卷5 九上第三章 图形的相似 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（北师大版·新教材）

这份初中数学九年级全一册BS版课件，是“全国百强校系列丛书”中的“图形的相似”基础诊断卷，包含选择、填空、解答题，结合多地月考/期末真题，附详细解析和方法总结，支持WPS编辑与超链接跳转。 资料突出核心素养，通过黄金分割叶片、凸透镜成像等跨学科实例培养数学眼光，以分类讨论剪三角形等问题发展逻辑思维，用测旗杆高度等应用提升数学表达能力，助力学生巩固考点，为教师提供分层教学素材。九年级学生面临升学考试，需重点掌握相似三角形等高频考点，资料能帮助学生夯实基础、提升解题能力，也为教师针对性复习提供支持。

数 学 九年级全一册 BS 1 2 3 卷5 九上第三章基础诊断卷（A卷） 考查内容：图形的相似 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） 1.[2026山东淄博月考]如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部 分，则阴影多边形与原多边形相似的是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 【解析】A选项，阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相 似多边形的定义，故该选项符合题意；B选项，阴影矩形与原矩形的对应角相等， 但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，故该选项不符合题意；C选项， 阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形 的定义，故该选项不符合题意；D选项，阴影六边形与原六边形的对应角相等，但 对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，故该选项不符合题意.故选A. 上分点拨 相似多边形 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 2.[2026湖南永州期末]若线段，，，是成比例线段，且 ， ，，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】，，，线段，，， 是成比例线段， ， ．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 上分总结 判断四条线段是否成比例的方法 （1）先将四条线段的长度单位统一，然后将四条线段的长度按从小到大的顺序排 列，再判断前两条线段的长度比是否等于后两条线段的长度比，相等则是成比例 线段，不相等则不是成比例线段.（2）将统一长度单位后的线段中最小的线段长度 和最大的线段长度相乘，剩下的两条线段长度相乘，看它们的积是否相等，相等 则是成比例线段，不相等则不是成比例线段. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 3.[2026山西吕梁期末]五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离、 等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线上的三个点， ， 都在五线谱上．若线段，则线段 的长是( ) C A.6 B.5 C.4 D.3 【解析】 五线谱由等距离、等长度的五条平行横线组成，，即 ， 解得 ，故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 4.[2026辽宁沈阳月考]如图所示的三个三角形，相似的是( ) A ① ② ③ A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 【解析】分别把三个三角形的内角都计算出来， ，所 以三个内角分别为 ， ， ； ，所以三个内角 分别为 ， ， ； ，所以三个内角分别为 ， ， ．根据两角分别相等的两个三角形相似可知，①②两个三角形 相似．故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 （第5题图） 5.[2026贵州毕节期末]如图，与是以点 为位似中心 的位似图形，已知，则与 的面积比为 ( ) B A. B. C. D. 【解析】与是以点为位似中心的位似图形， ， ，，， ， ，与的相似比为,与 的面积比为 ．故选B． 上分点拨 相似三角形的性质 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 （第6题图） 6.[2026四川遂宁期末]生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本 身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图， 点是的黄金分割点，如果的长为，那么 的 长为( ) C A. B. C. D. 【解析】 点是的黄金分割点，.又 ， ．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 （第7题图） 7.[2026甘肃定西期中]如图， ，添加下列一个条件后，不 能判定和 相似的是( ) D A. B. C. D. 【解析】， 当添加时， ， 故A选项不符合题意；当添加时， ， ，故B选项不符合题意；当添加 时， ，故C选项不符合题意；当添加时，不能判定 和 相似，故D选项符合题意．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 （第8题图） 8.跨学科问题 [2026四川师范大学附属中学期中，中] 如图是物体在焦距为即 的 凸透镜下成倒立放大实像的光路示意图．从点 发出的 平行于的光束折射后经过右焦点，而经过光心点 的光束不改变方向，最后点发出的光汇聚于点，点 D A. B. C. D. 发出的光汇聚于点，从而得到最清晰的实像．若物距，则像距 为 ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 【解析】由题意可得，，经过点，经过点 ， ，，，. ， .设，则， ，解得 ，经检验，是分式方程的解，且符合题意， ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 （第9题图） 9.[2026广东深圳月考，中]如图，已知， ， 上有一点，满足 ，，则 ( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 【解析】如图，作交的延长线于，作 交 的延长线于，， . , , .设 在中，, ,即 ，, .故选A. ,则, , . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 （第10题图） 10.[2025湖北恩施州模拟，难]将一张以 为边的矩形纸片，先 沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直 线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的 是如图所示的四边形纸片，其中 ， ， A A. B. C.10 D. ，， ，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 【解析】①作如图（1）所示的矩形，设 ， ， ，， ， ，即，， ，故B、D选项不 符合题意.②作如图（2）所示的矩形，设 ， ， ，， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 ，即，， ,故C选项不符 合题意.③作如图（3）所示的矩形，易得,， . 故选A. 图（1） 图（2） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 上分警示 理解题意 题目的提问方式已经暗示有多种“可能的斜边长”，因此需要分类讨论.“剪掉的两个 直角三角形相似”是破题点，意味着需要补全图形且补全方式不止一种，而两个直 角三角形如何相似就是分类讨论的出发点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.[2026四川成都期末]如果，那么 __． 【解析】， 设，，则 .故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 12.