卷9 九上第五章 二次函数 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（北师大版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了二次函数的概念、图像性质、平移规律及实际应用，通过“判断方法总结”“平移口诀”“对称性技巧”等模块，将知识点串联成网络，帮助学生构建完整的二次函数知识体系。 其亮点在于融入新情境（如DeepSeek程序、卫星导航距离计算）和跨学科问题（物理运动），设计基础到偏难的分层题目，培养学生的抽象能力、推理意识和模型观念。教师可借助错题诊断与变式训练，精准把握学情，助力学生巩固知识，提升复习效率。

数 学 九年级全一册 BS 1 2 3 卷9 九上第五章基础诊断卷（A卷） 考查内容：二次函数 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） 1.[2026黑龙江大庆月考]下列函数中，是关于 的二次函数的是( ) D A. B. C. D. 【解析】A选项， 是一次函数，不是二次函数，不符合题意；B选项，当 时，不是二次函数，不符合题意；C选项， 不是二次 函数，不符合题意；D选项， 是二次函数，符合题 意．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 上分总结 判断一个函数是否为二次函数的方法 （1）先将函数表达式进行整理，使其右边是含自变量的代数式，左边是因变量； （2）判断右边含自变量的代数式是否为整式；（3）判断含自变量的项的最高次 数是否为2；（4）判断二次项系数是否为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 2.[2026湖北武汉月考]抛物线 的顶点坐标为( ) C A. B. C. D. 【解析】， 抛物线的顶 点坐标是 ．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 3.[2026广东广州期末]已知抛物线与轴的一个交点为 ，则代 数式 的值为( ) C A.2 023 B.2 024 C.2 025 D.2 026 【解析】 抛物线与轴的一个交点为， ， ， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 4.[2026山西大同月考]将抛物线 先向左平移3个单位，再向下平移5个单位， 则两次平移后所得抛物线的表达式为( ) B A. B. C. D. 【解析】抛物线向左平移3个单位得到的抛物线表达式为 ， 再向下平移5个单位得到的抛物线表达式为 ．故选B. 上分心得 抛物线的平移问题 对抛物线的平移问题可以参考口诀：“左加右减自变量，上加下减常数项.”注意要 先把表达式变形为顶点式，再进行变化. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 5.新情境 [2026河南郑州一中月考]小明用 编写了一个程序来探索一元二次方程 的根，作出抛物线 如图，并求得一个近似根 ，则方程的另一个近似根（精确到0.1） 为( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 【解析】 抛物线与轴的一个交点坐标为 ，抛物线的对称轴为直线 ， 抛物线与轴的另一个交点坐标为 ，即方程的另一个近似根为 ，故选C. 上分技巧 二次函数图象的对称性 只要二次函数图象的对称轴确定，此二次函数图象上任意一点关于对称轴对称的 点的坐标就能确定，不需要知道此二次函数的解析式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 6.[2026江苏盐城期末]对于二次函数，若当时，随 的增 大而减小，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 【解析】， 当时，随的增大而减小. 当 时，随的增大而减小， ．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 7.[2026辽宁沈阳月考]在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象可能是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 【解析】 选项 一次函数 二次函数 是否符合题意 A 不符合 B 符合 C 不符合 D 不符合 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 上分心得 一次函数与二次函数图象的综合判断 先分别根据两图象确定各参数的正负，再判断对应参数的正负是否一致. 一次函数当直线呈上升趋势时， ；当直线呈下降趋势时， 当直线与轴交于正半轴时，；当直线与轴交于负半轴时， . 二次函数当抛物线开口向上时， ；当抛物线开口向下时， 当抛物线的对称轴在轴左侧时，与 的符号相同； 当抛物线 的对称轴在轴右侧时，与 的符号相反，可用口诀记为“左同右异”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 8.新情境 [2025浙江中考，中]为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点 与观测点之间距离的平方．如图（1），点是一个固定观测点，运动点从 处出 发，沿笔直公路向目的地处运动．设为单位：，为 （单位：）．如图（2），关于的函数图象与轴交于点，最低点 ， 且经过和 两点．下列选项正确的是( ) D 图（1） 图（2） A. B. C.点的纵坐标为240 D.点 在该函数图象上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 【解析】如图,过点作,垂足为点.由点纵坐标可知 的最 小值为81,即,, 当时, , ,,即,故A选项错误.连接 , 则在中,,即点 的纵坐标为250,故C选 项错误.,,,故B选项错误. 当,即 时, ,此时, 点 在该函 数图象上,故D选项正确,故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 9.[2026山东滨州月考，中]抛物线的对称轴为直线 ，若关 于的一元二次方程为实数在 的范围内有实数 根，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 【解析】 抛物线的对称轴为直线， , ，, 抛物线顶点坐标为 ，且 开口向下， 当时，有最大值，为 关于 的一元二次方程 在的范围内有实数根， 函数 与的图象在的范围内有交点.对于函数，当 时，， 若关于的一元二次方程在 的范 围内有实数根，则 ．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 10.[2026辽宁朝阳月考，偏难]已知二次函数 的图象如图所示，有下列结论： ；； ； ； ．其中正确 结论的个数为( ) D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 【解析】由图象可知，，，，， ，故 ①正确. 抛物线与轴有两个不同的交点，， ，故②正 确.由图象可知，抛物线与轴的一个交点的横坐标在与0之间， 根据对称性可 知，抛物线与轴的另一个交点的横坐标在2与3之间， 易知当时， ， ，故③正确.当时，；当 时， ，，即 ， ，故④正确.当时，的值最大，此时；当 时，， ， ，即 ，故⑤错误．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.[2026贵州贵阳期中]如图所示，四个函数图象对应的表达式分别是 ，，，，则，，， 的大小关系是 ________________.（用“ ”连接） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 （第11题图） 【解析】令，则四个函数对应的 值分别为,,, ,如图，所以 ．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 12.[2026江苏苏州月考]已知二次函数，当分别取， 时， 函数值相等，则当时， __． 【解析】 当分别取，时，函数值相等，， ， 或，， 当 时， ．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 13.[2026云南昆明期中]公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的 规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销 售1 500个，9月份销售个，设7月份到9月份销量的月平均增长率为，那么与 之间的函数关系式是_________________． 【解析】由题意得，.故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 14.[2026辽宁抚顺月考]已知二次函数 的图象如图所示， 则关于的不等式 的解集是_____________． 或 （第14题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 【解析】根据图象可得，关于的不等式的解集是或 . 故答案为或 ． 上分点拨 利用二次函数图象解不等式 求关于的不等式的解集，就是求二次函数 的图 象在轴下方部分对应的 的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 15.[2026河北保定月考，中]已知二次函数 的图象上有且只有一点 的横坐标和纵坐标相等，且点坐标为，当 时，二次函数 的最小值为，最大值为1，则 的取值范围是__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 【解析】由题意得，，即 有且只有一点 的 横坐标和纵坐标相等，，, 方程 的根为，，， 二 次函数， 该二次函数图象 的顶点坐标为，与轴的交点坐标为.根据对称性可知，点 也 在该二次函数的图象上，且当时，随的增大而增大；当时，随 的 增大而减小. 当时，二次函数的最小值为 ，最 大值为1，．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 （第16题图） 16.新考法 [2026四川成都期中，难]如图，抛物线 与轴交于，两点，抛物线上点 的横坐 标为5，点的坐标为，连接，，点 为平面内任意 一点，将绕点旋转 得到对应的 （点，，的对应点分别为点，，），若 中 恰有两个点落在抛物线上，则此时点 的坐标为____________ _______（点不与点 重合）. 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 【解析】令，解得或4，, ，抛物线的 对称轴为直线.当时，， . 分三种情况讨论： ①当点，在抛物线上时， ，抛物线的对称轴为直 线， 点的横坐标为.