山东省泰安一中2025-2026学年高一下学期期末复习成果检测数学试卷

**基本信息** 涵盖向量、立体几何、概率统计等高一核心内容，融入春节申遗、新能源汽车测试等现实情境，通过基础运算与综合应用题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题32分|向量模长、复数运算、斜二测直观图|基础概念与运算结合，如单位向量夹角计算| |多选|3题15分|正八面体性质、频率分布直方图|综合空间想象与数据分析，如正八面体外接球表面积| |填空|3题15分|复数模、射击概率、敬亭山测量|文化情境与实际应用，如利用正弦定理测楼高| |解答题|6题38分|解三角形、四棱锥线面角、乒乓球比赛概率|分层设计，从基本公式应用（向量夹角）到复杂逻辑推理（三局比赛概率模型）|

山东省泰安一中2026年高一下学期期末复习成果检测 一、单选题 1．已知平面向量为单位向量，，且与的夹角为，则（    ） A． B．2 C． D．3 2．复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．已知平面向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．已知中，分别为角的对边，已知，则的周长为（    ） A． B． C． D． 6．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第5行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第3个样本编号是（    ） 84  42  12  53  31  34  57  86  07  36  25  30  07  32  86  23  45  78  89  07  23  68 32  56  78  08  43  67  89  53  55  77  34  89  94  83  75  22  53  55  78  32  45  77 A．457 B．253 C．007 D．860 7．已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 8．某型号新能源汽车参加碰撞测试和续航测试，该型号新能源汽车参加这两项测试的结果相互独立.若该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，在续航测试中结果为优秀的概率为，则该型号新能源汽车在这两项测试中至少有1次测试结果为优秀的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知向量，，则（   ） A． B． C． D．在方向上的投影向量的坐标为 10．正八面体是一种正多面体，由8个正三角形面组成，对角面为正方形．如图，正八面体的棱长为5，为棱上一点，且，则（   ） A．平面平面 B．该正八面体外接球的表面积为 C．二面角的余弦值为 D．异面直线与所成角的余弦值为 11．“百节年为首，四季春为先”，2024年12月4日，中华民族传统佳节——春节申遗成功.为庆祝春节申遗成功，某校组织500名学生参加中华优秀传统文化知识竞赛，经统计，这500名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：.得到如图所示的频率分布直方图，根据图中数据，下列选项正确的有（    ） A．的值为0.02 B．这500名学生中，成绩在区间内的人数最少 C．这500名学生中，成绩不低于70分的人数约为350 D．这500名学生成绩的第80百分位数约为80 三、填空题 12．已知复数满足，且，则＝______． 13．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，每射击一次，命中目标得2分，未命中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则两人各射击一次得分之和不少于2的概率为________． 14．相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在C点处测得该楼顶端A的仰角为60°，则该楼的高度为______m. 四、解答题 15．已知. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值. 16．已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若是边的中点，，求面积的最大值． 17．某所学校为了解高三年级学生数学第二次模拟考试情况，随机抽取了50名学生的成绩，（满分150分），将所有数据整理后绘制成如下频率分布直方图： (1)求的值； (2)求这50名学生的数学成绩的第80百分位数； (3)根据频率分布直方图，估计这所学校高三学生第二次模拟考试的数学成绩的平均分. 18．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 19．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件A=“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安一中2026年高一下学期期末复习成果检测》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A D A C B C ACD ABC 题号 11 答案 ABC 1．C 【分析】利用公式结合已知条件求出，再利用，代入计算. 【详解】平面向量为单位向量， 故选：C. 2．B 【分析】根据复数的除法运算求出复数z，根据复数模的计算公式，即得答案. 【详解】由，得， 故， 故选：B 3．A 【分析】根据投影向量的定义计算即得. 【详解】∵，∴， 所以在上的投影向量为：. 故选：A. 4．D 【详解】过作交轴于点，可得， 因为，所以为等腰直角三角形，所以， 根据斜二测画法，可得，如图所示，则， 所以的面积，故选项D正确. 5．A 【分析】根据正弦定理可得，由此可得，，然后解三角即可得到周长. 【详解】，由正弦定理得 ， 又， 所以， 则，或，（舍）， 所以，， 则， . 故选：A. 6．C 【分析】根据随机数表读法，依次读取数据，不在范围的及与前面重复的都舍去，进而得到结论. 【详解】从表中第5行第6列开始向右读取数据为：253，313，457（舍），860（舍），736（舍），253（舍），007，328，所以第3个样本编号为007. 故选：C. 7．B 【分析】作面，因为三棱锥为正三棱锥，所以是正三角形的中心，连接，设球心为，则在上，连接.由，求出 ，设外接球半径为，由，解得，即可求解． 