12.卷8 九上第4章 二次函数 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（湘教版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了二次函数的概念、表达式、图像性质及应用，通过“上分技巧”总结识别方法、平移规律等核心内容，结合目录从选择到解答题的递进，帮助学生构建完整的二次函数知识体系。 其亮点在于融入新情境题如机器人运动轨迹、投壶游戏，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过逻辑推理推导最值问题、判别式证明发展数学思维，实际应用题如储料场面积计算构建模型提升数学语言表达能力。分层设计让不同水平学生收获，教师可精准把握学情提高复习针对性。

数 学 九年级全一册 湘教版 1 2 3 卷8 九上第4章基础诊断卷（A卷） 考查内容：二次函数 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 2026马年春晚我们共同见证了机器人“智造”领域的技术飞跃.机器人 某些运动轨迹可抽象为抛物线，在初中数学中我们通过二次函数研究抛物线.下列 函数中，是关于 的二次函数的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 【解析】A选项， 是一次函数，不是二次函数，不符合题意；B选项，当 时，不是二次函数，不符合题意；C选项， 不是二次函数， 不符合题意；D选项， 是二次函数，符合题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 上分技巧 识别二次函数 识别一个函数是不是二次函数要看它是否同时满足三个条件： （1）函数表达式为整式；（2）化简后自变量最高次数是2；（3）二次项系数不 为0.若满足，则该函数是二次函数，否则不是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 2.[2026安徽合肥月考]抛物线 的顶点坐标为( ) A A. B. C. D. 【解析】抛物线的顶点坐标为 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 上分警示 根据顶点式写出抛物线的顶点坐标 顶点式，，是常数，，其中 为顶点坐标，注意 不要写成 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 3.[2026湖南怀化期末]抛物线的对称轴是直线，则 的 值为( ) D A.6 B. C.5 D. 【解析】抛物线的对称轴为直线， .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 4.新情境 [2026河南郑州一中月考]小明用 编写了一个程序来探索一元二次方程 的根，作出如图所示的图象， 并求得一个近似根 ，则方程的另一个 近似根（精确到 ）为( ) C A. B. C. D. 【解析】 抛物线与轴的一个交点坐标为 ，抛物线的对称轴为直线 ， 抛物线与轴的另一个交点坐标为 ，即方程的另一个近似根为 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 上分技巧 二次函数图象的对称性 只要二次函数图象的对称轴确定，此二次函数图象上任意一点关于对称轴对称的 点的坐标就能确定，不需要知道此二次函数的表达式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 5.[2026河北承德月考]二次函数 的图象经过怎样的平移可得到函数 的图象( ) A A.向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B.向左平移1个单位，再向下平移3个单位 C.向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D.向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【解析】， 二次函数 的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位可得到函数 的图象.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 上分点拨 二次函数图象的平移规律 上加下减常数项，左加右减自变量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 6.[2026湖南娄底娄星区期末]二次函数的自变量（表格中 从左 到右增大）与函数值 的对应值如下表： … 0 1 3 … … 1 0 1 … 下列判断正确的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 【解析】由表格数据可知，或3时，， 二次函数图象的对称轴为直线 ，又时，，时， ，如图所示， ，，，， ，故 选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 7.[2026湖南娄底月考]在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数 为常数，且 的图象可能是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 【解析】A选项，根据二次函数图象可得，由此判断直线 需经过 第二、三、四象限，故本选项不符合题意；B选项，根据图象可得一次函数 中，则二次函数 的图象应开口向上，故本选项不符合 题意；C选项，根据图象可得一次函数中 ，则二次函数 的图象应开口向下，故本选项不符合题意；D选项，根据图象可得一 次函数中，则二次函数的图象应开口向上，且与 轴 交于负半轴，故本选项符合题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 8.[2026江苏南京鼓楼区月考，中]某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以 后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是 ，则该厂今年第一季度新产品的 研发资金（万元）与 的函数关系式为( ) C A. B. C. D. 【解析】 该厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资 金与上月相比增长率都是， 该厂今年二月份新产品的研发资金为 万元， 三月份新产品的研发资金为 万元.根据题意得 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 9.[2026湖南邵阳期中，中]二次函数在 的范围 内有最小值为，则 的值为( ) A A.3或 B. C. 或1 D.3 【解析】， 抛物线开口向 下，对称轴为直线， 在 的范围内， 时， 为函数最小值， ，解得或 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 10.新情境 [2025浙江中考，偏难]为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运 动点与观测点之间距离的平方.如图（1），点是一个固定观测点，运动点从 处 出发，沿笔直公路向目的地处运动.设为单位：， 为 单位：.如图（2），关于的函数图象与轴交于点，最低点 ， 且经过和 两点.下列选项正确的是( ) 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 A. B. C.点的纵坐标为240 D.点 在该函数图象上 【解析】如图,过点作,垂足为点.由点纵坐标可知 的 最小值为81,即,, 当 时, ,,,即 ,故A选项 错误.连接,则在中,,即点 的纵坐 标为250,故C选项错误.,, , 故B选项错误.当 ,即时, ,此时 , 点 在该函数图象上, 故D选项正确, 故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11.开放性问题 [2026湖南长沙月考]抛物线与轴交于点， ，则该抛物 线表达式可以为__________________________.（填一个即可） （答案不唯一） 【解析】 抛物线过点，， 可设此二次函数的表达式为 .把代入，得.故答案为 （答案不唯一）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 上分警示 开放性问题 做开放性问题时，得出的答案可以代入题干检查一遍，看是否符合题目的每个要求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 （第12题图） 12.[2026安徽合肥月考]如图，在同一平面直角坐标系中，作出 ，， 的图象，则从里到外的三条 抛物线对应的函数依次是________（填序号）. ①③② 【解析】，， 中，二次项系数分 别为3,,， 抛物线的开口最大，抛物线 的开 口最小.故答案为①③②. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 （第13题图） 13.[2026陕西西安月考]如图，已知抛物线 与直 线交于，两点，则关于 的不等式 的解集是____________. 【解析】由图象可知，当 时，抛物线位于直线上方， 不等式的解集是 ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 （第14题图） 14.[2026湖南湘潭期末，中]如图，， 为二次函数 图象上的两点，且直线垂直于 轴，若 ，则点 的纵坐标为___. 1 【解析】抛物线 的对称轴为直线 ， 点横坐标为.将 代入 得， 点 的纵坐标为1.故答案为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 （第15题图） 15.传统文化 [2026江西南昌月考，中]投壶是中国古代宴饮时 的一种投掷游戏.游戏规则：游戏者轮流站在离壶一定距离的地 方，用手把箭投向壶中并计算得分，其中箭头的运动轨迹可以 看成一条抛物线.如图是小西投壶时箭头行进高度 与水平 距离之间的函数关系图象，投出时箭头距地面的高度 0.3 为，当箭头行进的水平距离为时，箭头行进至最高点处.已知 是壶的 最左侧（厚度忽略不计，可看成垂直于轴的线段），且 .若小西投壶恰 好投中，则的长为____ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 【解析】由题意知，抛物线的顶点坐标为，，， .设抛物线表达式为 ，把点坐标代入表达式得，解得 ， 抛物线表达式为.当时，， 若 小西投壶恰好投中，则的长为 ，故答案为0.3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 16.新定义 [2026广东广州越秀区月考，偏难]对于一个函数，当自变量取 时， 其函数值等于，我们称为这个函数的“三倍数”.若二次函数 有且只有一个“三倍数”，则 的值为___. 2 【解析】设二次函数的“三倍数”为，则 ， ， 二次函数 有 且只有一个“三倍数”，，解得 ，故答案为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 三、解答题：本题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 17.[2026湖南怀化期末]（6分）二次函数 的图象经过点 ， . （1）求,的值分 【解】 二次函数的图象经过点， ， …………（2分） 解得 …………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （2）求二次函数图象与轴、轴的交点坐标分 【解】由（1）知，.令，则， 二次函数 的图象与轴的交点坐标为 .…………（4分） 令，则，解得， 二次函数的图象与 轴的交 点坐标为， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 18.[2026浙江湖州南浔区月考]（8分）已知抛物线上有 ， 两点. （1）通过计算判断点是否在该抛物线上分 【解】当时，， 点 不在该抛物线上.………… （2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 （2）判断和的大小关系，并说明理由分 【解】 .…………（3分） 理由： 抛物线的表达式为， 抛物线开口向上，对称轴为直线 ， 当时，随 的增大而增大.…………（6分） 又 抛物线上有，，两点，且， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 19.[2026辽宁沈阳七中月考]（8分）如图，利用 的墙角修建一个梯形 的储料场，其中，且 .如果新建墙 （墙上的门算作墙的一部 分，未在图中显示）总长为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 （1）设储料场面积为，的长为，求与之间满足的函数关系式分 【解】由题意可得的长为.如图，过作 于 ，, .又 ， 四 边形是矩形，， . ， ， ， ， ，…………（4分） .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 （2）当 取何值时，才能使储料场的面积最大？最大面积为多少？（3分） 【解】由（1）可知.抛物线 的对称轴为直线 .…………（6分） 抛物线开口向下， 当 时，储料场的面积最大，最大面积为- .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 20.[2026湖南益阳期中]（8分）已知抛物线 . （1）求证：不论取何值，该抛物线与轴总有两个公共点分 【证明】由题意得方程 ，则 ， ，即， 不论取何值，该抛物线与 轴总有两个公共 点.…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 （2）［中］若该抛物线与轴交于点，求当时，的取值范围分 【解】把代入得，解得， 该 抛物线的表达式为 .…………（5分） 令，解得，， 抛物线与轴的交点坐标为 ， 抛物线开口向上， 当时，的取值范围为或 .………… （8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 21.[2026湖南益阳月考]（10分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件的进货 价为50元.规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量 （件）与售 价 （元/件）满足一次函数关系.部分数据如表： 售价 （元/件） 60 65 70 销售量 （件） 1 400 1 300 1 200 （1）求出关于的函数表达式.（不需要写自变量 的取值范围）（2分） 【解】根据题意设函数表达式为时， ， 时，，，， ， ， .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 （2）［中］若该衬衫每件的利润不允许高于进货价的 ，这种衬衫每月的总利 润为 （元），那么售价定为多少可获得最大利润？最大利润是多少？（5分） 【解】由题意得，衬衫的最高售价为 （元/件），最低售价为 50元/件， ， 时，有最大值，为 ，即当售价定为75元/件时可获得最大利润， 最大利润是27 500元.…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 （3）［中］若该批发市场每月想从这种衬衫的销售中获利24 000元，该如何给这 种衬衫定价？（3分） 【解】令，解得或 . 答：可给这种衬衫定价为70元/件或110元/件.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 22.探究性问题 [2026山东滨州模拟]（12分）如图，已知抛物线 的对称轴为直线，与轴交于，两点，与 轴交于点 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 （1）若直线经过，两点，求直线和抛物线的表达式分 【解】由题意得解得 抛物线的表达式为 .…………（2分） 由对称轴为直线，且抛物线经过，得 . 把，代入 ， 得解得 直线的表达式为 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 （2）［中］在抛物线的对称轴直线上找一点，使 的值最小，求 点的坐标分 【解】根据轴对称的性质和两点之间线段最短，易得当点为直线 与抛物线的 对称轴直线的交点时， 的值最小.…………（5分） 把代入直线得，故，即当点的坐标为 时， 的值最小.…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 （3）［偏难］设为直线上的一个动点，求使为直角三角形的点 的坐标分 【解】设，， ， ， .…………（8分） 若为直角顶点，则，即 ，解得 ,, ；…………（9分） 若为直角顶点，则，即，解得 , ；…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 若为直角顶点，则，即 ，解得 ，,或, . 综上，点的坐标为或或，或， .………… （12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 $