当时， ， .设点的坐标为，由中点坐标公式，得 解得 点的坐标为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 ②当点，在抛物线上时，设点的坐标为. 点 向右平移2 个单位，向上平移3个单位得到点， 点 向左平移2个单位，向下平移3个单位 得到点， 点的坐标为，.将点 的坐标代入抛物线 的表达式，得，解得 ， , 点的坐标为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 ③当点，在抛物线上时，设点的坐标为. 点 向右平移6 个单位，向上平移3个单位得到点， 点 向左平移6个单位，向下平移3个单位 得到点， 点，.将点 的坐标代入抛物线的表达式， 得，解得 ， , 点的坐标为，此时点与点 重合，不符合题意， 舍去. 综上，点的坐标为或.故答案为或 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.[2026江苏南京期末]（8分）已知关于的二次函数 的图象过点 ， . （1）求这个二次函数的表达式；（4分） 【解】由题意可得， …………（1分） 解得 …………（3分） 二次函数表达式为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 （2）当时，求 的最大值与最小值．（4分） 【解】 , 抛物线的对称轴为直线 . ， 当时，随的增大而减小；当时，随 的增大而增大，………… （6分） 当时，有最小值，最小值为 ， 当时，有最大值，最大值为 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 18.[2026安徽六安月考]（10分）在函数的研究中，我们经历了用列表、描点、连 线的方式画函数图象，分析图象特征，概括归纳函数性质的过程．以下是我们研 究函数 的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下 列各题． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 （1）列表： … 0 1 2 … … 2 - 2 … 写出表中，的值：_ ___， ___；（每空2分） 3 【解析】 当时，；当时， . 故答案为 ，3.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 （2）描点、连线：请根据表中各组对应值，在如图所示的平面直角坐标系中画出 该函数的图象；（4分） 【解】函数图象如图所示. …………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 （3）若该函数图象与直线为常数 有2个交 点，请结合函数图象，直接写出 的取值范围_____． （2分） 【解析】由函数图象可知，若该函数图象与直线 有2个交点，则，解得 ．故答 案为 .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 19.跨学科问题 [2026湖北襄阳期末]（10分）如图，在一条笔直的滑道上有黑、 白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面 处． 小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：）、运动距离（单位： ）随运 动时间（单位： ）变化的数据，整理如表所示． 运动时间 0 1 2 3 4 运动速度 10 9.5 9 8.5 8 运动距离 0 9.75 19 27.75 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离 与 运动时间 之间成二次函数关系． （1）求关于的函数表达式和关于 的函数表达式（不要求写出自变量的取值范 围）．（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 【解】设黑球的运动速度关于运动时间的函数表达式为 ， 把，分别代入得 解得 黑球的运动速度关于运动时间的函数表达式为 .…………（2分） 设运动距离关于运动时间的函数表达式为，把 ， ，分别代入得解得 运动距离关于运动时间的函数表达式为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 （2）若白球一直以 的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？ 请说明理由．（6分） 【解】黑球在运动过程中不会碰到白球.…………（5分） 理由如下：设黑球与白球的距离为 . 由题意得， .………… （7分） ， 抛物线开口向上， 在时， 有最小值，最小值为6，即在运动过程中，黑球与白球有最小距 离且大于0，…………（9分） 故黑球在运动过程中不会碰到白球.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 20.[2026山西朔州月考]（12分）如图，抛物线 经 过坐标轴上，， 三点． （1）求和 的值；（4分） 【解】 抛物线经过， 两点， 将，代入 ，得 解得 …………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 （2）是直线上方抛物线上一动点，连接,，求 面积的最大值及此 时点 的坐标；（4分） 【解】设直线的函数表达式为 ， 将，代入，得 解得 直线的函数表达式为 .