【详解】 如图所示，作面，因为三棱锥为正三棱锥， 所以是正三角形的中心，连接，设球心为，则在上，连接. 正三棱锥的底面的边长为6，所以， 因为直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，即， 所以， 设外接球半径为，则，， 所以在中，可得， 解得，则外接球体积为. 故选：B. 8．C 【分析】根据题意先计算这两项测试中都不优秀的概率，再根据对立事件的概率求解即可. 【详解】根据题意，碰撞测试不优秀的概率， 续航测试不优秀的概率， 因为两项测试结果相互独立， 所以该型号新能源汽车在这两项测试中都不优秀的概率为， 所以该型号新能源汽车在这两项测试中至少有1次测试结果为优秀的概率为. 故选：C 9．ACD 【分析】根据向量的加减法运算、平行和垂直的判定，以及投影向量公式逐项进行分析判断. 【详解】选项A:已知向量，， 所以，，故A对； 选项B:因为，而，故B错； 选项C:因为，，故C对； 选项D:根据投影向量公式：，故D对. 故选:ACD. 10．ABC 【分析】由线面平行结合面面平行判定定理判断A，再根据正八面体的性质结合外接球表面积公式计算判断B，运用二面角定义得到即二面角的平面角，再结合余弦定理求解判断C，根据线线平行得出异面直线所成角为，利用余弦定理计算即可判断D. 【详解】对于A，由正八面体的性质，，平面，平面，所以平面， 又因，平面，平面，故平面， 又平面，故平面平面，故A正确；    对于B，连接，，设，则即该正八面体的外接球的半径， 因，则该正八面体的外接球的表面积为：，故B正确；    对于C，取中点，连接易得，则即二面角的平面角， 因正八面体的棱长为5，则， 由余弦定理，可得，故C正确； 对于D，因，故为异面直线与所成的角， 又因， 由余弦定理，， 则，故D错误. 故选：ABC. 11．ABC 【分析】根据频率分布直方图小矩形面积和为1求解判断A；根据频率分布直方图特点即可判断B，计算不低于70分的频率和即可判断C，根据频率分布直方图的计算可得第80百分位数可判断D. 【详解】对于A，由，解得，故A正确 对于B，这一组频率最小，即成绩在上的人数最少，故B正确； 对于C，成绩不低于70分的学生频率为， 成绩不低于70分的人数约为，故C正确； 对于D，因为第五个组的频率为， 所以这500名学生成绩的第80百分位数约为90，故D错误. 故选：ABC. 12． 【分析】先设根据给定条件，结合复数相等和复数模公式计算作答. 【详解】设， 又，所以， 又，所以， 所以， 所以， 所以 ． 故答案为：. 13．/ 【分析】先根据已知条件求乙的命中率，再通过求出得分之和不少于2的对立事件的概率，进而得到得分之和不少于2的概率. 【详解】设“甲射击一次，命中目标”为事件，“乙射击一次，命中目标”为事件, 则“甲射击一次，未命中目标”为事件，“乙射击一次，未命中目标”为事件, 那么由已知条件可知，，，， 甲、乙两人各射击一次得分之和为2有两种情形：甲命中，乙未命中；乙命中，甲未命中， 即得分之和为2的概率为， 依题意，得，解得， 由两人各射击一次得分之和不少于2的对立事件是两人各射击一次得分之和为， 两人各射击一次得分之和为的概率为， 故两人各射击一次得分之和不少于2的概率为， 故答案为：. 14． 【分析】先由正弦定理求出，然后在直角中即可求解. 【详解】中，由正弦定理得， 所以， 直角中，. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）首先求出，然后再根据模长公式即可求解； （2）根据夹角公式即可求解. 【详解】（1）， 所以 . （2）. 16．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理或余弦定理进行边角互化即可得出结果； （2）用向量法利用中线定理，结合基本不等式即可得解． 【详解】（1）方法1：由正弦定理可化为 ， ∴，∴． ∵，∴， ∵，∴． 方法2：∵，由余弦定理得 ， 化简可得，∴， ∵，∴． （2）∵为边中点，∴， ∴， ∵，∴， ∵（当且仅当时等号成立）， ∵， ∴，∴面积的最大值为． 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）算出每一组的频率，根据频率之和为1求解的值； （2）确定第80百分位数所在区间，列方程求解即可； （3）根据求频率分布直方图平均数的公式求解平均分即可. 【详解】（1）分数在的学生频率：， 分数在的学生频率：， 分数在的学生频率：， 分数在的学生频率：， 分数在的学生频率：， 频率之和为1，故，即，解得， 故. （2）因为，， 所以这50名学生的数学成绩的第80百分位数在内，设为， 则，，， 解得， 故这50名学生的数学成绩的第80百分位数为. （3）这所学校高三学生第二次模拟考试的数学成绩的平均分为： . 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得到平面； （2）求出三棱锥的体积，再由等体积法求出点到平面的距离，最后利用锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）取的中点，连接、，则，且. 因为，，所以且. 所以四边形为平行四边形. 所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为底面为梯形，，，， 所以，， ， 又垂直于面，为棱的中点， 所以到平面的距离为，所以， 因为垂直于面，平面，所以，， 所以，， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，所以， 设直线与面所成的角为，则， 直线与面所成的角的正弦值为. 19．(1) (2) 【分析】（1）由题意可得样本总共有36个，符合的有12个，再利用古典概率即可求解； （2）记事件为第局甲胜，，记事件为甲恰好胜一局，有如下两种情况：①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜，再结合概率的乘法公式即可求解. 【详解】（1）因为骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型， 样本空间：共个样本点， 事件含有： 共12个样本点，故． （2）记事件为第局甲胜，，由题意知， 记事件为甲恰好胜一局，有如下两种情况： ①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜， 因为每局比赛结果相互独立，所以事件与与也独立，则 ， ， 因为，且事件与互斥， 所以， 所以甲恰好胜一局的概率为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $