卷3 九上第二章 一元二次方程 综合检测卷-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（北师大版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的概念、解法（配方法、因式分解法等）、根的判别式、韦达定理及实际应用，通过知识点分类、题型梳理和“上分技巧”总结，将方程判断、错解分析、几何与生活情境问题串联，构建完整知识网络。 其亮点在于采用分层练习设计与情境化探究，如以冬奥会吉祥物销量增长考查增长率模型，用“同族二次方程”新定义培养抽象能力，通过矩形平移面积问题发展几何直观。这种设计兼顾基础巩固与思维提升，帮助学生用数学语言表达现实问题，教师可精准把握学情，提升复习效率。

数 学 九年级全一册 BS 1 2 3 卷3 九上第二章综合检测卷 考查内容：一元二次方程 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的选 项中，只有一个选项符合题意） 1.[2026江苏徐州月考]下列方程是一元二次方程的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 【解析】A选项， ，分母有未知数，不是整式方程，故本选项错误， 不符合题意；B选项，，未强调 ，故本选项错误，不符合题 意；C选项，，整理后为 ，是一元二次方程，符 合题意；D选项， ，是二元二次方程，故本选项错误，不符 合题意.故选C. 上分总结 一元二次方程的判断 要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进 行整理．如果能整理为，，为常数， 的形式，那么这 个方程就是一元二次方程． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 2.[2026山东淄博月考]观察下列表格（均精确到 ），一元二次方程 的一个近似解为( ) 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35 B A. B. C. D. 【解析】 当时，;当时，, 一 元二次方程的一个近似解的范围为 ，故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 3.[2026浙江温州月考]若是关于的一元二次方程 的一个根， 则 的值为( ) D A.3 B.2 C. D. 【解析】把代入，得，解得 ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 4.[2026江西吉安月考]用因式分解法解下列方程，其中正确的是( ) C A.，所以 B.，所以或 C.，所以或 D.，所以或 【解析】A选项，方程，所以或 ，故此选项错误．B选 项，方程，即，所以或 ，故此 选项错误．C选项，方程，所以或 ，故 此选项正确．D选项，方程，即 ,所以 ,所以或 ，故此选项错误．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 5.[2026广东揭阳月考]关于的一元二次方程 有两个不相等的实数 根，则 的取值范围在数轴上可以表示为( ) A A. B. C. D. 【解析】根据题意得，解得 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 6. 2026年米兰-科尔蒂纳冬奥会吉祥物“蒂娜”和“米罗”深受大家欢迎， 某电商平台售卖这两种吉祥物，1月份销量为2 000个，3月份销量为3 380个，设1 月份至3月份的月平均增长率为 ，则可列方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】由题意可得 ，故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 上分总结 与平均变化率有关的等量关系 若设变化前的量为 ，经过两次变化后的量为，平均变化率为 ，则等量关系为 （当平均变化率为增长率时选“ ”，为下降率时选“-”）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 7.[2026陕西铜川期中]已知，是关于的一元二次方程 的两个实数根，若，则 的值为( ) A A. B.7 C.或7 D. 或7 【解析】 方程的两个实数根分别为和 ， , ， ， ，或 关于 的一元二次方程 有两个实数根， ，当时， ，不符 合要求；当时，,符合要求.综上， ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 上分技巧 一元二次方程两个根常见关系的处理 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 8.[2026江苏连云港月考，中]小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次 项系数，解得两根为， ，而小华看错常数项，解得两根为 ， ，那么原方程可以为( ) B A. B. C. D. 【解析】小明看错一次项系数，解得两根为， ，则两根之积正确； 小华看错常数项，解得两根为， ，则两根之和正确，故设这个一元 二次方程的两根是 ， ，，， 原方程可以是 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 上分技巧 错解问题 虽然有看错部分，但是可以利用结果计算出没有看错的相关部分，进而解决问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 9.新定义 [2026浙江金华月考，中]新定义：关于 的一元二次方程 与称为“同族二次方程”,如 与是“同族二次方程”．现有关于 的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，那么代数式 能取得的最小值是( ) D A.2 021 B.2 022 C.2 023 D.2 024 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 【解析】 关于的一元二次方程 与 是“同族二次方程”， ， ， 解得，， 当 时， 能取得最小值，是 ，故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 10.[2026山东德州月考，难]如图，将边长为的正方形 纸片，沿其对角 线剪开，再把沿着方向平移，得到 ，若两个三角形重叠部分 的面积为，则移动的距离 等于( ) B A. B.或 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 【解析】令与的交点为.设，则. 四边形 是正方形，， ， .根据平移的性质，得 ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， . 两个三角形重叠部分的面积为 ， ，解得，， 移动的距离等于 或 ，故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.[2026山东济南期末]已知方程可以配方成 的形式， 那么 的值为___． 5 【解析】，， ， ，， ，故答案为5． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 12.开放性问题 [2026陕西商洛期末]请写出一个关于 的一元二次方程，使它没有 实数根：_____________________________． （答案不唯一） 【解析】在一元二次方程中， ， 方程没有实数根，故符合题意，故答案为 （答案不唯一）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 13.[2026河北唐山期中]已知关于的一元二次方程 ．若等腰三角形 的一边长为3，它的其他两边长恰好为这个方程的两个根，则 的值为________． 15或16 【解析】根据题意得，解得 .当3是腰长时，3是方程的一 个根，把代入方程得，解得 ，此时方程为 ，解得，，即方程的另一根为， 等 腰三角形存在，即 满足题意.当3是底边长时，两腰的长都是方程的根，则 方程有两个相等的实数根，即，解得 ，此时方程为 ，解得， 等腰三角形存在，即 满足题意.综上所述， 或16．故答案为15或16． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 上分技巧 一元二次方程与等腰三角形 已知等腰三角形的一边长为，其他两边长是一元二次方程的两个根，则 可以是 腰长，也可以是底边长.若为腰长，则说明一元二次方程的一个根为；若 为底 边长，则说明一元二次方程有两个相等的根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 14.[2026内蒙古包头月考]若，是一元二次方程 的两个实数根， 则 的值是____． 【解析】，是一元二次方程 的两个实数根， ，，，， ， ，，故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 15.新考法 [2025四川成都二模，中]某数学学习小组发现当已知矩形的相邻两边 长分别为2和1，3和1，4和1，5和1，6和1，7和1，8和1，9和1时，都不存在这样 的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的 ；当已知矩形的相邻两 边长分别为10和1时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的 周长和面积的，则这个矩形较短边的长为__.当已知矩形的长和宽分别为和 时， 若存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的，则和 应满足的关系式为 _______________．（每空2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 【解析】设这个矩形的两边长分别是和.由题意得解得 或 这个矩形较短边的长为.设这个矩形的两边长分别是和 .当已知矩形 的长和宽分别为和时，由题意得 ,即 存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 方程有实数根， ，即 ,.故答案为， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16.[2026四川巴中期末，难]对于一元二次方程 ，下列说 法：①若，则；②若方程 的两根符号 相同，那么方程的两根符号也相同；③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；④若 的一个实数根为4，则方程 一定有一个 实数根为 ，其中正确的是_________．（填序号） ①②④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 【解析】若，则是方程 的解，即方程有实数 根，，故①正确.已知方程 的两根符号相同， 设两根为，，，，,符号相同， 对于 方程，， 方程 有实数根，设 两根为，，，，符号相同，故②正确.若 是方程 的一个根，则有，， 或， 当时，不一定有 成立，故③错误.若 的一个实数根为4，则有 .对于方程 ，即 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 ， ，或 ， 方程一定有一个实数根为 ，故④正确.综上所述，正确的 是①②④．故答案为①②④． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 上分点拨 一元二次方程 的解 是方程的解 是方程的解 是方程的解 是方程的解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.[2026山东烟台期末]（8分）解方程： （1） （用配方法）.（4分） 【解】原方程变形为， ， ， …………（2分） 或，或 ， 原方程的解为, .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 （2） .（4分） 【解】原方程变形为， ， ，…………（6分） 或，或 ， 原方程的解为, .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 18.[2026云南昆明月考]（10分）已知关于 的一元二次方程 ， 为常数． （1）当原方程有两个相等的实数根时，求 的值；（4分） 【解】 原方程有两个相等的实数根, ， …………（3分） 解得或 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 （2）若方程的两根分别是和，且满足，求此时 的 值．（6分） 【解】由题意得， ． ， ， ，…………（5分） .…………（6分） ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 整理得 ，…………（7分） , 解得或 .…………（8分） 当时， ，符合题意； 当时， ，符合题意. 综上，的值为或- .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19.