卷3 第21章 一元二次方程 综合检测卷-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（华东师大版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的概念、解法、根的判别式、根与系数关系及实际应用，通过“上分技巧”总结根的情况判断、平均变化率公式等核心方法，结合错题分析（如甲同学漏解问题）构建知识网络，体现知识点内在逻辑。 其亮点在于融入实际情境与传统文化，如冬奥会销量问题培养数学眼光，赵爽几何解法渗透几何直观，分层设计基础题到探究题（如换元法解四次方程）发展推理能力。这种设计帮助学生巩固知识，教师可精准教学，提升复习效率。

数 学 九年级全一册 HS 1 2 3 卷3 第21章综合检测卷 考查内容：一元二次方程 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） 1.[2026天津南开区月考]若一元二次方程 化成一般形式后二次项的系 数是2，则一次项的系数是( ) B A.3 B. C.5 D. 【解析】，， 一次项系数是 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 2.[2026山西大同一中月考]一元二次方程 可转化为两个一元一次方 程，其中一个是 ，则另一个是( ) D A. B. C. D. 【解析】两边直接开平方可得或 ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 3.[2026江苏南京期中]关于一元二次方程 根的情况，下列说法正 确的是( ) C A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法确定 【解析】方程化为， 方程 有两个相等的实数根.故选C. 上分技巧 一元二次方程根的情况 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 4.[2026河北石家庄月考]某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程 ，解答过程如下： 甲 乙 两边同时除以 ，得 移项，得， ， 或，解得， 下列判断正确的是( ) C A.甲正确 B.甲和乙都正确 C.乙正确 D.甲和乙都不正确 【解析】有可能为0，而0不能作除数， 甲的解答过程错误，方程两边不 能同时除以 ，这样会漏解；乙利用因式分解法解一元二次方程，移项，得 ,,或 ，解得 ，， 乙的解答过程正确.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 5.[2026河南许昌月考]一元二次方程的两根为，，则 的 值为( ) A A.3 B. C. D. 【解析】 一元二次方程的两根为，， , , .故选A. 上分技巧 根与系数关系的应用 求与一元二次方程两根相关的代数式的值时，一般要将代数式转化为“两根和”或 “两根积”的形式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 6.[2026山东威海环翠区月考]若关于 的一元二次方程的根为 ，则该一元二次方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】，，， ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 7. 2026年米兰-科尔蒂纳冬奥会吉祥物“蒂娜”和“米罗”深受大家欢迎.某电 商平台售卖由这两种吉祥物玩偶组成的套装,1月份月销量为2 000个，随着冬奥会 的开幕，吉祥物套装供不应求，3月份月销量达到3 380个，设1至3月份月销量的 月平均增长率为 ，则可列方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】由题意可得 ，故选A. 上分总结 与平均变化率有关的等量关系 若设变化前的量为 ，经过两次变化后的量为，平均变化率为 ，则等量关系为 （当平均变化率为增长率时选“ ”，为下降率时选“-”）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 8.传统文化 [2026福建漳州月考，中]我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方 图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程 ，即 为例说明，如图,大正方形的面积是 ,同时它又等于四个矩 形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此 ， 所以 .在下面四个选项中（每个小正方形的边长为1），能正确说明方程 的解法的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 【解析】方程，即 .如图，中间小正方形的边长为 ， 其面积为9， 大正方形的面积为 ， 其边长为7， ，因此，C选 项中的图形符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 9.新定义 [2026浙江金华月考，中]新定义：关于 的一元二次方程 与称为“同族二次方程”,如 与是“同族二次方程”．现有关于 的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，那么代数式 能取得的最小值是( ) D A.2 021 B.2 022 C.2 023 D.2 024 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 【解析】 关于的一元二次方程 与 是“同族二次方程”， ， ， 解得，， 当 时， 能取得最小值，是 ，故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 10.规律探究 [2026北京人大附中月考，难]如图是由同样大小的圆按一定规律排 列组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形 中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆, ,按此规律排列下去，现已知第 个图形中圆的个数是134，则 ( ) B A.10 B.11 C.12 D.13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 【解析】 第1个图形中一共有 （个）圆，第2个图形中一共有 （个）圆，第3个图形中一共有 （个）圆， 第4个图形中一共有（个）圆， 第 个图形中圆的个数是 ,，解得（舍去）， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.[2026安徽黄山月考]已知是一元二次方程，则 ____. 【解析】是一元二次方程， 且 ，解得.故答案为 . 上分警示 一元二次方程的系数 注意一元二次方程的二次项系数不能为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 12.[2026吉林长春月考]如果一元二次方程 配方后得到 ，那么 _____. 【解析】根据题意，得可变形为， .故答 案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 13.[2026河北唐山期中]已知关于的一元二次方程 ．若等腰三角形 的一边长为3，它的其他两边长恰好为这个方程的两个根，则 的值为________． 15或16 【解析】根据题意得，解得 .当3是腰长时，3是方程的一 个根，把代入方程得，解得 ，此时方程为 ，解得，，即方程的另一根为， 等 腰三角形存在，即 满足题意.当3是底边长时，两腰的长都是方程的根，则 方程有两个相等的实数根，即，解得 ，此时方程为 ，解得， 等腰三角形存在，即 满足题意.综上所述， 或16．故答案为15或16． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 上分技巧 一元二次方程与等腰三角形 已知等腰三角形的一边长为，其他两边长是一元二次方程的两个根，则 可以是 腰长，也可以是底边长.