[2026黑龙江哈尔滨期中]如图，铁道口的栏杆短臂长1米， 长臂长16米，若短臂端点下降0.3米，则长臂端点升 高____米． 4.8 【解析】如图，取栏杆端点，,过点作于 ,过点 作于，则 .由题意知， 米，米，米， , ,,, ,故答案为4.8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 （第13题图） 13.[2026广西百色期末]如图，在平面直角坐标系中，正方形 与正方形是以点 为位似中心的位似图形，且相似比 为，两个正方形在原点同侧，点，，在 轴上，其余顶点 在第一象限，若正方形的边长为2，则点 的坐标为______． 【解析】 正方形与正方形是以点 为位似中心的位似图形，且相似 比为，,,. 正方形 的边长为2， ，，，，， 点 的坐标为 ，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 （第14题图） 14.[2026辽宁鞍山月考，中]如图，是 的角平分线， ， ，则 的长为_________． 【解析】， ， 是 的角平分 线， .又 ，， ， ，，， ， ，即，，，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 （第15题图） 15.新考法 [2026辽宁大连期中，中]如图，平行于地面的圆桌正 上方有一个灯泡（看作一个点），它发出的光线照射桌面后，在 地面上形成圆形区域，经测量，地面上圆形区域的半径比桌面半 径大0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则 灯泡到桌面的距离为___米． 3 【解析】构造几何模型如图.依题意知米， （米），米.,, ，即 ，， 灯泡到桌面的距离为3米.故答案为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 16.[2026福建泉州月考，偏难]如图，已知在纸板中，， ， ，是上一点，沿过点的直线剪下一个与 相似的小三角形纸板， 如果有4种不同的剪法，那么 长的取值范围是___________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 【解析】如图（1）所示，过作交于或交于 ，则 或，此时 . 图（1） 图（2） 图（3） 如图（2）所示，过作交于, ，此时 . 如图（3）所示，过作交于, ， .当点与点重合时，有最大值，此时,即 , , . 综上所述，长的取值范围是．故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.[2026广东广州月考]（8分）如图， ，且 ，求证： ． 【证明】 ， .…………（3分） ， ， 即 ，…………（6分） .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 18.[2026陕西宝鸡期末]（10分）如图，在平面直角坐标 系中，的三个顶点的坐标分别为， ， ． （1）以原点为位似中心，将 放大为原来的3倍， 画出放大后的 ．（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 【解】如图所示， 即为所求. （6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （2）以直线为对称轴，画出（1）中关于直线对称的 ．（4分） 【解】如图所示， 即为所求.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 19.[2026山西太原月考]（10分）如图， 为等边三角形，点 ，分别在边，上，且 . （1）求 的度数.（6分） 【解】 为等边三角形， .…………（2分） ， .…………（4分） ， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 （2）若，，求线段 的长．（4分） 【解】 ， ，…………（8分） , .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 20.[2026陕西西安校级期中，中]（12分）小明在学习完 “利用相似三角形测高”这节课后，他跟同学来到操场计划 用标杆、平面镜和皮尺测量操场上旗杆的高度，因为学校 给操场上安装了“智慧体育”相关设施，使得他们无法到达 旗杆的底部，于是他们在操场外的空地上的处竖立了长为3米的标杆米 ， 此时小明站在距离处3.6米的点处恰好能通过标杆顶端看到旗杆的顶部 点，随 后小明站到处恰好通过处放置的平面镜看到旗杆的顶部 点，经过测量得知 米，已知小明的眼睛距离地面1.8米（即米），同时 ， ，，四点在同一直线上，如图所示，请求出旗杆 的高度． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 【解】连接并延长交于点 ，如图. …………（1分） ，，，且 ， 四边形为矩形， ， 四边形与四边形 都为矩形， …………（2分） ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 设，，则 ， .…………（3分） , , ， ， 即， .…………（6分） 由题易知 ， ， ,即 ， .…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 联立得解得 .…………（11分） 答：旗杆 的高度为12.6米.…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21.[2026安徽宣城期末]（12分）如图，在平行四边形 中，点在边上，交于点， ． （1）求证： ；（4分） 【证明】 四边形 是平行四边形， ， ， ， . ， ， ， ， ， 即 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 （2）如果 ． ①［中］求 的长；（4分） 【解】 ， ， . ，， . ， ， ，即 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 ， ， ， ， ， ， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 ②［中］若，求 的长．（4分） 【解】，.，. ， .，，， .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 22.综合与实践 [2026吉林松原期末]（14分）综合与实践：纸张中藏着丰富的数 学奥秘．某数学学习小组围绕“神奇的 纸”开展主题学习． 【阅读资料】 纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性． 纸是我们常见的矩形打印纸， 将纸沿它的一条对称轴折叠（如图（1）），展开后，折痕 两侧的两个 小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形 矩形；将纸类似地对折，得到与之相似的纸 纸的大小设计能在 纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感． 图（1） 图（2） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 【初探结论】 （1）如图（1），设，求纸的长与宽 的比值.（4分） 【解】设.由折叠可得 . 矩形 矩形 ， ，…………（1分） ， .…………（2分） ， ，…………（3分） .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 【作图再探】 （2）［中］如图（2），在（1）的条件下，连接，过点作交 于点 ．求证：为边 的中点.（5分） 【证明】 四边形 是矩形， ， . ， ， ， ， ，…………（7分） ，， . ，，即点为边 的中点.（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 【拓展应用】 （3）［难］如图（3），在（1）的条件下，再次折叠纸片，使点落在 上的点 处，折痕为，连接．试探究线段与 的关系．（5分） 【解】如图，连接交于点 . 由折叠可知， . 设.在中，， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 解得， . ， ， ， . ， ， ， . ,， ， . 综上，线段与的关系为， . …………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 $