卷10 九上第五章 二次函数 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件系统梳理了二次函数的概念、图像性质、与一元二次方程的关系及实际应用，通过知识点总结和解题技巧模块，将判别式与交点问题、抛物线对称性等核心内容串联，帮助学生构建完整的二次函数知识网络。 其亮点在于融合数学建模与推理意识，设计分层练习与实际情境题，如通过茶叶销售利润问题培养应用意识，用喷泉设计题发展几何直观，不同难度题目满足个性化复习需求，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习支持。

数 学 九年级全一册 BS 1 2 3 卷10 九上第五章提优验收卷（B卷） 考查内容：二次函数 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） 1.[2026安徽六安月考]若函数是关于 的二 次函数，则 的值为( ) B A.或3 B.3 C.1或 D.1 【解析】由题意得解得 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 2.[2026上海校级月考]下列二次函数中，如果函数图象的顶点在 轴上，那么这个 函数是( ) D A. B. C. D. 【解析】 选项 顶点坐标 判断 结论 A 不在 轴上 不符合题意 B 不在 轴上 不符合题意 C 在 轴上 不符合题意 D 在 轴上 符合题意 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 3.[2026河南信阳月考]已知，是抛物线 上两点， 则与 的大小关系是( ) C A. B. C. D.无法确定 【解析】对于,, 抛物线对称轴为直线 ， ，故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 4.[2026辽宁大连期末]如图，以 为顶点的二次函数 的图象与轴负半轴交于点，则关于 的一元二 次方程 的正数解的取值范围是( ) A A. B. C. D. 【解析】 二次函数图象的顶点坐标为 ， 对称轴为直线.由图象可知，点的横坐标的取值范围为 ， 抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为， 关于 的一元二 次方程的正数解的取值范围是 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 5.[2026湖北襄阳月考]将二次函数 的图象向右平移4个单位长度， 在平移的过程中图象与轴的交点记为点，则在平移过程中点 的位置( ) D A.持续向上 B.持续向右 C.先向上再向下 D.先向下再向上 【解析】在二次函数中，令，则，则此时图象与 轴的 交点为.设此图象向右平移个单位长度 ，则新图象对应的函数 表达式为，令，得， 当时， 有最 小值，即点的纵坐标有最小值. 二次函数 的图象向右平移4个单 位长度， 点的纵坐标先减小后增大， 点 的位置先向下再向上，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 6.[2026贵州贵阳月考]已知二次函数的图象与轴没有交点，则 的取值范围为( ) C A. B.且 C. D.且 【解析】 二次函数的图象与轴无交点， ，且对于方程 ,有，，故 的取值 范围是 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 上分总结 二次函数图象与 轴的交点问题 二次函数图象与 轴的交点问题可以看成二元一次方程 的解的情况问题，因此利用二元一次方程根的判别式 即可判断 二次函数图象与 轴的交点情况： 二次函数图象与 轴有两个交点； 二次函数图象与 轴有一个交点； 二次函数图象与 轴没有交点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 7.[2026安徽六安期末]已知关于的二次函数的图象的顶点在 轴 的正半轴上，则一次函数和 的图象可能是( ) D A. B. C. D. 【解析】 二次函数的图象的顶点在 轴的正半轴上， ，,，,，异号,， ， 同号，，，或，， ，观察各选项可知，只有D 选项中的图象符合题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 （第8题图） 8.[2026江西抚州月考，中]若从地面竖直向上抛一小球，小 球的高度单位：与小球运动的时间单位： 之间的函 数关系如图所示，有以下结论：①小球在空中经过的路程是 ；关于的函数表达式为 ；③小 球运动的时间为；④当小球的高度时，． 以上结论中正确的有( ) A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 【解析】①由图象知小球在空中达到的最大高度是， 小球在空中经过的路 程是，故①错误；②设关于的函数表达式为，把 代入得，解得，关于 的函数表达式为 ，故②错误；③令，则 ，解得 或6， 小球的运动时间为，故③正确；④把 代入表达式得， ，解得或， 小球的高度 时， 或 ，故④错误.综上，结论正确的只有1个，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 （第9题图） 9.[2026广东广州月考，中]如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于，两点在的左侧，与 轴交于 点，点是线段上方抛物线上一点（不与点,重合），过点 作轴，且与延长线相交于点，连接交于点 ，则 的最大值为( ) A A. B. C. D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 【解析】对于，当时，，解得 ， ，，，；当时，，.设直线 的表达式为，将,代入得解得 直线 的表达式为.设轴， 易得 ， 轴， ，， 当时， 有最 大值，最大值为 ，故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 10.[2025河北模拟，难]已知抛物线与轴交于，两点 在的左侧，抛物线与轴交于，两点 在的左侧，且 ．下列结论中错误的是( ) C A.与交点为 B. C. D.，两点关于 对称 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 【解析】令， ， ，当时，，与交点为，故选项A正确.当 时，，解得 ， ，同理可得 . ，，即 ， ，， ， 故选项B正确. 抛物线与轴交于，两点在的左侧 ， 抛物线与轴交于，两点在的左侧 ， ，，解得或， 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 ，， 当时，；当时， ， ，故选项C错误. 