若为腰长，则说明一元二次方程的一个根为；若 为底 边长，则说明一元二次方程有两个相等的根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 14.[2026内蒙古包头月考]若，是一元二次方程 的两个实数根， 则 的值是____． 【解析】，是一元二次方程 的两个实数根， ，，，， ， ，，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 15.[2026山西朔州月考，中]如图，这是2025年4 月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式 圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大 的数的乘积为153，则这个最小数为___. 9 【解析】设最小数为，则最大数为 .根据 题意，得 ，整理，得 ，解得 （不符合题 意，舍去）， ，所以这个最小数为9.故答 案为9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 16.[2026广东惠州惠城区月考，难]如图所示， 中， ，，，点从点开始沿向 点 以的速度移动，点从点开始沿向点以 的速度 移动.,分别从,同时出发，设点，的移动时间为，则 ______时，线段将的面积分成 的两部分. 2或4 【解析】根据题意，知，. 线段 将 的面积分成的两部分，或 ， 或 ，整理得 或（无实数根），解得，，即线段 将的面积分成的两部分时，移动时间为或 .故答案为2或4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.[2026山东泰安月考]（8分）解方程： （1） .（4分） 【解】原方程可化为 ， ，…………（1分） ，…………（2分） 即 ，…………（3分） ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 （2） .（4分） 【解】原方程整理得 ，…………（5分） ，…………（6分） ，…………（7分） ， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 18.[2026北京西城区月考]（10分）已知关于 的方程 ， 为常数. （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围分 【解】 方程有两个不相等的实数根， ，…………（4分） 解得 ， 的取值范围是 .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 （2）小明认为该方程的根不会为0，他的观点正确吗？请说明理由分 【解】小明的观点正确.…………（6分） 理由如下： 当时， .…………（8分） ， 方程没有实数根， 关于 的方程 的根不会为0.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 19.[2026广东深圳中学月考]（10分）某水果店以640元的成本收购了某种水果 ，目前可以按12元/的价格售出，如果储藏起来，每个星期会损失 ，且 每个星期需支付各种费用16元，但同时每个星期售出的价格会上涨2元/ . （1）设水果店储藏了个星期后出售，则售出的价格为__________元/分 【解析】根据每个星期售出的价格会上涨2元/，可得水果店储藏了 个星期后出 售，售出的价格为元/，故答案为 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 （2）水果店为了获取1 156元的利润，且为了减少浪费，应储藏几个星期后全部 出售？（7分） 【解】设储藏 个星期后全部出售.由题意可得 ，…………（7分） 解得， .…………（8分） 为了减少浪费， .…………（9分） 答：应储藏11个星期后全部出售.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 20.[2026江西南昌期末]（12分）先阅读下列材料，然后解决后面的问题． 材料：因为二次三项式 ，所以方程 可以这样解： ， 或，， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 问题： （1）用材料中的方法解方程时，得到的两根均为整数，则 的值 是_________________；（4分） ，，2，14 【解析】由题意得，当 时， ， ； 当时，同理得 ; 当时，同理得 ； 当时，同理得 . 故的值是， ，2，14. 故答案为， ，2，14.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （2）［中］已知实数满足，求代数式 的值分 【解】由题意，设 ， 则原方程可化为 ， ,或 .…………（6分） 当时，，即，， 原方程 没有实数根，故 不合题意，舍去；…………（8分） 当时，，即，，故 符合 题意， ，…………（10分） .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 21.综合与实践 [2026福建福州仓山区月考]（12分）综合与实践：九年级课外小 组计划用两块长为，宽为 的长方形硬纸板做收纳盒. 【任务要求】 任务一：如图（1），设计无盖长方体收纳盒.在长方形硬纸板的四角剪去四个相同 的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒. 任务二：如图（2），设计有盖长方体收纳盒.在另一块长方形硬纸板的四角剪去四 个相同的小长方形，然后沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，和 两边恰 好重合且无重叠部分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 【问题解决】 图（1） 图（2） （1）［中］若任务一中设计的收纳盒的底面积为 ，求剪去的小正方形 的边长分 【解】设剪去的小正方形的边长为 . 由题意得 ，…………（4分） 解得， （不符合题意，舍去）. 答：剪去的小正方形的边长为 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 （2）［中］若任务二中设计的收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高 分 【解】设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为 ，宽为 ， ，…………（10分） 解得， （不符合题意，舍去）. 答：该收纳盒的高为 .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 22.探究性问题 [2026江苏苏州中学月考]（14分）我们已经学习了一元二次方程 的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解.按照同样 的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解. ①换元法求解四次方程： . 设，则原方程可变为，解得， . 当时，即， ； 当时，即， . 原方程有四个根：，，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 ②因式分解法求解三次方程： . 将其变形为 ， ， ， ， ， 或 ， 原方程有三个根：，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 （1）仿照以上方法解方程： ①［中］ ；（6分） 【解】设，则原方程可变为，解得 ， . …………（4分） 当时，即 ，此时无实数解； 当时，即，， . 原方程有两个根：， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 ②［中］ .（6分） 【解】将原方程变形为， ， ， ， ，…………（10分） 或， 原方程有三个根：， ， .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 （2）［难］已知，且，则的值为_______分 【解析】，，，，.故答案为 .…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 $