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 过点作轴交于点 ，如图所示. 由（1）知抛物线表达式为 . 设，则 ， ， ， …………（6分） 当时，的面积有最大值4，此时点的坐标为 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 （3）［中］是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 ，使得四边形 是平行四边形？若存在，求出满足条件的点， 的坐标；若不存在，说明 理由．（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 【解】存在点，使得四边形 是平行四边形． ， 抛物线的对称轴为直线 . 设， . 当四边形是平行四边形时，， 为平行四边形的对角线， 解得 ， .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21.[2026河北石家庄期末]（12分）如图，斜坡 上种有若干棵树，斜坡底端有一 喷水管，某时刻从处喷出的水流恰好落在 处，水流呈抛物线形．建立平面直 角坐标系，得到点的坐标为，点的坐标为．已知喷水管 及所有树 都与垂直，抛物线的表达式为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 49 （1）求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标．（4分） 【解】将,代入 ,得 抛物线的表达式为 ，…………（2分） 抛物线的顶点坐标为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 50 （2）［中］若抛物线恰好过小树的树顶，点在斜坡上，且点到， 两点的距离相等，求点 的坐标．（5分） 【解】，，点在 轴上， . ， 设直线的表达式为 . 将代入得，解得 ， 直线的表达式为 .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 51 设 . 点到,两点的距离相等， 轴， 点在 的垂直平分线上， ， ， .…………（6分） 点在抛物线上，，整理得 ， 解得（不符合题意，舍去）或 ，…………（8分） ， .…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 （3）［中］若，为两棵等高的小树在 的左侧，小树粗细忽略不计， 点，均在斜坡上且与点不重合，抛物线恰好经过，两点．直接写出点 的横坐标 的取值范围．（3分） 【解】 .…………（12分） 由题得,，，.设 ,则 , 该函数图象对称轴为直线 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 53 当时，与 重合，不符合题意. 又在的左侧，.由题意可知.若 ,则 ， 解得或 （舍去）. 由题意可知，结合图象可得 . 综上所述， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 54 22.探究性问题 [2026四川成都月考]（14分）【定义与性质】 如图（1），记二次函数和 的图象分 别为和，且每条抛物线与 轴都有两个交点． 定义：若抛物线的顶点与抛物线的顶点是关于抛物线与 轴交 点的对称点，则称是关于点的对称抛物线，简称是 的对称抛物线． 性质：①一条抛物线有2条对称抛物线； ②若是的对称抛物线，则也是 的对称抛物线． 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 55 【理解与运用】 （1）试说明二次函数的其中1条对称抛物线为 ；（5分） 【解】, 抛物线 的顶点坐 标为 .…………（1分） 抛物线的顶点坐标为 ，…………（2分） 两个顶点连线的中点为 .…………（3分） 点是与 轴的交点，…………（4分） 且两个函数的二次项系数互为相反数，…………（5分） 二次函数的其中1条对称抛物线为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 56 【思考与探究】 （2）设抛物线的函数表达式为，该抛物线与轴交于， 两点 （点在点 的右侧）． ①［中］若抛物线关于点的对称抛物线与轴的另一个交点为 ， 且，求 的取值范围；（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 57 【解】将代入抛物线，得， ， 抛物线的表达式为 ，…………（6分） 此抛物线的对称轴为直线， 点 到对称轴的距离为 ， 易知,两点间的距离为 ， .…………（8分） , ， .…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 58 ②［难］如图（2），抛物线关于点的对称抛物线的顶点为，试问当， 满足什么关系时， 为等边三角形？（5分） 【解】过点作轴于点 ，如图. 为等边三角形， . 由题易知轴， ， 由勾股定理易知 .…………（10分） 由抛物线的表达式可知，点的坐标为， ， .…………（11分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 59 令，解得 ， , .…………（12分） ， ， 整理得, 当时， 为等边三角形.…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 $