抛物线 与抛物线 的开口方向和大小相同，且， 两抛物线关于直线 对称，，两点关于 对称，故选项D正确.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.[2026重庆校级月考]对于二次函数，已知当 由1增加到2时，函 数值减少6，则常数 的值是____． 【解析】当时，；当 时， ，所以，解得 ．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 12.开放性问题 写出一个与二次函数 图象的对称轴相同但开口方向 不同的二次函数_______________________. （答案不唯一） 【解析】二次函数图象开口向下，对称轴是 轴，与其图象的对称轴 相同但开口方向不同的二次函数可以是.故答案为 （答案不唯 一）． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 13.[2026江苏泰州期末]如图，抛物线与 轴交于点，，与轴交于点，过作 轴，与抛物线交于 点．若，，则线段 的长是___． 3 【解析】，.由题得点的横坐标为0.设点， 的 横坐标分别为，轴，， ， 即.由二次函数图象的对称性可得对称轴为直线 ， ，， . 故答案为3． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 上分技巧 利用抛物线的对称性解题 抛物线上函数值相同的两个点，关于该抛物线的对称轴对称，即点与点 关于对 称轴对称，点与点 关于对称轴对称，由此建立方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 （第14题图） 14.数形结合 [2026广东深圳月考，中]如图（1），在 中， ，为上一点， ，动 点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿 的方向匀速运动，到达点时停止，以 为边作正方形 ．设点的运动时间为，正方形的面积为 ， 在点由点运动到点的过程中，是关于 的二次函数， 图象如图（2）所示，则由图象可知线段 的长为_____． 【解析】由图象可得，当点运动到点处时， ， ，．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 15.[2026四川泸州月考，中]已知二次函数的图象经过点 ， 当时，的最小值为，则 的值为___. 2 【解析】 二次函数的图象经过点， ， 即，抛物线对称轴为直线 .分情况讨论： ①当，即时，在范围内，随的增大而增大， 当 时， 有最小值0，不符合题意，舍去. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 ②当，即时，在范围内，有最小值 ，此时 ，整理可得，解得 或 ， . ③当，即时，在范围内，随的增大而减小， 当 时，有最小值，令，解得 ，不符合题意，舍去.故 答案为2． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 （第16题图） 16.[2026湖北十堰期中，难]如图，在平面直角坐标系中，抛物线 上的点的坐标为，连接,过点作 轴交抛物 线于点，过点作交抛物线于点，过点 作 轴交抛物线于点，过点作 交抛物线于点 ， ，以此规律进行下去，则点 的坐标为_______，点 的坐标为______________．（每空2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 【解析】设直线的函数表达式为 点坐标为， ， ，轴， 易得， 设直线 的表 达式为，将代入得，，联立得 解得 或， 易得，同理可得， ， ， ，， ， 故答案为， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.[2026四川泸州期末]（8分）如图，二次函数 的 图象与轴交于， 两点． （1）求二次函数表达式；（3分） 【解】把，代入，得 解得 …………（2分） 二次函数表达式为 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 （2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点 的坐标．（5分） 【解】设点的坐标为的面积为6， ， ， …………（4分） ， 或 ， 或 ， 或 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 18.[2026江苏南通期中]（10分）已知二次函数是常数 ． （1）当 时，求二次函数图象的对称轴．（2分） 【解】当时，二次函数为 ， 二次函数图象的对称轴是直线 .…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （2）若点， 都在二次函数的图象上． ①求证： ．（4分） 【证明】对于 ,二次函数图象的对称轴为直线 . 点， 都在二次函数的图象上， , , .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 ②求 的最大值．（4分） 【解】由题意可得， ，（8分） 当时， 有最大值，为4.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 19.[2026河北邢台期中]（10分）如图，已知抛物线 经过点，交轴于点 ． （1）求 的值和抛物线的顶点坐标；（4分） 【解】把点代入 ， 得，解得 ，…………（2分） ， 该抛物线的顶点坐标为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （2）连接并延长至点，使．若将抛物线平移后恰好经过， 两点，求平移的最短路程．（6分） 【解】对于 ， 令，则， ， ， 轴. ， ， ， .…………（5分） 设平移后抛物线的表达式为 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 将点，点 代入， 得解得 平移后的抛物线表达式为 ， …………（7分） 平移后抛物线的顶点坐标为 ， …………（8分） 平移的最短路程为 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20.新情境 [2026安徽六安月考]（12分）黄山毛峰是中国十大名茶之一，属绿茶 类，产于安徽省黄山（徽州）一带，所以又称徽茶．某茶叶公司经销黄山毛峰茶 叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元，经调查发 现，其日销售量（千克）与售价 （元/千克）之间的函数关系如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 （1）设该茶叶的日销售利润为元，分别求出与，与 之间的函数表达式.（4分） 【解】设，将， 代入，得 … ………（1分） 解得 .