卷4 第22章 图形的相似 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（华东师大版·新教材）

该初中数学单元复习课件聚焦“图形的相似”核心知识，系统梳理相似图形定义、比例线段、位似图形、相似三角形判定与性质及应用，通过诊断卷从基础选择到综合解答的题目设计，串联各知识点逻辑脉络，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于融入生活实例（如黄金分割叶片）和跨学科问题（凸透镜成像），培养学生用数学眼光观察现实世界，通过分步解析（如相似三角形判定推理）发展数学思维，分层题目设计（基础题到拓展题）满足个性化复习需求，有效巩固知识，助力教师精准把握学情提升复习效率。

数 学 九年级全一册 HS 1 2 3 卷4 第22章基础诊断卷（A卷） 考查内容：图形的相似 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） 1.[2026辽宁大连期中]下面各组图形中，不是相似图形的是( ) C A. B. C. D. 【解析】由相似图形的定义可知,A,B,D选项中的两个图形是相似图形,C选项中的 两个图形不是相似图形，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 2.[2026湖南永州期末]若线段，，，是成比例线段，且 ， ，，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】，，，线段，，， 是成比例线段， ， ．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 3.[2026上海徐汇区期中]如图，在的正方形网格中，点, 均为小正方形的顶点,连结，如果线段 与网格线的其中两个 交点为，，那么 等于( ) B A. B. C. D. 【解析】如图,取格点,,.由题意得 ， .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 （第4题图） 4.[2026贵州毕节期末]如图，与是以点 为位似中心 的位似图形，已知，则与 的面积比为 ( ) B A. B. C. D. 【解析】与是以点为位似中心的位似图形， ， ，，，与的相似比为 , 与的面积比为． 故选B． 上分点拨 相似三角形的性质 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 （第5题图） 5.新考法 [2026广东广州期中]如图为五子棋棋 盘的一部分，若在该部分取一点为原点建立平面 直角坐标系，则白棋 所代表的点的坐标为 ，白棋所代表的点的坐标为 .要使 该平面直角坐标系内所有棋子所代表的点关于原 点对称，则还需要一个棋子下在( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 【解析】由题意，建立平面直角坐标系如图所示. 由图可知,需要添加的棋子的位置为点，即点 ,故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 （第6题图） 6.[2026四川遂宁期末]生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本 身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图， 点是的黄金分割点，如果的长为，那么 的 长为( ) C A. B. C. D. 【解析】 点是的黄金分割点，.又 ， ．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 （第7题图） 7.[2026甘肃定西期中]如图， ，添加下列一个条件后，不 能判定和 相似的是( ) D A. B. C. D. 【解析】， 当添加时， ， 故A选项不符合题意；当添加时， ， ，故B选项不符合题意；当添加 时， ，故C选项不符合题意；当添加时，不能判定 和 相似，故D选项符合题意．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 （第8题图） 8.跨学科问题 [2026四川师范大学附属中学期中，中] 如图是物体在焦距为（即 ） 的凸透镜下成倒立放大实像的光路示意图．从点 发出 的平行于的光束折射后经过右焦点 ，而经过光心点 的光束不改变方向，最后点发出的光汇聚于点 ，点 D A. B. C. D. 发出的光汇聚于点，从而得到最清晰的实像．若物距，则像距 为( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 【解析】由题意可得，，经过点，经过点 ， ，，，. ， .设，则， ，解得 ，经检验，是分式方程的解，且符合题意， ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 （第9题图） 9.[2026广东深圳月考，中]如图，已知， ， 上有一点，满足 ，，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】如图，作交的延长线于，作交 的延长 线于，，. , , .设,则 , ,.在 中， , ,即 ，, .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 （第10题图） 10.[2025湖北恩施州模拟，难]将一张以 为边的矩形纸片，先 沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直 线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的 是如图所示的四边形纸片，其中 ， ， A A. B. C.10 D. ，， ，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 【解析】①作如图（1）所示的矩形，设 ， ， ，， ， ，即，， ，故B、D选项不 符合题意.②作如图（2）所示的矩形，设 ， ， ，， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 ，即，， ,故C选项不符 合题意.③作如图（3）所示的矩形，， .故选A. 图（1） 图（2） 图（3） 上分警示 理解题意 题目的提问方式已经暗示有多种“可能的斜边长”，因此需要分类讨论.“剪掉的两个 直角三角形相似”是破题点，意味着需要补全图形且补全方式不止一种，而两个直 角三角形如何相似就是分类讨论的出发点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.[2026四川成都期末]如果，那么 __． 【解析】， 设，，则 .故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 （第12题图） 12.[2026黑龙江哈尔滨期中]如图，铁道口的栏杆短臂长1米， 长臂长16米，若短臂端点下降0.3米，则长臂端点升 高____米． 4.8 【解析】如图，取栏杆端点，,,,过点作 于,过点作于，则 .由 题意知，米，米， 米， ,,,, 米,故答案为4.8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 （第13题图） 13.[2026广西百色期末]如图，在平面直角坐标系中，正方形 与正方形是以点 为位似中心的位似图形，且相似比 为，两个正方形在原点同侧，点，，在 轴上，其余顶点 在第一象限，若正方形的边长为2，则点 的坐标为______． 【解析】 正方形与正方形是以点 为位似中心的位似图形，且相似 比为，,,. 正方形 的边长为2， ，，，，， 点 的坐标为 ，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 （第14题图） 14.[2026辽宁鞍山月考，中]如图，是 的角平分线， ， ，则 的长为_________． 【解析】， ， 是 的角平分 线， .又 ，， ， ，，， ， ，即，，，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 15.新考法 [2026辽宁大连期中，中]如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡 （看作一个点），它发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形区域，经测量， 地面上圆形区域的半径比桌面半径大0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高 度为1.5米，则灯泡到桌面的距离为___米． 3 （第15题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 【解析】 构造几何模型如图.依题意知米，（米）， 米. ,,，即，， 灯泡到桌面 的距离为3米.故答案为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 16.新考法 [2026福建厦门双十中学月考，偏难]如图，为矩形 的中心， 中， ，且边,分别与边，相交于， .若 ，，在绕点旋转的过程中，，，则与 的关系式是_ _______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 【解析】 如图，过点作于点，于点 ，易得 ， ， .又 ， ， ,,即.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.[2026广东广州月考]（8分）如图， ，且 ，求证： ． 【证明】 ， .…………（3分） ， ， 即 ，…………（6分） .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 18.[2026陕西宝鸡期末]（10分）如图，在平面直角坐标 系中，的三个顶点的坐标分别为， ， ． （1）以原点为位似中心，将 放大为原来的3倍， 画出放大后的 ．（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 【解】如图所示， 即为所求.…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 （2）以直线为对称轴，画出（1）中关于直线对称的 ．（4分） 【解】如图所示， 即为所求.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 19.[2026山西太原月考]（10分）如图， 为等边三角形，点 ，分别在边，上，且 . （1）求 的度数.（6分） 【解】 为等边三角形， .…………（2分） ， .…………（4分） ， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （2）若，，求线段 的长．（4分） 【解】 ， ，…………（8分） , .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 20.[2026陕西西安校级期中，中]（12分）小明在学习完 “相似三角形的应用”后，他跟同学来到操场计划用标杆、 平面镜和皮尺测量操场上旗杆的高度，因为学校给操场 上安装了“智慧体育”相关设施，使得他们无法到达旗杆 的底部，于是他们在操场外的空地上的处竖立了长为3米的标杆米 ，此 时小明站在距离处3.6米的点处恰好能通过标杆顶端看到旗杆的顶部 点，随后 小明站到处恰好通过处放置的平面镜看到旗杆的顶部 点，经过测量得知 米，已知小明的眼睛距离地面1.8米（即米），同时 ， ，，四点在同一直线上，如图所示，请求出旗杆 的高度． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 【解】连结并延长交于点 ，如图.…………（1分） ，，，且 ， 四边形为矩形， ， 四边形与四边形 都为矩形，…………（2分） ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 设，，则 ， . …………（3分） , , ， ， 即， .…………（6分） 由题易知 ， ， ,即 ， .…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 联立得解得 .…………（11分） 答：旗杆 的高度为12.6米.…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21.[2026安徽宣城期末]（12分）如图，在平行四边形 中，点在边上，交于点， ． （1）求证： .（4分） 【证明】 四边形是平行四边形， ， ，， ， ，，， ，即 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 （2）如果 ． ①［中］求 的长；（4分） 【解】， ， . ，， . ， ， ，即 .…………（6分） ， ， ，， ， ， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 ②［中］若，求 的长．（4分） 【解】，. ， .，.，， ， .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 22.综合与实践 [2026吉林松原期末]（14分）综合与实践：纸张中藏着丰富的数 学奥秘．某数学学习小组围绕“神奇的 纸”开展主题学习． 【阅读资料】 纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性． 纸是我们常见的矩形打印纸， 将纸沿它的一条对称轴折叠（如图（1）），展开后，折痕 两侧的两个 小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形 矩形；将纸类似地对折，得到与之相似的纸 纸的大小设计能在 纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感． 图（1） 图（2） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 【初探结论】 （1）如图（1），设，求纸的长与宽 的比值.（4分） 【解】设.由折叠可得 矩形 矩形 ， ，…………（1分） ， .…………（2分） ， ，…………（3分） .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 【作图再探】 （2）［中］如图（2），在（1）的条件下，连结，过点作交 于点 ．求证：为边 的中点.（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 【证明】 四边形 是矩形， ， . ， ， ， ， ，…………（7分） ，， . ，，即点为边 的中点.…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 【拓展应用】 （3）［难］如图（3），在（1）的条件下，再次折叠纸片，使点落在 上的点 处，折痕为，连结．试探究线段与 的关系．（5分） 【解】如图，连结交于点 . 由折叠可知， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 设.在中，， ， 解得， . ， ， ， . ， ， ， . ,， ， . 综上，线段与的关系为， .…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 $