[2026江西南昌期末]（10分）先阅读下列材料，然后解决后面的问题． 材料：因为二次三项式 ，所以方程 可以这样解： ， 或，， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 问题： （1）用材料中的方法解方程时，得到的两根均为整数，则 的值 是_________________；（4分） ，，2，14 【解析】由题意得，当 时， ， ； 当时，同理得 ; 当时，同理得 ； 当时，同理得 . 故的值是，，2，14.故答案为， ，2，14. …………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 （2）已知实数满足，求代数式 的值.（6分） 【解】由题意，设 ， 则原方程可化为 ， ,或 .…………（6分） 当时，，即，， 原方程 没有实数根，故 不合题意，舍去；…………（7分） 当时，，即，，故 符合 题意， ，…………（8分） .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 20.[2026安徽六安期末]（12分）某商场销售一种环保节能材料，平均每天可售出 100盒，每盒利润为120元．由于市场调控，为了扩大销售量，商场准备适当降 价．据调查，若每盒材料每降价1元，每天可多售出2盒．根据以上情况，请解答 以下问题： （1）当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利________元．（2分） 14 000 【解析】由题意得， （元），故答案为 14 000.…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 （2）为了更多地让利于消费者，且保证每天销售这种材料获利达14 400元，则每 盒应降价多少元？（5分） 【解】设每盒应降价 元.根据题意，得 .…………（4分） 整理得 , 解得， .…………（6分） 要更多地让利于消费者， 每盒应降价40元． 答：每盒应降价40元.…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 （3）在本次销售活动中该商场每天利润能否达到15 000元？请说说你的理 由．（5分） 【解】在本次销售活动中该商场每天利润不能达到15 000元.理由如下：设每盒应 降价 元， ，…………（9分） 整理得 . ，…………（11分） 方程无实数根， 在本次销售活动中该商场每天利润不能达到15 000元.…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 21.[2025黑龙江富锦四模]（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与 轴交 于点，与轴交于点，，的长是一元二次方程 的两个根 ，直线与轴交于点 ． 备用图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 （1）求直线 的表达式；（4分） 【解】由得， ， , , ， .…………（2分） 设直线的表达式为，把代入得 ，解得 ， …………（3分） 直线的表达式为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 （2）［中］是直线上一动点，设的面积为，请求出 关 于 的函数表达式；（5分） 【解】在中，令得， . ， .…………（5分） 是直线 上一动点， ， ，…………（7分） …………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 （3）［难］直线上是否存在点，使 为等腰三角形？如果存在，请直接 写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由．（3分） 【解】存在，点的坐标为或，或或 .…………（12分） 设 . ，， ， ，.当 时， ，解得， .当 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 时，，解得（此时， 重合，舍去） 或，，.当时， 25，解得 或，的坐标为或 . 综上所述，点的坐标为或，或或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22.探究性问题 [2026上海徐汇区期末]（14分）阅读材料：在平面直角坐标系 中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如： ，， 都是“倒数点”． 【初步探究】 （1）如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点 ，求直 线的表达式以及点 的坐标；（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 50 【解】在中，令，得 ， 去分母整理得 . 上有且只有一个“倒数点”， 有两个相等的实 数根， ， 解得或 （舍去）， 直线的表达式为 .…………（2分） 当时，即为 ， 解得 ， 经检验，是 的解， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 51 （2）［中］求直线 上的“倒数点”坐标；（4分） 【解】在中，令，得 ， 去分母整理得 ， 解得， ，…………（6分） 经检验，，都是 的解， 直线上的“倒数点”坐标为，， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 52 【深入探究】 （3）［难］如果直线上有两个“倒数点”，记作点，，点 为坐 标原点，当为锐角时，求 的取值范围．（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 53 【解】在中，令，得，去分母整理得 . 直线 上有两个“倒数点”， 有两个不相等的实数根， ， 解得 .…………（10分） 设的两根为 ， ，则， . 不妨设， . 与同号， 与 同号， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 54 ， 在第一或第三象限. 为锐角， ， 都在第一象限或都在第三象限. 当，都在第一象限时，，，， ， 此时的取值范围是- ；…………（12分） 当，都在第三象限时，，，这与 矛盾， 这种情况不存在.…………（13分） 综上所述，的取值范围是- .…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 $