…………（2分） 每千克成本为60元， . …………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 （2）若该茶叶的日销售量不低于80千克，当售价定为多少时，日销售利润最大？ 最大是多少元？（4分） 【解】 该茶叶的日销售量不低于80千克， ， ． 每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，， ， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 ， 易知当时，随 的增大而增大. ， 当时， 有最大值，最大值为1 600. …………（7分） 答：当售价定为80元/千克时，日销售利润最大，最大为1 600元.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 （3）［中］若茶叶公司想获得不低于1 000元的日销售利润，求售价 的取值范 围．（4分） 【解】令 ， 解得, .…………（10分） ， ， 易知当时， .…………（11分） 售价不高于100元/千克， .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 21.综合与实践 [2026广东广州月考]（12分）背景材料：某社区准备改造原半径为 的水池中的喷泉设施（如图（1）），综合实践小组开展了优化设计方案的活动． 图（1） 图（2） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 【建模分析】 如图（2），该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线（后同），测量出如下数据： 喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为，水流最高高度为 ， 水流最高点距喷水管的水平距离为 ． 任务1 ［中］：以水池中心点为原点，水平向右方向为 轴正半轴，以喷水管竖 直向上方向为 轴正半轴，建立平面直角坐标系,如图（2），求喷泉水流右支抛物 线的函数表达式，并计算喷泉水流到喷水管的最大水平距离．（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 【优化设计】 社区要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线最 大高度与水平宽度的比接近黄金比 ，如图（3）. 该小组进一步提出优化设计方案，已知优化后水流到喷水管最大水平距离为 ， 喷水口的竖直高度为，喷出的水流的最高高度为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 【解】根据题意设喷泉水流右支抛物线的表达式为 . 将点代入得， ， 解得 ， 喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 .………… （3分） 当时， ， 解得 （负值已舍去）， 题图（2）中喷泉水流到喷水管的最大水平距离为 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 任务2 ［偏难］：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过 计算说明该小组所设计的喷泉是否达到美观效果．（6分） 【解】设进一步优化后喷出的水流所在抛物线的表达式为 . 将， 代入得， 由①得 ，③ 由②得 .④ ，，得 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 解得 （负值已舍去）. 将代入③得 ， 进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式为 . …………（9分） 当时， ， 解得， ， ， ,接近黄金比， 该小组所设计的喷泉达到美观效果.………… （12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22.[2026江苏淮安月考]（14分）在平面直角坐标系中，已知点在 轴正半轴上． 图（1） 图（2） 备用图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 49 （1）如果四个点，，，中恰有三个点在二次函数 为常数，且 的图象上． ① ___；（2分） 1 【解】 对于,当时，， 点 不在该二次函数的图象上.将 点代入，得，解得 ，故答案为1. （2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 50 ②［中］如图（1），已知菱形的顶点，， 在该二次函数的图象上，且 轴，求点 的坐标；（4分） 【解】由①知，二次函数的表达式为 . 设菱形的边长为，则 . 轴， .…………（3分） 由菱形的性质得 , 轴， .…………（4分） ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 51 解得（舍去）或-（舍去）或 ， …………（5分） .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ③［偏难］如图（2），已知正方形的顶点， 在该二次函数的图象上，点 ，在轴的同侧，且点在点的左侧，设点，的横坐标分别为， ，试探 究 是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．（5分） 【解】 是定值.…………（7分） 如图,过作轴于,过作轴于 . 点,的横坐标分别为, ， 点的坐标为,点的坐标为 , ,,, . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 53 四边形 是正方形， , ， . 又 , ,…………（8分） , . , ,…………（10分） . 点，在轴的同侧，, . …………（11分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 54 （2）［难］已知正方形的顶点，在二次函数 为常数，且 的图象上，点在点的左侧，设点，的横坐标分别为， ，直接写出 ， 满足的等量关系式．（3分） 【解】或 .…………（14分） 由题意得，,.过作轴于，过作轴于 . 当,在轴左侧时，，,, , 易得,, , . , , . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 55 , . 当在轴左侧，在轴右侧时，,,, . 同理可证,易得， 或 . 当,在轴右侧时，，，， ，同理易得 . 综上所述，或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 56 $