卷4 第22章 图形的相似 基础诊断卷（A卷）上分专题（二） 相似三角形的常考模型-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（华东师大版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了相似三角形的A字型、8字型、子母型、一线三等角型及“手拉手”旋转模型五大常考类型，通过“母题学方法-题目解析-上分总结”的结构，将每种模型的判定方法、边角对应关系及易错点串联，帮助学生构建完整的相似三角形模型知识网络。 其亮点在于以模型为载体培养数学核心素养，如通过A字型母题分析公共角与比例关系培养推理能力，子题结合“出入相补”法解决面积问题发展应用意识。分层设计基础题与变式题，让学生从理解模型到灵活应用，教师可直接利用超链接跳转和编辑功能高效开展复习，提升教学针对性与学生知识巩固效果。

数 学 九年级全一册 HS 1 2 3 上分专题（二） 相似三角形的常考模型 重难点分 攻克难点 4 类型1 A字型 类型2 8字型 类型3 子母型 类型4 一线三等角型 类型5 “手拉手”旋转模型 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 A字型 母题学方法 上分攻略 此类题目的图形中的两个三角形有一个公共角，只要再找一对相等的角或夹这个 公共角的两边成比例，就可证明这两个三角形相似. （第1题图） 1.[2025浙江绍兴校级月考]如图，在中，点， 分别在边 ，上，下列条件中不能判定和 相似的是( ) C A. B. C. D. 【解析】A选项，由，可判定 ，故A选项不符 合题意；B选项，由，可判定 ，故B选项不符 合题意；C选项，由，不能判定与 相似，故C选项符 合题意；D选项，由，可判定 ，故D选项不符合题 意．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 上分总结 A字型 A字型分两种：①正A字型，②斜A字型.注意两种A字型的边角对应关系不同. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 子题练变式 （第2题图） 2.[2026山东德州月考]中国古代数学家刘徽在《九章算术注》 中，用“出入相补”法证明了三角形面积公式．如图，在 中，点，分别是，的中点，作于点 ， 沿虚线分割再重新拼接（无重叠、无缝隙）成四边形 ．若，，则四边形 的面积为____． 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 【解析】， 点，分别是 ， 的中点，是的中位线，， ， ，， ， ，故答案为18． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 类型2 8字型 母题学方法 上分攻略 此类题目的图形中的两个三角形有一个公共顶点，且有一组对顶角相等，只要再 证另一组对应角相等或夹互为对顶角的两边成比例，就可证明这两个三角形相似. （第3题图） 3.[2026黑龙江佳木斯期中]如图，矩形中， ， ，点在对角线上，且，连结 并延长， 交的延长线于点，连结，则 的长为( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 【解析】 四边形为矩形， , ， ， ， ， 四边形 为矩 形，,，，即 ， ，.在中， , ，， ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 上分总结 8字型 8字型有两种：①正8字型，②斜8字型（蝴蝶型）.注意两种8字型的边角对应关系不同. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 4.[2026北京东城区月考]如图，与交于点，且 . （1）求证： . 【证明】，， . （2）若，，，求 的长. 【解】，.，，， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 类型3 子母型 母题学方法 上分攻略 如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即 . 5.[2026陕西西安月考]如图,在中， ， ，，过点作于点，以 为顶点作一个直 角，其两边分别与边，交于点，，点不与点 重合，则 __． 【解析】， ， ，， ， .， .又 ，，.故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 上分警示 子母型 子母型相似可看成由斜A字型相似变化而来，子母型相似的对应关系比较容易写错， 为了避免出错可采用两种书写习惯：①仿照A字型写法，从公共点写起；②按角的 大小排序来写. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 类型4 一线三等角型 母题学方法 上分攻略 此类题目的图形中一条直线上有三个相等的角，找出两个三角形中的两组角对应 相等就可以证明两个三角形相似. 6.[2025江苏扬州期中]如图，，，点是线段 上的一点，且 ．已知，，，则线段 的长为___． 3 【解析】，，， ， ， ， ， ，，， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 上分总结 一线三等角型 通常通过等量关系找到对应角，进而得到相似三角形.注意不要找错相对应的角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 子题练变式 7.[2025安徽蚌埠期中]如图（1），为等边三角形，，点为 边 上的动点（点不与点，重合），点在边上，且 ． 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 22 （1）求证： ； 【证明】为等边三角形， ， ， ， ， . （2）［中］如图（2），当运动到的中点时，求线段 的长． 【解】同（1）可得， . 为等边三角形， . 点为的中点，，， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 23 类型5 “手拉手”旋转模型 母题学方法 上分攻略 此类题目中的两个三角形共顶点，两组边对应成比例且夹角相等. 8.[2026广西南宁月考]如图，， ， ， ，点在线段上运动，为线段的中点，在点的运动过程中， 的 最小值是___． 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 24 【解析】，， ， ，， . ，， ， ， ， ， ， ，，， 的值最小 时，的值最小，此时的值最小.根据垂线段最短可知，当时， 的 值最小，此时根据三角形面积公式可得 ， ，的最小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 25 子题练变式 9.如图（1），在钝角三角形中， ，，点为边 的中点， 点为边的中点.将绕点按逆时针方向旋转 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 26 （1）［中］如图（2），连结，.求证： . 【证明】如题图（1）， 点为边的中点，点为边 的中点， ，.如题图（2），根据旋转的性质，可知 依然成立，且 ,， . （2）［难］如图（3），与相交于点，直线，交于点 .在旋转过程中， 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个角的度数. 【解】的大小不发生变化.由（1）易得 ， ， ，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 27 $