同性质是对称轴都 是 轴，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 4.[2026广东广州月考]若抛物线不动，将平面直角坐标系 先沿 水平方向向右平移1个单位长度，再沿竖直方向向上平移3个单位长度，则原抛物 线在新坐标系中对应的函数表达式为( ) C A. B. C. D. 【解析】 .题中平移方式可看作将抛物线 先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得抛物线 ，即 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 5.[2026福建厦门思明区月考]用描点法画二次函数 的图象 时，列出了下面的表格： … 0 1 2 … … 0 4 … 从表中信息可得 的值为( ) A A.0 B. C. D.1 【解析】由表格可得，时，；时，， 二次函数图象 的对称轴为直线.， 时的函数值等 于时的函数值， ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 6.新考法 [2026江苏南京月考]如图是二次函数 的图 象，若关于的方程 总有一正一负两个实数根，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 【解析】 分析一元二次 方程 当时， 的值有一正一负 数形结合 抛物线位于 轴两侧 观察图象 _____________________________________ 如图，符合要求的图象位于抛物线与 轴交点的上方，此时 ，即 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 7.跨学科问题 [2026陕西西安铁一中月考，中]某物理兴趣小组对一款饮水机的工 作电路展开研究，如图（1），将变阻器 的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻 器消耗的电功率随电流 变化的关系图象，如图（2）所示，且该图象是经过原 点的一条抛物线的一部分，则变阻器消耗的电功率 最大为( ) D 图（1） 图（2） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 【解析】设抛物线表达式为.把，代入得 解 得 抛物线表达式为， 当 时，取最大值220， 变阻器消耗的电功率最大为 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 8.[2026湖南益阳月考，中]二次函数 的图象如图所 示，则 的化简结果是( ) D A. B. C. D. 【解析】由题图可知，抛物线开口向下， 抛物线的对称 轴在轴左侧，.又 抛物线与轴交于正半轴， 抛物线过 ， ，即.又 ， ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 9.[2026河南郑州月考，中]在数学函数图象的操作课上，小红利用网络画板研究函 数 的图象.请你根据以前的学习经验，判断小红得到的图象是 ( ) A A. B. C. D. 【解析】当时， ；当 时，， 函数 的图象如图所示，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 上分点拨 绝对值函数 将含绝对值的函数转化为常规函数的关键是对含绝对值式子的正负进行分类讨论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 10.规律探究 [2026山西大同月考，难]如图，在平面直 角坐标系中，， ，形状相同的抛物线 ，2，3，4，的顶点在直线 上，其对称轴 与轴交点的横坐标依次为2，3，5，8， ，根据上述 规律，可知抛物线 的顶点坐标为( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 【解析】设直线的表达式为.把， 代入得 解得 直线的表达式为 抛物线 的顶点的 横坐标为2，且顶点在直线上， 抛物线的顶点坐标为， ，同理可得抛物 线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，，抛物线 的顶点坐标为 ，， ， 抛物线的顶点的横坐标为， 将 代入 得， 抛物线的顶点坐标为， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11.[2026湖南邵阳校级月考]若是关于 的二次函数， 则 ___. 1 【解析】由题意得且，解得 ，故答案为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 12.[2026湖南湘潭期中]无论为何实数，二次函数 的图象 必过定点的坐标为_______. 【解析】 无论 为何实数，二次 函数的图象必过定点，即该定点坐标与的值无关，，解得 ，此 时， 图象必过定点的坐标为.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 13.新考法 [2026河南安阳月考]用总长为 的铝合金材料做成如图（1）所示的 “日”字形窗框（材料厚度忽略不计），窗户的透光面积与窗框的宽 之 间的函数关系图象如图（2）所示，则 的值是___. 6 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 【解析】由题意得，“日”字形窗框的高度为，与 之间的函数关系式为 .设题图（2）中抛物线的表达式为 ， 将代入，得， ， ，， .故答案为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （第14题图） 14.[2026湖南湘潭月考，中]已知二次函数 的图 象如图所示，点，，，在 轴上，若满足以下条件：①函 数图象与轴负半轴相交；②当时，随 的增大而减小， 则平面直角坐标系的原点可能是以下四点中的点___. 【解析】 函数图象与轴负半轴相交， 点不可能是原点. 当时，随 的增大而减小，轴经过抛物线顶点或在抛物线顶点左侧， 点 可能是原点.故 答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 15.新定义 [2026福建厦门月考，中]若抛物线 上存在一 点，使得，则称 为该抛物线的“开口大小”， 那么抛物线 的“开口大小”为___. 2 【解析】.设点 在该抛物线上， 且，解得或（舍去）， 抛物线 的“开口大小”为 ，故答案为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 （第16题图） 16.[2026北京清华附中月考，难]如图，直线与 轴交于点，与直线交于点，以 为边向右作菱 形，点恰与原点重合，抛物线 的 顶点在直线上移动.若抛物线与菱形的边， 都有公共点，则 的取值范围是___________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 【解析】联立得解得 点的坐标为 .由抛物线的表达 式可知，抛物线的顶点坐标为.将代入，得， 抛物 线的表达式为.如图（1），当抛物线经过点时，将 代入 ，得，解得， . 如图（2）,当抛物线经过点时,将代入 ,得 ，整理得，解得， .综上所 述，的取值范围是.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 三、解答题：本题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 17.[2026湖南长沙期中]（6分）如图，抛物线 经过点 . （1）求 的值，并求出此抛物线的顶点坐标.（3分） 【解】由题意可得，解得 ，………… （1分） ， 顶点坐标为 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 （2）当时，求 的最小值.（3分） 【解】 抛物线的表达式为 ，且抛物线开口向下， 当时， ， 当时，， 当时， 的最小值为 1.…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 18.[2026河北衡水志臻中学月考]（8分）如图，抛物线 与直线 相交于点和点 . （1）求和 的值.（2分） 【解】把点的坐标代入中,得，解得 .…………（1分） 把点的坐标代入中,得，解得 .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式 的解集.（3分） 【解】由（1）知，抛物线表达式为,直线表达式为 . 令,解得， . 当时， ， .…………（3分） 由函数图象可知，不等式的解集为或 .………… （5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （3）在抛物线上找一点，针对的不同取值，所找点的个数不同，若点 的个数为2，求 的取值范围.（3分） 【解】，抛物线开口向上， 二次函数的最小值为 .结合图象可知，若点的个数为2，则 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 19.[2026湖南长沙期末]（8分）某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗， 计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造费用（万元）与隔热层厚度 之间满足函数关系式.预计该商场每年的能源消耗费用 （万元）与隔热层 厚度之间满足函数关系式，其中 .设该商场的隔 热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为 （万元）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 （1）若 ，求该商场建造的隔热层厚度.（5分） 【解】由题意得 ， 整理得 .…………（3分） 当时，，解得， . ， . 答：该商场建造的隔热层厚度为 .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （2）已知该商场未来8年的相关规划费用为（万元），且 ，当 时，求隔热层厚度 的取值范围.（3分） 【解】由（1）得 . ， .………… （6分） ，随 的增大而增大. 当时，，解得；当时， ，解 得 . 故的取值范围为 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 20.[2026吉林松原宁江区月考]（8分）如图，抛物线与 轴交于 ，两点，与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点 ，连 接，已知 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 （1）［中］求 的长.（4分） 【解】，，,.将点， 分别代入,得解得 抛物线表达式为 .…………（2分） 令，则，解得，， 点的坐标为 ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 （2）［中］求 的面积.（4分） 【解】设直线的表达式为，， . 把点，分别代入 ， 得解得 直线的表达式为 .…………（6分） 联立解得 ， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 21.项目式学习 [2026广东深圳月考]（10分）项目主题：无人机灌溉研究. 项目背景：无人机灌溉能高效精准供水，减少浪费，助力农业现代化. 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉. 建立模型：如图（1），设无人机控制中心为点，两个喷水口分别为点， ，且 点，，在同一条水平直线上，.如图（2），以 为坐标原点，竖直 方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，喷水口点和点到点 的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛 物线，抛物线与轴的交点为， . 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 问题解决： （1）求点 所在抛物线的函数表达式.（2分） 【解】，点与点到点的距离相等，， 点 的坐标为， 点的坐标为 .…………（1分） 设点所在抛物线的函数表达式为.将点 代入得 ，解得， 点 所在抛物线的函数表达式为 . …………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 （2）［中］无人机控制中心距地面的初始高度为 ，为了精准灌溉，需要调 整无人机的高度到合适位置.如图（3），要使宽度为 的田埂 （高度忽略不计）恰好不被喷洒到水，求无人机应下降的高度.（3分） 【解】，点和点关于轴对称， 设点 的坐标为 . …………（3分） 将点代入，得， 点的坐标为 ， ， 无人机喷水口距离地面的高度为时符合要求， 无人机应下降的 高度为 . 答：无人机应下降的高度为 .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 （3）［偏难］如图（4），在直线上再增加2个喷水口和，在左侧， 在 右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为 时，求此时喷 洒水覆盖区域宽度 的长.（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 【解】由题意得，，点坐标为， 点坐标为 ，所在抛物线表达式为 .…………（6分） 无人机上升到距地面的高度为 ， 点的纵坐标为.把代入 中，得 ，解得， ， .…………（8分） ，关于轴对称， .…………（9分） 答：喷洒水覆盖区域宽度的长为 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 22.探究性问题 [2026山东枣庄月考]（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线 经过抛物线的顶点 .已知抛物线经 过原点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 （1）求抛物线的表达式并直接写出点 的坐标.（3分） 【解】 抛物线经过原点，，解得或.， ， 抛物线的表达式为 .…………（2分） ， 顶点的坐标为， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 （2）［偏难］当时，的最小值为2，求 的值.（4分） 【解】当，即时，随 增大而减小，由题意得 ，解得，（舍去），的值为 ；………… （4分） 当时，的最小值为 ，不符合题意；…………（5分） 当时，随增大而增大，由题意得，解得 （舍去）， ， 的值为1.…………（6分） 综上，的值为 或1.…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 （3）［难］当时，动点在直线下方的抛物线上，过点作 轴交直线 于点，令，求 的最大值.（5分） 【解】由题意得，当时，经过点， ， ，， .…………（9分） 易得直线与抛物线的另一个交点坐标为, . 设点，且 . 轴，， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 .………… （11分） ，， 当时，取得最大值,为 .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 $