专题24.1 平均数（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级下册

本初中数学讲义聚焦“平均数”核心知识点，系统梳理算术平均数的定义与算法、数据变形后的平均数计算，加权平均数的权重应用与分布式计算，以及用样本平均数估算总体平均数的组中值方法，构建从基础到应用的学习支架。 资料通过“即学即练”与“典例+变式”题型设计，结合校园歌手大赛评分、体质健康调查等实例，培养学生数据意识与应用意识，课中助力教师高效授课，课后帮助学生强化练习、查漏补缺，提升数学思维与解决实际问题能力。

专题24.1 平均数 教学目标 1. 掌握算术平均数的算法，能够熟练的计算基础数据以及变形数据的算术平均数； 2. 掌握加权平均数的算法，能够熟练的计算各种形式加权的数据的加权平均数。 教学重难点 1. 重点 （1）平均数与加权平均数； （2）用样本平均数估算总体平均数。 2. 难点 （1）根据已知数据的平均数求新数据的平均数； （2）根据平均数求数据中的未知值。 知识点01 算术平均数 1. 算术平均数的定义与算法： 一般地，对于个数据，我们把 叫做这组数据的算术平均数。简称平均数。用 来表示，读作“拔”，记做 。 2. 平均数的意义： 平均数反映了一组数据取值的平均水平，是刻画数据集中趋势的重要统计量。 【即学即练1】 1．样本数据2，8，14，16，20的平均数是（　　） A．8 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【解答】解：根据平均数的计算方法可得： ． 故选：C． 【即学即练2】 2．已知一样本数据3，4，5，5，6，m的平均数为5，则数m的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解答】解：m＝5×6﹣3﹣4﹣5﹣5﹣6＝7， 故选：D． 3. 平均数的拓展： 如果一组数据的算术平均数是，那么数据的算术平均数是 。数据的算术平均数是 。数据，...，的算术平均数是 。 【即学即练1】 3．已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为3，把每个数据都乘3，再减去2，得到一组新的数据3x1﹣2，3x2﹣2，…，3xn﹣2，则新数据的平均数为　7　 ． 【答案】7． 【解答】解：因为一组数据x1，x2，…，xn的平均数为3， 所以新的数据3x1﹣2，3x2﹣2，…，3xn﹣2的平均数为3×3﹣2＝7， 故答案为：7． 知识点02 加权平均数 1. 加权平均数的定义与算法： 对于个数据，他们的权重分别是，则用 表示这组数据的加权平均数。 2. 在求个数的平均数时，如果出现次，出现次，...出现次（其中），那么这个数的平均数= 也叫做这个数的加权平均数。其中是这个数的权重。 权重一般用比、百分数以及出现的次数来表示。 3. 分布式计算方法： 计算分组（两组或更多组）的平均数或百分数时，一是要知道每一组数据的平均数或百分数，二是要知道每一组数据的频数或频率，以频数或频率为权，计算加权平均数。 【即学即练1】 4．在一场校园歌手大赛中，某位选手的演唱技巧、舞台表现的得分分别为88分，92分，将演唱技巧、舞台表现的成绩按7：3计算，则该选手的成绩是（　　） A．89.2分 B．90分 C．90.4分 D．89.6分 【答案】A 【解答】解：总权重为7+3＝10． 选手成绩为：（分）， 故选：A． 【即学即练2】 5．某校规定学生体育学期成绩由三部分组成：课堂表现占20%，学科素养占30%，运动技能占50%．小明以上三项成绩分别为：80分，90分，94分，则小明的体育学期成绩为（　　） A．88分 B．89分 C．90分 D．91分 【答案】C 【解答】解：小明的体育学期成绩为80×20%+90×30%+94×50%＝90（分）． 故选：C． 知识点03 用样本平均数估算总体平均数 1. 用样本平均数估算总体平均数： 对于通过简单随机抽样获取的数据，可以用样本平均数估算总体平均数。 2. 组中值的定义： 将所有数据进行分组后，一个小组的两个端点的数的平均数叫做这个小组的组中值。 【即学即练1】 6．某校有七、八、九三个年级．为了解该校学生的体质健康状况，体育老师随机抽取七年级100名男生进行一分钟跳绳测试，并计算出这些学生一分钟跳绳的平均次数为m，下列估计最合理的是（　　） A．该校学生一分钟跳绳的平均次数约为m B．该校七年级学生一分钟跳绳的平均次数约为m C．该校七年级女生一分钟跳绳的平均次数约为m D．该校七年级男生一分钟跳绳的平均次数约为m 【答案】D 【解答】解：因为抽取七年级100名男生进行一分钟跳绳测试，而不是从七、八、九三个年级各随机抽取进行一分钟跳绳测试， ∴只能估算七年级男生一分钟跳绳平均次数约为m． 故选：D． 【即学即练2】 7．某校为了了解学生做课外作业所用时间的情况，对初二某班50名学生进行了调查．该班学生某一天做数学作业所用时间如表所示． 所用时间t/min 人数 0＜t≤10 4 10＜t≤20 6 20＜t≤30 14 30＜t≤40 13 40＜t≤50 9 50＜t≤60 4 （1）第三组数据的组中值是多少？ （2）利用组中值求该班学生在这一天平均用了多长时间做数学作业？ 【答案】（1）25；（2）30.8min． 【解答】解：（1）第三组数据的组中值是25； （2）该班学生在这一天做数学作业平均用的时间为（5×4+15×6+25×14+35×13+45×9+55×4）＝30.8（min）． 题型01 计算算术平均数 【典例1】小智参加演讲比赛，五位评委给他打的分值分别是：6分，7分，8分，9分，10分．五位评委所给分值的平均数是小智的最终得分，则他的最终得分是（　　） A．8分 B．8.5分 C．9分 D．9.5分 【答案】A 【解答】解：根据算术平均数的定义可得： （分）， ∴他的最终得分是8分． 故选：A． 【变式1】某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4（单位：天），则这组数据的平均数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解答】解：（3+7+5+6+5+4）＝5（天）， 故选：B． 【变式2】x1，x2，…，x5的平均数为m；x6，x7…，x20的平均数为n，则 x1，x2，…，x20的平均数为（　　） A．m+n B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵x1，x2，…，x5的平均数为m；x6，x7…，x20的平均数为n， ∴x1，x2，…，x5的和为5m；x6，x7…，x20的和为15n， ∴x1，x2，…，x20的平均数为． 故选：D． 【变式3】杭州亚运会射箭比赛中，某运动员6箭的成绩（单位：环）依次是x1，x2，x3，x1+1，x2+2，x3+3．若前3箭的平均成绩为7环，则这6箭的平均成绩为 　8　 环． 【答案】8． 【解答】解：由题意可得， x1+x2+x3＝3×7＝21， ∴（x1+x2+x3+x1+1+x2+2+x3+3）÷6 ＝48÷6 ＝8（环）， 即这6箭的平均成绩为8环， 故答案为：8． 题型02 计算加权平均数 【典例1】某班级进行综合素质评价，以学习态度、课堂表现、作业完成、小组合作四项进行打分，各项权重依次为2：3：4：1．小明四项得分分别为：7分，8分，9分，6分，则小明的最终得分是（　　） A．6分 B．7分 C．8分 D．9分 【答案】C 【解答】解：小明的最终得分是：8（分）． 故选：C． 【变式1】某学校为了引入一款适合学生使用的“AI智能学习助手”，决定从五个维度对候选产品进行测试评分．这五个维度及其在总评分中的权重（比例）如表所示： 评价维度 交互响应速度 解题准确率 个性化推荐 内容丰富度 界面友好度 权重 30% 30% 20% 10% 10% 候选产品A在这五项指标上的实测得分依次为：90分、80分、85分、90分、90分，则该产品A的最终加权平均得分是（　　） A．85.5分 B．86分 C．88分 D．87分 【答案】B 【解答】解：∵加权平均得分＝90×30%+80×30%+85×20%+90×10%+90×10%＝86（分）， ∴该产品A的最终加权平均得分是86分， 故选：B． 【变式2】某校从“纪律”“考勤”“卫生”“活动”四个方面对班级考核打分，进行优秀班级评选，各项满分均为100分，所占比例如下表： 项目 纪律 考勤 卫生 活动 所占比例 40% 10% 25% 25% 九年级（3）班这四项的得分依次为80，90，84，70，则该班这四项的综合得分为（　　） A．79 B．79.5 C．80.5 D．81 【答案】B 【解答】解：该班这四项的综合得分为80×40%+90×10%+84×25%+70×25%＝79.5（分）， 故选：B． 【变式3】甲种糖果每千克m元，乙种糖果每千克15元，将3千克甲种糖果和n千克乙种糖果混合，得到的什锦糖果的单价应为每千克（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【解答】解：由条件可得甲种糖果的总价为3m元， ∵乙种糖果n千克，每千克15元， ∴乙种糖果的总价为15n元， ∴混合后什锦糖果的总价格为3m+15n元， 混合后什锦糖果的总质量为3+n千克， ∴什锦糖果的单价为元每千克． 故选：B． 题型03 根据已知数据的平均数求新数据的平均数 【典例1】若样本x1，x2，x3，⋯，xn的平均数为10，则对于样本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，⋯，xn﹣3，平均数为　7　 ． 【答案】7． 【解答】解：由题意可得：根据平均数的定义可得：，则x1+x2+x3+⋯+xn＝10n， 对于样本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，⋯，xn﹣3，其平均数为： ＝7． 【变式1】若一组数据x1，x2，⋯，x10的平均数是5，则另一组数据x1+3，x2+3，…，x10+3的平均数是　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：∵数据x1，x2，⋯，x10的平均数是5， ∴数据x1+3，x2+3，…，x10+3的平均数是5+3＝8． 故答案为：8． 【变式2】若数据x1，x2，…，x8的平均数是2，则数据2x1+1，2x2+1，…，2x8+1的平均数是 　5　 ． 【答案】5． 【解答】解；．数据x1，x2，…，x8的平均数是2， ∴x1+x2+...x8＝2×8＝16， ∴2x1+1+2x2+1+…+2x8+1＝2（x1+x2+...x8）+8＝2×16+8＝40， ∴2x1+1，2x2+1，…，2x8+1的平均数是5， 故答案为：5． 【变式3】若一组数据x1，x2，⋯，x100的平均数为6，则数据2x1+3，2x2+3，⋯，2x100+3的平均数为　15　 ． 【答案】15． 【解答】解：∵一组数据x1，x2，⋯，x100的平均数为6， ∴数据2x1+3，2x2+3，⋯，2x100+3的平均数为：2×6+3＝15． 故答案为：15． 题型04 根据平均数求未知值 【典例1】若一组数据4，5，x，6，7的平均数是6，则x的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D． 【答案】C 【解答】解：根据平均数的定义，可得5个数相加为总和为6×5＝30， ∴x＝30﹣4﹣5﹣6﹣7＝8． 故选：C． 【变式1】已知下面的一组数据：7，10，x，4，0，3，它们的平均数为5，那么x＝（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【解答】解：∵一组数据：7，10，x，4，0，3，它们的平均数为5， ∴5， 解得x＝6． 故选：A． 【变式2】已知五个数据：2，2，x，5，8的平均数是4，现增加了一个数据后的平均数仍不变，则增加的这个数据是（　　） A．0 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：由题意知，4， 解得x＝3， 所以原数据为2、2、3、5、8， 设增加数据为m， 则4， 解得m＝4， 故选：C． 题型05 利用组中值解决问题 【典例1】在一本书中，分组统计100个句子中的字数，得出下列结果：字数为1～5个的有5句，字数为6～10个的有27句，字数为11～15个的有32句，字数为16～20个的有21句，字数为21～25个的有9句，字数为26～30个的有6句．利用组中值可估计该书中平均每个句子所包含的字数为（　　） A．11个 B．12个 C．13个 D．14个 【答案】D 【解答】解： 该书中平均每个句子所包含的字数为14（个）， 故选：D． 【变式1】为了了解400名八年级男生的身体发育情况，随机抽取了100名八年级男生进行身高测量，得到统计表：估计该校八年级男生的平均身高为 　161.6　 cm． 身高（cm） 人数 组中值 145≤x＜155 22 150 155≤x＜165 45 160 165≤x＜175 28 170 175≤x＜185 5 180 【答案】161.6． 【解答】解：估计该校八年级男生的平均身高为： ． 故答案为：161.6． 【变式2】为了检测某自动包装流水线的生产情况，在流水线上随机抽取40件产品，分别称出它们的质量（单位：克）作为样本．如图是样本的频率分布直方图，根据图中各组的组中值估计产品的平均质量　507　 克． 【答案】507 【解答】解：平均质量＝490×0.1+500×0.3+510×0.4+520×0.2＝507， 故答案为：507． 【变式3】如表是某校八年级某班50名学生某天做数学作业所用时间的情况统计表： 所用时间t（分钟） 组中值 频数 0＜t≤10 　5　 4 10＜t≤20 　15　 6 20＜t≤30 　25　 14 30＜t≤40 　35　 13 40＜t≤50 　45　 9 50＜t≤60 　55　 4 （1）填写表中“组中值”一栏； （2）求该班学生平均每天做数学作业所用的时间． 【答案】（1）5，15，25，35，45，55；（2）30.8（min）． 【解答】解：（1）第一组数据的“组中值”是5； 第二组数据的“组中值”是15； 第三组数据的“组中值”是25； 第四组数据的“组中值”是35； 第五组数据的“组中值”是45； 第六组数据的“组中值”是55； 故答案为：5，15，25，35，45，55． （2）平均每天做数学课外作业所用的时间为（5×4+15×6+25×14+35×13+45×9+55×4）＝30.8（min）． 1．某景区推出“AI讲解，智游古迹”的活动，当天结束时统计5个景点的订阅数量分别为2，3，4，5，6．上述数据的平均数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：平均数：（2+3+4+5+6）÷5＝4， 故选：B． 2．楚韵班评选优秀班干部，从“德”、“能”、“勤”、“绩”四个方面考核打分，各项满分均为10，若依次按照3：3：2：2的比例确定成绩，小明这四项得分依次为9，8，7，6，则小明这四项综合得分为（　　） A．8 B．7.7 C．7.5 D．7 【答案】B 【解答】解：根据给定的权重比，按照加权平均数的计算方法可知： 四项得分的权重比为 3：3：2：2，总权重和为 3+3+2+2＝10， ∴小明的综合得分为：． 故选：B． 3．在2，4，6，8中再添加一个数，使得添加前、后两组数据的平均数相同，则添加的数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解答】解：原数据的平均数为5， 所以添加的数为5， 故选：C． 4．已知一组数据是8，4，7，a，10，其平均数是7.4，则a的值为（　　） A．7.4 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解答】解：根据题意，得8+4+7+a+10＝7.4×5， 解得a＝8， 故选：B． 5．为了解中小学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．某初中学校随机抽取五位男生，平均每人做引体向上10个，已知第一、二、三、五位男生分别做11，8，10，12个，那么第四位男生做引体向上（　　） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 【答案】B 【解答】解：第四个同学做的个数为10×5﹣（11+8+10+12）＝9（个），故选：B． 6．在一次演讲比赛中，甲选手的演讲内容95分、演讲能力80分，若按照“演讲内容占60%、演讲能力占40%”的方式计算选手的综合成绩，则甲选手的综合成绩为（　　） A．86 B．87 C．88 D．89 【答案】D 【解答】解：根据加权平均数的定义可得： 综合成绩＝95×60%+80×40%＝57+32＝89（分）． 故选：D． 7．某互联网公司由三个部门组成，共有30名员工，2025年各部门人数及相应的人均年利润如表所示：该公司2025年人均年利润为（　　） 部门 人数 人均年利润/万元 A 10 250 B 8 220 C 12 145 A．186万元 B．200万元 C．216万元 D．220万元 【答案】B 【解答】解：该公司2025年人均年利润为200（万元）， 故选：B． 8．某班数学成绩按平时成绩和期末成绩加权计算总分，已知小辉平时成绩为80分，期末成绩为90分，加权平均数为86分，平时成绩的所占权重比例为（　　） A．20% B．30% C．40% D．50% 【答案】C 【解答】解：设平时成绩的所占权重比例为x， 由题意得，80x+90（1﹣x）＝86， 解得x＝0.4＝40%． 故选：C． 9．若数据m，3，5，n的平均数为4，则数据m，n的平均数是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解答】解：由题意知4， 则m+n＝8， ∴数据m，n的平均数是8÷2＝4， 故选：B． 10．设甲种糖果的单价为每千克m元，乙种糖果的单价为每千克18元，则3千克甲种糖果和n千克乙种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克（　　）元． A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：3千克甲种糖果和n千克乙种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克元， 故选：D． 11．为举办读书节活动，我校计划选拔一名英语主持人，选拔共分为读、听、写三轮，其中小丽参加选拔的各项成绩如下： 项目 读 听 写 成绩（分） 93 88 94 若把读、听、写的成绩按5：3：2计入总分，则小丽的个人总分为　91.7　 分． 【答案】91.7． 【解答】解：根据读，听，写三项的成绩和对应权重，代入加权平均数公式计算可得小丽的个人总分为： 91.7． 故答案为：91.7． 12．校园歌手大赛中，小明的演唱技巧得分86分，舞台表现得分90分，两项按一定权重计算后的总分为87.6分．则评委更看重　演唱技巧　 ．（填“演唱技巧”或“舞台表现”） 【答案】演唱技巧． 【解答】解：设演唱技巧的权重为x，则舞台表现的权重为1﹣x， 根据题意得：86x+90（1﹣x）＝87.6， 解得x＝0.6， 则1﹣x＝0.4， ∵0.6＞0.4，演唱技巧的权重更大， ∴评委更看重演唱技巧． 故答案为：演唱技巧． 13．若一组数据中有a个x1，b个x2，c个x3，则这组数据的平均数为　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意，∵数据中有a个x1，b个x2，c个x3， ∴这组数据有（a+b+c）个，则总和为（ax1+bx2+cx3）． ∴平均数为． 故答案为：． 14．某市中小学举行了一场课本剧表演比赛，组委会规定：任何一名参赛选手的成绩x满足60≤x＜100．赛后统计整理了150名选手的成绩（如表），则m＝　40　 ，利用组中值估计这些选手的平均成绩大约是 　79.7　 （结果精确到0.1）． 分数段 频数 60≤x＜70 30 70≤x＜80 m 80≤x＜90 60 90≤x＜100 20 【答案】40，79.7． 【解答】解：m＝150﹣30﹣60﹣20＝40． 79.7． 故答案为：40，79.7． 15．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是3，那么另一组数据5x1﹣3，5x2﹣3，5x3﹣3，5x4﹣3，5x5﹣3的平均数是　12　 ． 【答案】12． 【解答】解：由题意得，， ∴x1+x2+x3+x4+x5＝15， ∴5x1﹣3+5x2﹣3+5x3﹣3+5x4﹣3+5x5﹣3＝5×15﹣5×3＝60， ∴， 故答案为：12． 16．已知实数a，b均为正数，记为a，b的算术平均数，为a，b的调和平均数． （1）当a＝2，b＝3时，求其算术平均数和调和平均数． （2）试比较a，b的算术平均数和调和平均数的大小，并说明理由． 【答案】（1）当a＝2，b＝3时，其算术平均数为，调和平均数为； （2）a，b的算术平均数大于或等于调和平均数，当且仅当a＝b时取等号． 【解答】解：（1）当a＝2，b＝3时，算术平均数为； 调和平均数为； 答：当a＝2，b＝3时，其算术平均数为，调和平均数为； （2）， ∵a，b均为正数， ∴a+b＞0， 又∵（a﹣b）2≥0（当且仅当a＝b时取等号）， ∴0（当且仅当a＝b时取等号）， 即0（当且仅当a＝b时取等号）， ∴ （当且仅当a＝b时取等号）， 答：a，b的算术平均数大于或等于调和平均数，当且仅当a＝b时取等号． 17．为了解10路公共汽车的运营情况，公交部门统计了6月某天10路公共汽车50班次的载客量，绘制成表格： 载客量x/人 组中值 频数（班次） 0≤x＜20 10 5 20≤x＜40 30 15 40≤x＜60 m 20 60≤x≤80 70 n （1）根据以上信息可知：m＝　50　 ，n＝　10　 ； （2）求这天10路公共汽车平均每班的载客量是多少？ （3）估计6月份（共30天）10路公共汽车的总载客量是多少？ 【答案】（1）50，10； （2）44人； （3）66000人． 【解答】解：（1）m＝50，n＝50﹣5﹣15﹣20＝10， 故答案为：50，10； （2）（5×10+15×30+20×50+10×70）＝44（人）， 答：这天10路公共汽车平均每班的载客量是44人； （3）44×50×30＝66000（人）， 答：估计6月份（共30天）10路公共汽车的总载客量是66000人． 18．据浙江省疾病预防控制中心调查，随机抽取全省31000名中小学生进行脊柱侧弯情况检测，统计中发现女生脊柱侧弯检出率是男生的1.5倍，部分结果描述如表： 抽取的学生脊柱侧弯情况统计表 统计维度 详细类别 调查人数 脊柱侧弯人数 脊柱侧弯检出率 性别 女生 a b c 男生 16000 448 2.8% 请根据统计表信息解答下列问题： （1）写出a，b，c之间的关系式； （2）求脊柱侧弯的学生的总人数； （3）小明认为我省中小学生脊柱侧弯检出率即男、女生脊柱侧弯检出率的平均数，请判断小明的说法是否正确，列式说明（可不计算结果）． 【答案】（1）c100%； （2）脊柱侧弯的学生的总人数1078； （3）小明的说法不正确， 全省实际检出率； 男、女检出率的平均数； ∴全省实际检出率不等于男、女检出率的平均数， ∴小明的说法不正确． 【解答】解：（1）根据题意知：c100%； （2）a＝31000﹣16000＝15000， ∵女生脊柱侧弯检出率是男生的1.5倍， ∴c＝2.8%×1.5＝4.2%， ∴b＝ac＝1500×4.2%＝630， ∴脊柱侧弯的学生的总人数：448+630＝1078； （3）小明的说法不正确， 全省实际检出率； 男、女检出率的平均数； ∴全省实际检出率不等于男、女检出率的平均数， ∴小明的说法不正确． 19．为响应“健康中国”战略，某校将课间延长至15分钟以鼓励学生参与体育活动．现从八年级随机抽取部分学生，统计其每日课间主动运动时间（单位：分钟），部分信息如下： 信息1：绘制如下表格： 等级 运动时间 频数 频率 低活跃 0≤x＜5 6 a 中等活跃 5≤x＜10 14 0.35 高活跃 10≤x＜15 b c 超高活跃 15≤x≤20 8 0.2 信息2：每日课间主动运动时间在15≤x≤20中的具体数据为15，15，16，16，17，18，19，20． 根据以上信息，解答下列问题： （1）计算：a＝　0.15　 ，b＝　12　 ，c＝　0.3　 ； （2）求所抽取学生中每日课间主动运动时间达到“超高活跃”等级的平均数； （3）若该校八年级共有600名学生，估计每日课间主动运动时间达到中等活跃及以上的学生人数． 【答案】（1）0.15，12，0.3； （2）17； （3）510人． 【解答】解：（1）由统计表可知，抽取的人数为14÷0.35＝40， b＝40﹣6﹣14﹣8＝12， a0.15， c0.3， 故答案为：0.15，12，0.3； （2）（15×2+16×2+17+18+19+20）＝17， 答：所抽取学生中每日课间主动运动时间达到“超高活跃”等级的平均数为17； （3）600×（1﹣0.15）＝510（人）， ∴估计每日课间主动运动时间达到中等活跃及以上的学生人数为510人． 20．某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动丰富同学们的假期生活．由1至4号的专业评委和5至10号的大众评委进行评分． 例如：A节目演出后各个评委所给分数如下： 评委编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 评分/分 7.2 7.5 7.8 7.5 8.2 9.7 7.9 6.7 8.5 9.4 评分方案如下： 方案一：取各位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为： 方案二：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为： 回答下列问题： （1）小乐认为“方案二”比“方案一”更合理，你　同意　 （填“同意”或“不同意”）小乐的说法．理由是　平均数易受极端值影响，故方案二更合理　 ． （2）小乐认为评分既要突出专业评审的权威性又要尊重大众评审的喜爱度，因此设计了“方案三”：先计算1至4号评委所给分数的平均数，5至10号评委所给分数的平均数，再根据比赛的需求设置相应的权重（f1表示专业评委的权重，f2表示大众评委的权重，且f1+f2＝1）． 如当f1＝0.7时，则f2＝1﹣0.7＝0.3． 该节目的得分为 Ⅰ．当按照“方案三”中f1＝0.6评分时，求A节目的得分； Ⅱ．关于评分方案，下列说法正确的有　②③　 ． ①当f1＝0.5时，A节目按照“方案三”和“方案一”评分结果相同． ②当f1＞0.4时，说明“方案三”评分更注重节目的专业性． ③当f1＝0.3时，A节目按照“方案三”评分的结果比“方案一”和“方案二”都高． 【答案】（1）同意 平均数易受极端值影响，故方案二更合理； （2）Ⅰ：A节目的得分为7.86；Ⅱ． ②③． 【解答】解：（1）方案一：取各位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为： 方案二：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为：，则： 同意小乐的说法，理由是：评委的评分常带有主观性，去掉最高分和最低分，能降低极端数据对平均数的影响，使评分更具公平性． 故答案为：同意，平均数易受极端值影响，故方案二更合理； （2）Ⅰ．∵，，f1＝0.6， ∴f2＝1﹣0.6＝0.4， ∴， 答：A节目的得分为7.86分． Ⅱ．②③解析：逐个判断： ①：f1＝0.5时，得分＝0.5×7.5+0.5×8.4＝7.95， 方案一得分为8.04，结果不同，①错误； ②：原方案中专业评委共4人， 自然权重为4÷10＝0.4， 若f1＞0.4，说明专业评委权重高于默认权重，更突出专业性，②正确； ③：f1＝0.3时，得分＝0.3×7.5+0.7×8.4＝8.13， 方案一得8.04，方案二得8.00， 8.13＞8.04＞8.00， 确实比两个方案得分都高，③正确． 综上所述，正确的说法是②③． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.1 平均数 教学目标 1. 掌握算术平均数的算法，能够熟练的计算基础数据以及变形数据的算术平均数； 2. 掌握加权平均数的算法，能够熟练的计算各种形式加权的数据的加权平均数。 教学重难点 1. 重点 （1）平均数与加权平均数； （2）用样本平均数估算总体平均数。 2. 难点 （1）根据已知数据的平均数求新数据的平均数； （2）根据平均数求数据中的未知值。 知识点01 算术平均数 1. 算术平均数的定义与算法： 一般地，对于个数据，我们把 叫做这组数据的算术平均数。简称平均数。用 来表示，读作“拔”，记做 。 2. 平均数的意义： 平均数反映了一组数据取值的平均水平，是刻画数据集中趋势的重要统计量。 【即学即练1】 1．样本数据2，8，14，16，20的平均数是（　　） A．8 B．9 C．12 D．18 【即学即练2】 2．已知一样本数据3，4，5，5，6，m的平均数为5，则数m的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3. 平均数的拓展： 如果一组数据的算术平均数是，那么数据的算术平均数是 。数据的算术平均数是 。数据，...，的算术平均数是 。 【即学即练1】 3．已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为3，把每个数据都乘3，再减去2，得到一组新的数据3x1﹣2，3x2﹣2，…，3xn﹣2，则新数据的平均数为　 　 ． 知识点02 加权平均数 1. 加权平均数的定义与算法： 对于个数据，他们的权重分别是，则用 表示这组数据的加权平均数。 2. 在求个数的平均数时，如果出现次，出现次，...出现次（其中），那么这个数的平均数= 也叫做这个数的加权平均数。其中是这个数的权重。 权重一般用比、百分数以及出现的次数来表示。 3. 分布式计算方法： 计算分组（两组或更多组）的平均数或百分数时，一是要知道每一组数据的平均数或百分数，二是要知道每一组数据的频数或频率，以频数或频率为权，计算加权平均数。 【即学即练1】 4．在一场校园歌手大赛中，某位选手的演唱技巧、舞台表现的得分分别为88分，92分，将演唱技巧、舞台表现的成绩按7：3计算，则该选手的成绩是（　　） A．89.2分 B．90分 C．90.4分 D．89.6分 【即学即练2】 5．某校规定学生体育学期成绩由三部分组成：课堂表现占20%，学科素养占30%，运动技能占50%．小明以上三项成绩分别为：80分，90分，94分，则小明的体育学期成绩为（　　） A．88分 B．89分 C．90分 D．91分 知识点03 用样本平均数估算总体平均数 1. 用样本平均数估算总体平均数： 对于通过简单随机抽样获取的数据，可以用样本平均数估算总体平均数。 2. 组中值的定义： 将所有数据进行分组后，一个小组的两个端点的数的平均数叫做这个小组的组中值。 【即学即练1】 6．某校有七、八、九三个年级．为了解该校学生的体质健康状况，体育老师随机抽取七年级100名男生进行一分钟跳绳测试，并计算出这些学生一分钟跳绳的平均次数为m，下列估计最合理的是（　　） A．该校学生一分钟跳绳的平均次数约为m B．该校七年级学生一分钟跳绳的平均次数约为m C．该校七年级女生一分钟跳绳的平均次数约为m D．该校七年级男生一分钟跳绳的平均次数约为m 【即学即练2】 7．某校为了了解学生做课外作业所用时间的情况，对初二某班50名学生进行了调查．该班学生某一天做数学作业所用时间如表所示． 所用时间t/min 人数 0＜t≤10 4 10＜t≤20 6 20＜t≤30 14 30＜t≤40 13 40＜t≤50 9 50＜t≤60 4 （1）第三组数据的组中值是多少？ （2）利用组中值求该班学生在这一天平均用了多长时间做数学作业？ 题型01 计算算术平均数 【典例1】小智参加演讲比赛，五位评委给他打的分值分别是：6分，7分，8分，9分，10分．五位评委所给分值的平均数是小智的最终得分，则他的最终得分是（　　） A．8分 B．8.5分 C．9分 D．9.5分 【变式1】某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4（单位：天），则这组数据的平均数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】x1，x2，…，x5的平均数为m；x6，x7…，x20的平均数为n，则 x1，x2，…，x20的平均数为（　　） A．m+n B． C． D． 【变式3】杭州亚运会射箭比赛中，某运动员6箭的成绩（单位：环）依次是x1，x2，x3，x1+1，x2+2，x3+3．若前3箭的平均成绩为7环，则这6箭的平均成绩为 　 　 环． 题型02 计算加权平均数 【典例1】某班级进行综合素质评价，以学习态度、课堂表现、作业完成、小组合作四项进行打分，各项权重依次为2：3：4：1．小明四项得分分别为：7分，8分，9分，6分，则小明的最终得分是（　　） A．6分 B．7分 C．8分 D．9分 【变式1】某学校为了引入一款适合学生使用的“AI智能学习助手”，决定从五个维度对候选产品进行测试评分．这五个维度及其在总评分中的权重（比例）如表所示： 评价维度 交互响应速度 解题准确率 个性化推荐 内容丰富度 界面友好度 权重 30% 30% 20% 10% 10% 候选产品A在这五项指标上的实测得分依次为：90分、80分、85分、90分、90分，则该产品A的最终加权平均得分是（　　） A．85.5分 B．86分 C．88分 D．87分 【变式2】某校从“纪律”“考勤”“卫生”“活动”四个方面对班级考核打分，进行优秀班级评选，各项满分均为100分，所占比例如下表： 项目 纪律 考勤 卫生 活动 所占比例 40% 10% 25% 25% 九年级（3）班这四项的得分依次为80，90，84，70，则该班这四项的综合得分为（　　） A．79 B．79.5 C．80.5 D．81 【变式3】甲种糖果每千克m元，乙种糖果每千克15元，将3千克甲种糖果和n千克乙种糖果混合，得到的什锦糖果的单价应为每千克（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 题型03 根据已知数据的平均数求新数据的平均数 【典例1】若样本x1，x2，x3，⋯，xn的平均数为10，则对于样本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，⋯，xn﹣3，平均数为　 　 ． 【变式1】若一组数据x1，x2，⋯，x10的平均数是5，则另一组数据x1+3，x2+3，…，x10+3的平均数是　 　 ． 【变式2】若数据x1，x2，…，x8的平均数是2，则数据2x1+1，2x2+1，…，2x8+1的平均数是 　 　 ． 【变式3】若一组数据x1，x2，⋯，x100的平均数为6，则数据2x1+3，2x2+3，⋯，2x100+3的平均数为　 　 ． 题型04 根据平均数求未知值 【典例1】若一组数据4，5，x，6，7的平均数是6，则x的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D． 【变式1】已知下面的一组数据：7，10，x，4，0，3，它们的平均数为5，那么x＝（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2】已知五个数据：2，2，x，5，8的平均数是4，现增加了一个数据后的平均数仍不变，则增加的这个数据是（　　） A．0 B．2 C．4 D．5 题型05 利用组中值解决问题 【典例1】在一本书中，分组统计100个句子中的字数，得出下列结果：字数为1～5个的有5句，字数为6～10个的有27句，字数为11～15个的有32句，字数为16～20个的有21句，字数为21～25个的有9句，字数为26～30个的有6句．利用组中值可估计该书中平均每个句子所包含的字数为（　　） A．11个 B．12个 C．13个 D．14个 【变式1】为了了解400名八年级男生的身体发育情况，随机抽取了100名八年级男生进行身高测量，得到统计表：估计该校八年级男生的平均身高为 　 　 cm． 身高（cm） 人数 组中值 145≤x＜155 22 150 155≤x＜165 45 160 165≤x＜175 28 170 175≤x＜185 5 180 【变式2】为了检测某自动包装流水线的生产情况，在流水线上随机抽取40件产品，分别称出它们的质量作为样本．如图是样本的频率分布直方图，根据图中各组的组中值估计产品的平均质量　 　 克． 【变式3】如表是某校八年级某班50名学生某天做数学作业所用时间的情况统计表： 所用时间t（分钟） 组中值 频数 0＜t≤10 　 　 4 10＜t≤20 　　 6 20＜t≤30 　　 14 30＜t≤40 　 　 13 40＜t≤50 　 　 9 50＜t≤60 　 　 4 （1）填写表中“组中值”一栏； （2）求该班学生平均每天做数学作业所用的时间． 1．某景区推出“AI讲解，智游古迹”的活动，当天结束时统计5个景点的订阅数量分别为2，3，4，5，6．上述数据的平均数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．楚韵班评选优秀班干部，从“德”、“能”、“勤”、“绩”四个方面考核打分，各项满分均为10，若依次按照3：3：2：2的比例确定成绩，小明这四项得分依次为9，8，7，6，则小明这四项综合得分为（　　） A．8 B．7.7 C．7.5 D．7 3．在2，4，6，8中再添加一个数，使得添加前、后两组数据的平均数相同，则添加的数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知一组数据是8，4，7，a，10，其平均数是7.4，则a的值为（　　） A．7.4 B．8 C．9 D．10 5．为了解中小学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．某初中学校随机抽取五位男生，平均每人做引体向上10个，已知第一、二、三、五位男生分别做11，8，10，12个，那么第四位男生做引体向上（　　） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 6．在一次演讲比赛中，甲选手的演讲内容95分、演讲能力80分，若按照“演讲内容占60%、演讲能力占40%”的方式计算选手的综合成绩，则甲选手的综合成绩为（　　） A．86 B．87 C．88 D．89 7．某互联网公司由三个部门组成，共有30名员工，2025年各部门人数及相应的人均年利润如表所示：该公司2025年人均年利润为（　　） 部门 人数 人均年利润/万元 A 10 250 B 8 220 C 12 145 A．186万元 B．200万元 C．216万元 D．220万元 8．某班数学成绩按平时成绩和期末成绩加权计算总分，已知小辉平时成绩为80分，期末成绩为90分，加权平均数为86分，平时成绩的所占权重比例为（　　） A．20% B．30% C．40% D．50% 9．若数据m，3，5，n的平均数为4，则数据m，n的平均数是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 10．设甲种糖果的单价为每千克m元，乙种糖果的单价为每千克18元，则3千克甲种糖果和n千克乙种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克（　　）元． A． B． C． D． 11．为举办读书节活动，我校计划选拔一名英语主持人，选拔共分为读、听、写三轮，其中小丽参加选拔的各项成绩如下： 项目 读 听 写 成绩（分） 93 88 94 若把读、听、写的成绩按5：3：2计入总分，则小丽的个人总分为　 　 分． 12．校园歌手大赛中，小明的演唱技巧得分86分，舞台表现得分90分，两项按一定权重计算后的总分为87.6分．则评委更看重　 　 ．（填“演唱技巧”或“舞台表现”） 13．若一组数据中有a个x1，b个x2，c个x3，则这组数据的平均数为 　 ． 14．某市中小学举行了一场课本剧表演比赛，组委会规定：任何一名参赛选手的成绩x满足60≤x＜100．赛后统计整理了150名选手的成绩（如表），则m＝　 　 ，利用组中值估计这些选手的平均成绩大约是 （结果精确到0.1）． 分数段 频数 60≤x＜70 30 70≤x＜80 m 80≤x＜90 60 90≤x＜100 20 15．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是3，那么另一组数据5x1﹣3，5x2﹣3，5x3﹣3，5x4﹣3，5x5﹣3的平均数是　 　 ． 16．已知实数a，b均为正数，记为a，b的算术平均数，为a，b的调和平均数． （1）当a＝2，b＝3时，求其算术平均数和调和平均数． （2）试比较a，b的算术平均数和调和平均数的大小，并说明理由． 17．为了解10路公共汽车的运营情况，公交部门统计了6月某天10路公共汽车50班次的载客量，绘制成表格： 载客量x/人 组中值 频数（班次） 0≤x＜20 10 5 20≤x＜40 30 15 40≤x＜60 m 20 60≤x≤80 70 n （1）根据以上信息可知：m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）求这天10路公共汽车平均每班的载客量是多少？ （3）估计6月份（共30天）10路公共汽车的总载客量是多少？ 18．据浙江省疾病预防控制中心调查，随机抽取全省31000名中小学生进行脊柱侧弯情况检测，统计中发现女生脊柱侧弯检出率是男生的1.5倍，部分结果描述如表： 抽取的学生脊柱侧弯情况统计表 统计维度 详细类别 调查人数 脊柱侧弯人数 脊柱侧弯检出率 性别 女生 a b c 男生 16000 448 2.8% 请根据统计表信息解答下列问题： （1）写出a，b，c之间的关系式； （2）求脊柱侧弯的学生的总人数； （3）小明认为我省中小学生脊柱侧弯检出率即男、女生脊柱侧弯检出率的平均数，请判断小明的说法是否正确，列式说明（可不计算结果）． 19．为响应“健康中国”战略，某校将课间延长至15分钟以鼓励学生参与体育活动．现从八年级随机抽取部分学生，统计其每日课间主动运动时间（单位：分钟），部分信息如下： 信息1：绘制如下表格： 等级 运动时间 频数 频率 低活跃 0≤x＜5 6 a 中等活跃 5≤x＜10 14 0.35 高活跃 10≤x＜15 b c 超高活跃 15≤x≤20 8 0.2 信息2：每日课间主动运动时间在15≤x≤20中的具体数据为15，15，16，16，17，18，19，20． 根据以上信息，解答下列问题： （1）计算：a＝　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）求所抽取学生中每日课间主动运动时间达到“超高活跃”等级的平均数； （3）若该校八年级共有600名学生，估计每日课间主动运动时间达到中等活跃及以上的学生人数． 20．某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动丰富同学们的假期生活．由1至4号的专业评委和5至10号的大众评委进行评分． 例如：A节目演出后各个评委所给分数如下： 评委编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 评分/分 7.2 7.5 7.8 7.5 8.2 9.7 7.9 6.7 8.5 9.4 评分方案如下： 方案一：取各位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为： 方案二：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为： 回答下列问题： （1）小乐认为“方案二”比“方案一”更合理，你　 　 （填“同意”或“不同意”）小乐的说法．理由是　 　 ． （2）小乐认为评分既要突出专业评审的权威性又要尊重大众评审的喜爱度，因此设计了“方案三”：先计算1至4号评委所给分数的平均数，5至10号评委所给分数的平均数，再根据比赛的需求设置相应的权重（f1表示专业评委的权重，f2表示大众评委的权重，且f1+f2＝1）． 如当f1＝0.7时，则f2＝1﹣0.7＝0.3． 该节目的得分为 Ⅰ．当按照“方案三”中f1＝0.6评分时，求A节目的得分； Ⅱ．关于评分方案，下列说法正确的有　 　 ． ①当f1＝0.5时，A节目按照“方案三”和“方案一”评分结果相同． ②当f1＞0.4时，说明“方案三”评分更注重节目的专业性． ③当f1＝0.3时，A节目按照“方案三”评分的结果比“方案一”和“方案二”都高． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $