卷5 第22章 图形的相似 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（华东师大版·新教材）

该初中数学单元复习课件聚焦“图形的相似”核心内容，系统梳理相似三角形的判定、性质、位似变换及实际应用，通过选择、填空、解答题的梯度设计，串联各地月考期中真题，构建从基础概念到综合应用的知识网络。 其亮点在于融入新考法与跨学科实践，如黄金分割与书法结构结合培养数学眼光，小孔成像问题渗透物理知识发展推理思维，项目式测高活动强化应用意识。分层题目设计适配不同学生，助力教师精准把握学情，提升复习效率。

数 学 九年级全一册 HS 1 2 3 卷5 第22章提优验收卷（B卷） 考查内容：图形的相似 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） 1.[2026江西宜春月考]已知，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】，, ．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 2.[2026河北唐山月考]如图，学校相对于淇淇家的位置，下列描述最准确的是 ( ) C （第2题图） A.距淇淇家1 200米处 B.南偏西 方向上 C.北偏东 方向上的1 200米处 D.南偏西 方向上的1 200米处 【解析】根据题图可知，学校在淇淇家北偏东 方向上，且与淇 淇家的距离是1 200米, 学校相对于淇淇家的位置是北偏东 方向上的1 200米 处.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 （第3题图） 3.新考法 [2026广东深圳月考]如图，菱形的较短对角线长 为10，较长对角线长为24，要拼出和小菱形相似的较长对 角线长为120的大菱形，需要小菱形的个数是( ) C A.5个 B.20个 C.25个 D.50个 【解析】 大菱形与小菱形相似， 其相似比为， 其面积比为 ， 需要小菱形的个数为25个.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 4.[2026黑龙江哈尔滨月考]如图是一架人字梯的侧面示意图，已知 ，，，，则 的长为 ( ) C A. B. C. D. 【解析】，，，， ， ，， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 5.[2026贵州铜仁期中]如图，已知 ，那么添加下列一个条件后，仍 无法判定 的是( ) D （第5题图） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 【解析】， ， .A选项，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定 ，故A不符合题意；B、C选项，由两角分别相等的两个三角形相 似可判定 ，故B、C不符合题意；D选项，两个三角形的两边对应 成比例，但夹角不一定相等，故不能判定 ，故D符合题意．故选D． 上分点拨 相似三角形的判定 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 （第6题图） 6.新考法 [2026辽宁沈阳期中]“黄金比例分割法”是启功先生研究 的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形 成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点）， 汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金 格”的边长为 ，以四个黄金分割点为顶点组成的正方形的边 长为( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 【解析】 . 如图. 点是的黄金分割点， ， 点是的黄金分割点 ， ， ， ， 以四个黄金分 割点为顶点组成的正方形的边长为 ，故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 （第7题图） 7.[2026广东广州期末]如图，是等边三角形，点， 分别在 边，上，且，与相交于点．若 ， ，则 的边长等于( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 【解析】是等边三角形，， .在 与 中， ， ，， ， ，.过点作于 ，取 中点,连结,可得 , 为等边三 角形,, ， ， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 （第8题图） 8.跨学科问题 [2026河北保定期中，中]如图，这是物理学中的小 孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点， 透过小孔 在光屏上成的像是倒立放大的实像，和 是位似 图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为 ， ，此时，像的长为，为了使像 的长度变成 的3倍，在物体和光屏 位置不变的情况下，可以将遮挡板 ( ) B A.水平向右移动 B.水平向左移动 C.水平向右移动 D.水平向左移动 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 【解析】 . 如图，过点作于点，延长交于点和 是位似图形， 位似中心为点，,，.和 是位似图 形，，，，即， ， .将遮挡板移动后，设 ，则 . 使像的长度变为的3倍， . 同理可得，即，, 此时. ， 可以将遮挡板水平向左移动 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 （第9题图） 9.[2026河南商丘梁园区月考，中]如图，在 中， ，，动点以的速度从点 出发沿方向向点运动,动点以的速度从点 出 发沿方向向点运动,两点同时开始运动，当点 运动 D A.或 B. C. D.或 到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点,,为顶点的三角形与 相 似时，运动的时间是( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 【解析】设运动时间为，则， ， .， 只存在 和 这两种情况.当时，， ，解得 ；当时，，，解得 .综上所述，当 以点,,为顶点的三角形与相似时，运动的时间是或 ,故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 （第10题图） 10.[2026天津南开区月考，难]如图，点 在线段 上，在的同侧作等腰 和等腰 ，其中 ，与 , 分别交于点,，连结 ，对于下列结论： ； ； ； ,其中 正确的有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 【解析】由题意得， ， ， ，即 ， ，故①正确.易知 ，，.， ， ，，即，即 ，故②错误. ，， , ，，故③正确. ， ,, ， ,， ， 故④正确.综上，正确的为①③④，共3个.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.[2026辽宁锦州期中]如图，四边形 四边形， ， ， ，则 的度数为______. 【解析】 四边形 四边形， ， ， ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 12.[2026天津和平区期末]在平面直角坐标系中，与 位似，位似中心 是原点．已知与是对应顶点，且，的坐标分别是， ，若 的周长为3，则 的周长为___． 9 【解析】，的坐标分别是，，与 的相似比为 ，与的周长比为的周长为3， 的周长为9. 故答案为9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （第13题图） 13.[2026江西赣州期末]如图，一座正方形城池， 为北门 中点，从点往正北方向走30米到处有一树木， 为西门 中点，从点往正西方向走750米到处正好看到 处的树木， 则正方形城池的边长为_____米． 300 【解析】设正方形城池的边长为米，则米. ， ,， ，即 ， ，即正方形城池的边长为300米.故答案为300. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 14.[2026甘肃武威期中，中]如图，在平行四边形纸片中，为对角线 上 一点，，沿剪开并将沿折叠，点的对应点刚好落在 边上，则与平行四边形 面积的比值为_ ____． （第14题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 【解析】 如图，设与的交点为.在平行四边形中，， . 由折叠得,， ， ，., ， ，,，即 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 ，．设的面积为 ，则 ，, ， ，， .又 ， ，.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15.[2026河南安阳月考，中]如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，若 ，则 的长度为___. （第15题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 【解析】 题图中12个直角三角形都相似， ， 直角三角形中较 小的锐角为 ．在中， ， ,取中点 ,连 结,, 为等边三角形, ， ， ，同理可得，，，， ， ．又，．故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 16.新考法 [2026北京海淀区月考，难]如图，点在等边三角形的边 上，连 结，线段的垂直平分线分别交边，于点，.当时， 的 值为 __ . （第16题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 【解析】 如图，连结，为等边三角形， ， 垂直平分，，.在和 中， ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 ， ，， .设 ，，则，,, . ， ，， ， ，.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.[2026江苏宿迁月考]（8分）如图, ， . （1）与是否相似？请说明理由分 【解】与 相似.…………（1分） 理由： ， .…………（2分） 又 ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （2）设，，求的长分 【解】 ，，， .………… （5分） ， ，…………（7分） ， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 18.[2026广东深圳期中]（10分）如图,在平面直角坐标系 内，三个顶点的坐标分别为,, （正方形网格中每个小正方形的边长均是1个单位长度）. （1）画出向下平移4个单位长度得到的 ， 点 的坐标是________；（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 【解】如图， 即为所求.…………（2分） 【解析】点的坐标是 . 故答案为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 （2）以点为位似中心，在网格中画出，使与 位似，且相 似比为.根据图形可得与是以某一点 为位似中心的位似图形， 则点的坐标为________，相似比的值为_ _分 【解】如图， 即为所求.…………（6分） 【解析】由图可得点的坐标为，相似比的值为 . 故答案为， .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 19.项目式学习 [2026浙江宁波月考]（10分）根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、 提出 问题 ___________________ 数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实 践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙 ，同学们提出问题如下：围墙 的高度是多少米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 利用相似三角形测高 分析 问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行如下操作：①当 阳光恰从围墙最高点经窗户点处射进房间地面 点时，测得 ；②当阳光恰从围墙最高点经窗户点处射进房间地面点 时，测得．此外，测得窗高 ，窗户距地面的高度 （点，，， 在一条直线上） 解决问题 请利用上述数据，解决下列问题： （1）求 的长．（7分） 续表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 【解】， ， . ， , , , .…………（3分） 同理可得， ， ， ，…………（5分） ， . 答:的长为 .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 （2）求出围墙 的高度（3分） 【解】由（1）知， . 答：围墙的高度为 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 20.[2026浙江杭州临平区月考]（12分）如图，在菱形中，点在边 上， 连结并延长，交的延长线于点，连结交于点，连结 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 （1）［中］求证： .（6分） 【证明】在菱形中，点在边上， 为菱形的对角线， ，， ， .…………（2分） 在与中， ，，.又 ， ，…………（5分） ， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 （2）［中］若，，求的长分 【解】由（1）得 ， .…………（7分） ，，， .…………（8分） 在菱形中, ， ，…………（9分） ，…………（10分） ，， ， .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 21.[2026安徽滁州期末]（12分）如图，中， ，，点 为 的中点，连结并延长交于点，且有，过点作于点 ． （1）求证： ；（3分） 【证明】，， ， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 （2）求证： ；（4分） 【证明】 点为的中点， ， ,.设，则 ， ，， ， ,,， ， .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 （3）［中］若，求 的长．（5分） 【解】由（2）知，， . ，， ， 即， ， .…………（9分） ，， ， ，， .由（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 知， 设，则，， ， ，…………（11分） 在中， .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 图（1） 22.综合与实践 [2025河南开封第十四中学三模]（14分）综合与实践 在学习“探索三角形相似的条件”的过程中，我们积累了一定的研究经 验．请运用已有经验，对“自相似点”进行研究． 定义：点是内部或边上的点（顶点除外），在， ， 中，如果至少有一个三角形与相似，那么称点是 的 “自相似点”．例：如图（1），点在内部， ， ，则，故点为 的“自相似点”． 图（2） 图（3） 图（4） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 49 【推理判断】 （1）［中］如图（2），在中，， ，点是 上一点且 在的垂直平分线上，判断点是否为 的“自相似点”，并说明理由．（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 50 【解】点是 的“自相似点”.…………（1分） 理由如下：， ， . 点在的垂直平分线上， ， ， .…………（3分） 又， ， 点是 的“自相似点”.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 51 【初步运用】 （2）［中］如图（3），若为钝角三角形，点是 的“自相似点”，且 点在上，．求证： ．（4分） 【证明】为钝角三角形，点是的“自相似点”，且点在 上， ， ，…………（5分） ， ，…………（7分） .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 52 【拓展应用】 （3）［难］如图（4），为锐角三角形，若点是 的“自相似点”，且 相似三角形中，点与点对应，点在的平分线上．若， ， 求 的长．（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 53 【解】 点是的“自相似点”，点与点是对应点， 当 时，,，.平分 ， ， . ， ， ， ， ， , ， , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 54 ， .…………（11分） 当时，，， .同理可得 ，， . 综上所述，的长为或 .…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 $